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Theorem liminfltlem 44605
Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's approximated from above by the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfltlem.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
liminfltlem.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
liminfltlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
liminfltlem.r (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
liminfltlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
liminfltlem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,π‘˜   π‘˜,𝑀   𝑗,𝑋,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜   πœ‘,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem liminfltlem
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5256 . . 3 β„²π‘˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))
2 liminfltlem.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 liminfltlem.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 liminfltlem.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
54ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
65renegcld 11643 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ -(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
76fmpttd 7116 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜)):π‘βŸΆβ„)
83fvexi 6905 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
98mptex 7227 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ V
109limsupcli 44558 . . . . 5 (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ*)
12 nfv 1917 . . . . . 6 β„²π‘˜πœ‘
13 nfcv 2903 . . . . . 6 β„²π‘˜πΉ
1412, 13, 2, 3, 4liminfvaluz4 44600 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))))
15 liminfltlem.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
1614, 15eqeltrrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ -𝑒(lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
1711, 16xnegrecl2d 44262 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
18 liminfltlem.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
191, 2, 3, 7, 17, 18limsupgt 44579 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))))
20 simpll 765 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
213uztrn2 12843 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2221adantll 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
23 negex 11460 . . . . . . . . . . 11 -(πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
24 fvmpt4 44026 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ -(πΉβ€˜π‘˜) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) = -(πΉβ€˜π‘˜))
2523, 24mpan2 689 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) = -(πΉβ€˜π‘˜))
2625adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) = -(πΉβ€˜π‘˜))
2726oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) = (-(πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋))
285recnd 11244 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2918rpred 13018 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
3029adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
3130recnd 11244 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
3228, 31negdi2d 11587 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ -((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋) = (-(πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋))
3327, 32eqtr4d 2775 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) = -((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋))
3417recnd 11244 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
3517rexnegd 43920 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ -𝑒(lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) = -(lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))))
3614, 35eqtr2d 2773 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -(lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) = (lim infβ€˜πΉ))
3734, 36negcon1ad 11568 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -(lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))))
3837eqcomd 2738 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) = -(lim infβ€˜πΉ))
3938adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) = -(lim infβ€˜πΉ))
4033, 39breq12d 5161 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ -((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋) < -(lim infβ€˜πΉ)))
4115adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
425, 30readdcld 11245 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋) ∈ ℝ)
4341, 42ltnegd 11794 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋) ↔ -((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋) < -(lim infβ€˜πΉ)))
4440, 43bitr4d 281 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ (lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋)))
4520, 22, 44syl2anc 584 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ (lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋)))
4645ralbidva 3175 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋)))
4746rexbidva 3176 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋)))
4819, 47mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111   + caddc 11115  β„*cxr 11249   < clt 11250   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  β„+crp 12976  -𝑒cxne 13091  lim supclsp 15416  lim infclsi 44552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-ceil 13760  df-limsup 15417  df-liminf 44553
This theorem is referenced by:  liminflt  44606
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