Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfvaluz4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfvaluz4 44450
Description: Alternate definition of lim inf for a real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfvaluz4.1 𝑘𝜑
liminfvaluz4.2 𝑘𝐹
liminfvaluz4.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminfvaluz4.4 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminfvaluz4.5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
liminfvaluz4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem liminfvaluz4
StepHypRef Expression
1 nfcv 2904 . . . 4 𝑘𝑍
2 liminfvaluz4.2 . . . 4 𝑘𝐹
3 liminfvaluz4.5 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
41, 2, 3feqmptdf 6958 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))
54fveq2d 6892 . 2 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
6 liminfvaluz4.1 . . 3 𝑘𝜑
7 liminfvaluz4.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8 liminfvaluz4.4 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
93ffvelcdmda 7082 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
106, 7, 8, 9liminfvaluz2 44446 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
115, 10eqtrd 2773 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wnfc 2884  cmpt 5230  wf 6536  cfv 6540  cr 11105  -cneg 11441  cz 12554  cuz 12818  -𝑒cxne 13085  lim supclsp 15410  lim infclsi 44402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-xneg 13088  df-ico 13326  df-limsup 15411  df-liminf 44403
This theorem is referenced by:  liminfreuzlem  44453  liminfltlem  44455
  Copyright terms: Public domain W3C validator