Theorem liminfvaluz4 46546

Description: Alternate definition of lim inf for a real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfvaluz4.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
liminfvaluz4.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
liminfvaluz4.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfvaluz4.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfvaluz4.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
liminfvaluz4	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem liminfvaluz4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2928	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
2		liminfvaluz4.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		liminfvaluz4.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4	1, 2, 3	feqmptdf 6958	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))
5	4	fveq2d 6892	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))))
6		liminfvaluz4.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		liminfvaluz4.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		liminfvaluz4.4	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9	3	ffvelcdmda 7086	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
10	6, 7, 8, 9	liminfvaluz2 46542	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
11	5, 10	eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2913   ↦ cmpt 5197  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  ℝcr 11117  -cneg 11460  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  -_𝑒cxne 13152  lim supclsp 15547  lim infclsi 46498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-xneg 13155  df-ico 13396  df-limsup 15548  df-liminf 46499

This theorem is used by:  liminfreuzlem  46549  liminfltlem  46551