Theorem liminfltlem 43235

Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's approximated from above by the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfltlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfltlem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfltlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminfltlem.r	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminfltlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
liminfltlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝑘,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem liminfltlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5178	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))
2		liminfltlem.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		liminfltlem.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		liminfltlem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
5	4	ffvelrnda 6943	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
6	5	renegcld 11332	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
7	6	fmpttd 6971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)):𝑍⟶ℝ)
8	3	fvexi 6770	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
9	8	mptex 7081	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ V
10	9	limsupcli 43188	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
12		nfv 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
13		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
14	12, 13, 2, 3, 4	liminfvaluz4 43230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
15		liminfltlem.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
16	14, 15	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
17	11, 16	xnegrecl2d 42897	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
18		liminfltlem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
19	1, 2, 3, 7, 17, 18	limsupgt 43209	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
20		simpll 763	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
21	3	uztrn2 12530	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
22	21	adantll 710	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
23		negex 11149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(𝐹‘𝑘) ∈ V
24		fvmpt4 42671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ -(𝐹‘𝑘) ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
25	23, 24	mpan2 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
27	26	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) = (-(𝐹‘𝑘) − 𝑋))
28	5	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
29	18	rpred 12701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑋 ∈ ℝ)
31	30	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑋 ∈ ℂ)
32	28, 31	negdi2d 11276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -((𝐹‘𝑘) + 𝑋) = (-(𝐹‘𝑘) − 𝑋))
33	27, 32	eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) = -((𝐹‘𝑘) + 𝑋))
34	17	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℂ)
35	17	rexnegd 42581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
36	14, 35	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = (lim inf‘𝐹))
37	34, 36	negcon1ad 11257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(lim inf‘𝐹) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
38	37	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim inf‘𝐹))
39	38	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim inf‘𝐹))
40	33, 39	breq12d 5083	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ -((𝐹‘𝑘) + 𝑋) < -(lim inf‘𝐹)))
41	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
42	5, 30	readdcld 10935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑋) ∈ ℝ)
43	41, 42	ltnegd 11483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋) ↔ -((𝐹‘𝑘) + 𝑋) < -(lim inf‘𝐹)))
44	40, 43	bitr4d 281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
45	20, 22, 44	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
46	45	ralbidva 3119	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
47	46	rexbidva 3224	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
48	19, 47	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   + caddc 10805  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   − cmin 11135  -cneg 11136  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  -_𝑒cxne 12774  lim supclsp 15107  lim infclsi 43182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-ico 13014  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-ceil 13441  df-limsup 15108  df-liminf 43183

This theorem is referenced by:  liminflt  43236