Theorem liminfltlem 46551

Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's approximated from above by the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfltlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfltlem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfltlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminfltlem.r	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminfltlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
liminfltlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝑘,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem liminfltlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5212	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))
2		liminfltlem.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		liminfltlem.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		liminfltlem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
5	4	ffvelcdmda 7083	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
6	5	renegcld 11652	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
7	6	fmpttd 7114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)):𝑍⟶ℝ)
8	3	fvexi 6899	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
9	8	mptex 7225	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ V
10	9	limsupcli 46504	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
12		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
13		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
14	12, 13, 2, 3, 4	liminfvaluz4 46546	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
15		liminfltlem.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
16	14, 15	eqeltrrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
17	11, 16	xnegrecl2d 46214	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
18		liminfltlem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
19	1, 2, 3, 7, 17, 18	limsupgt 46525	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
20		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
21	3	uztrn2 12893	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
22	21	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
23		negex 11466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(𝐹‘𝑘) ∈ V
24		fvmpt4 45986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ -(𝐹‘𝑘) ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
25	23, 24	mpan2 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
26	25	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
27	26	oveq1d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) = (-(𝐹‘𝑘) − 𝑋))
28	5	recnd 11248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
29	18	rpred 13072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑋 ∈ ℝ)
31	30	recnd 11248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑋 ∈ ℂ)
32	28, 31	negdi2d 11594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -((𝐹‘𝑘) + 𝑋) = (-(𝐹‘𝑘) − 𝑋))
33	27, 32	eqtr4d 2803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) = -((𝐹‘𝑘) + 𝑋))
34	17	recnd 11248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℂ)
35	17	rexnegd 45894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
36	14, 35	eqtr2d 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = (lim inf‘𝐹))
37	34, 36	negcon1ad 11575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(lim inf‘𝐹) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
38	37	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim inf‘𝐹))
39	38	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim inf‘𝐹))
40	33, 39	breq12d 5124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ -((𝐹‘𝑘) + 𝑋) < -(lim inf‘𝐹)))
41	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
42	5, 30	readdcld 11249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑋) ∈ ℝ)
43	41, 42	ltnegd 11803	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋) ↔ -((𝐹‘𝑘) + 𝑋) < -(lim inf‘𝐹)))
44	40, 43	bitr4d 285	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
45	20, 22, 44	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
46	45	ralbidva 3188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
47	46	rexbidva 3189	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
48	19, 47	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11110   + caddc 11114  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254   − cmin 11452  -cneg 11453  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12874  ℝ⁺crp 13028  -_𝑒cxne 13146  lim supclsp 15541  lim infclsi 46498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-ico 13390  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-ceil 13840  df-limsup 15542  df-liminf 46499

This theorem is used by:  liminflt  46552