Theorem liminfltlem 45833

Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's approximated from above by the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfltlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfltlem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfltlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminfltlem.r	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminfltlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
liminfltlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝑘,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem liminfltlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5220	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))
2		liminfltlem.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		liminfltlem.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		liminfltlem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
5	4	ffvelcdmda 7074	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
6	5	renegcld 11664	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
7	6	fmpttd 7105	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)):𝑍⟶ℝ)
8	3	fvexi 6890	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
9	8	mptex 7215	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ V
10	9	limsupcli 45786	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
12		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
13		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
14	12, 13, 2, 3, 4	liminfvaluz4 45828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
15		liminfltlem.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
16	14, 15	eqeltrrd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
17	11, 16	xnegrecl2d 45494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
18		liminfltlem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
19	1, 2, 3, 7, 17, 18	limsupgt 45807	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
20		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
21	3	uztrn2 12871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
22	21	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
23		negex 11480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(𝐹‘𝑘) ∈ V
24		fvmpt4 45262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ -(𝐹‘𝑘) ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
25	23, 24	mpan2 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
27	26	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) = (-(𝐹‘𝑘) − 𝑋))
28	5	recnd 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
29	18	rpred 13051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑋 ∈ ℝ)
31	30	recnd 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑋 ∈ ℂ)
32	28, 31	negdi2d 11608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -((𝐹‘𝑘) + 𝑋) = (-(𝐹‘𝑘) − 𝑋))
33	27, 32	eqtr4d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) = -((𝐹‘𝑘) + 𝑋))
34	17	recnd 11263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℂ)
35	17	rexnegd 45167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
36	14, 35	eqtr2d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = (lim inf‘𝐹))
37	34, 36	negcon1ad 11589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(lim inf‘𝐹) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
38	37	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim inf‘𝐹))
39	38	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim inf‘𝐹))
40	33, 39	breq12d 5132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ -((𝐹‘𝑘) + 𝑋) < -(lim inf‘𝐹)))
41	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
42	5, 30	readdcld 11264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑋) ∈ ℝ)
43	41, 42	ltnegd 11815	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋) ↔ -((𝐹‘𝑘) + 𝑋) < -(lim inf‘𝐹)))
44	40, 43	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
45	20, 22, 44	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
46	45	ralbidva 3161	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
47	46	rexbidva 3162	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
48	19, 47	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128   + caddc 11132  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   − cmin 11466  -cneg 11467  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ℝ⁺crp 13008  -_𝑒cxne 13125  lim supclsp 15486  lim infclsi 45780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-ico 13368  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-ceil 13810  df-limsup 15487  df-liminf 45781

This theorem is referenced by:  liminflt  45834