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Theorem liminfltlem 44820
Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's approximated from above by the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfltlem.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
liminfltlem.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
liminfltlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
liminfltlem.r (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
liminfltlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
liminfltlem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,π‘˜   π‘˜,𝑀   𝑗,𝑋,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜   πœ‘,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem liminfltlem
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5257 . . 3 β„²π‘˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))
2 liminfltlem.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 liminfltlem.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 liminfltlem.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
54ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
65renegcld 11646 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ -(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
76fmpttd 7117 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜)):π‘βŸΆβ„)
83fvexi 6906 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
98mptex 7228 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ V
109limsupcli 44773 . . . . 5 (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ*)
12 nfv 1916 . . . . . 6 β„²π‘˜πœ‘
13 nfcv 2902 . . . . . 6 β„²π‘˜πΉ
1412, 13, 2, 3, 4liminfvaluz4 44815 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))))
15 liminfltlem.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
1614, 15eqeltrrd 2833 . . . 4 (πœ‘ β†’ -𝑒(lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
1711, 16xnegrecl2d 44477 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
18 liminfltlem.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
191, 2, 3, 7, 17, 18limsupgt 44794 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))))
20 simpll 764 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
213uztrn2 12846 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2221adantll 711 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
23 negex 11463 . . . . . . . . . . 11 -(πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
24 fvmpt4 44241 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ -(πΉβ€˜π‘˜) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) = -(πΉβ€˜π‘˜))
2523, 24mpan2 688 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) = -(πΉβ€˜π‘˜))
2625adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) = -(πΉβ€˜π‘˜))
2726oveq1d 7427 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) = (-(πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋))
285recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2918rpred 13021 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
3130recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
3228, 31negdi2d 11590 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ -((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋) = (-(πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋))
3327, 32eqtr4d 2774 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) = -((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋))
3417recnd 11247 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
3517rexnegd 44135 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ -𝑒(lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) = -(lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))))
3614, 35eqtr2d 2772 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -(lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) = (lim infβ€˜πΉ))
3734, 36negcon1ad 11571 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -(lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))))
3837eqcomd 2737 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) = -(lim infβ€˜πΉ))
3938adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) = -(lim infβ€˜πΉ))
4033, 39breq12d 5162 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ -((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋) < -(lim infβ€˜πΉ)))
4115adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
425, 30readdcld 11248 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋) ∈ ℝ)
4341, 42ltnegd 11797 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋) ↔ -((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋) < -(lim infβ€˜πΉ)))
4440, 43bitr4d 281 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ (lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋)))
4520, 22, 44syl2anc 583 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ (lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋)))
4645ralbidva 3174 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋)))
4746rexbidva 3175 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘˜) βˆ’ 𝑋) < (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋)))
4819, 47mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(lim infβ€˜πΉ) < ((πΉβ€˜π‘˜) + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„cr 11112   + caddc 11116  β„*cxr 11252   < clt 11253   βˆ’ cmin 11449  -cneg 11450  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  β„+crp 12979  -𝑒cxne 13094  lim supclsp 15419  lim infclsi 44767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-ceil 13763  df-limsup 15420  df-liminf 44768
This theorem is referenced by:  liminflt  44821
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