Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfltlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfltlem 45819
Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's approximated from above by the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfltlem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminfltlem.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminfltlem.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminfltlem.r (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminfltlem.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
liminfltlem (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝑘,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem liminfltlem
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5250 . . 3 𝑘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))
2 liminfltlem.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 liminfltlem.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 liminfltlem.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
54ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
65renegcld 11690 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → -(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
76fmpttd 7135 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)):𝑍⟶ℝ)
83fvexi 6920 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
98mptex 7243 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ V
109limsupcli 45772 . . . . 5 (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
12 nfv 1914 . . . . . 6 𝑘𝜑
13 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑘𝐹
1412, 13, 2, 3, 4liminfvaluz4 45814 . . . . 5 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
15 liminfltlem.r . . . . 5 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
1614, 15eqeltrrd 2842 . . . 4 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
1711, 16xnegrecl2d 45478 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
18 liminfltlem.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
191, 2, 3, 7, 17, 18limsupgt 45793 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
20 simpll 767 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
213uztrn2 12897 . . . . . 6 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
2221adantll 714 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
23 negex 11506 . . . . . . . . . . 11 -(𝐹𝑘) ∈ V
24 fvmpt4 45244 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘𝑍 ∧ -(𝐹𝑘) ∈ V) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
2523, 24mpan2 691 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
2625adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
2726oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) = (-(𝐹𝑘) − 𝑋))
285recnd 11289 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2918rpred 13077 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑋 ∈ ℝ)
3130recnd 11289 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑋 ∈ ℂ)
3228, 31negdi2d 11634 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → -((𝐹𝑘) + 𝑋) = (-(𝐹𝑘) − 𝑋))
3327, 32eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) = -((𝐹𝑘) + 𝑋))
3417recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∈ ℂ)
3517rexnegd 45148 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
3614, 35eqtr2d 2778 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = (lim inf‘𝐹))
3734, 36negcon1ad 11615 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(lim inf‘𝐹) = (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
3837eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -(lim inf‘𝐹))
3938adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -(lim inf‘𝐹))
4033, 39breq12d 5156 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ↔ -((𝐹𝑘) + 𝑋) < -(lim inf‘𝐹)))
4115adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
425, 30readdcld 11290 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) + 𝑋) ∈ ℝ)
4341, 42ltnegd 11841 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋) ↔ -((𝐹𝑘) + 𝑋) < -(lim inf‘𝐹)))
4440, 43bitr4d 282 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋)))
4520, 22, 44syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋)))
4645ralbidva 3176 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋)))
4746rexbidva 3177 . 2 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋)))
4819, 47mpbid 232 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154   + caddc 11158  *cxr 11294   < clt 11295  cmin 11492  -cneg 11493  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  -𝑒cxne 13151  lim supclsp 15506  lim infclsi 45766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-limsup 15507  df-liminf 45767
This theorem is referenced by:  liminflt  45820
  Copyright terms: Public domain W3C validator