Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfltlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfltlem 45760
Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's approximated from above by the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfltlem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminfltlem.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminfltlem.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminfltlem.r (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminfltlem.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
liminfltlem (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝑘,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem liminfltlem
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5256 . . 3 𝑘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))
2 liminfltlem.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 liminfltlem.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 liminfltlem.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
54ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
65renegcld 11688 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → -(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
76fmpttd 7135 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)):𝑍⟶ℝ)
83fvexi 6921 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
98mptex 7243 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ V
109limsupcli 45713 . . . . 5 (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
12 nfv 1912 . . . . . 6 𝑘𝜑
13 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑘𝐹
1412, 13, 2, 3, 4liminfvaluz4 45755 . . . . 5 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
15 liminfltlem.r . . . . 5 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
1614, 15eqeltrrd 2840 . . . 4 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
1711, 16xnegrecl2d 45417 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
18 liminfltlem.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
191, 2, 3, 7, 17, 18limsupgt 45734 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
20 simpll 767 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
213uztrn2 12895 . . . . . 6 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
2221adantll 714 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
23 negex 11504 . . . . . . . . . . 11 -(𝐹𝑘) ∈ V
24 fvmpt4 45182 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘𝑍 ∧ -(𝐹𝑘) ∈ V) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
2523, 24mpan2 691 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
2625adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
2726oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) = (-(𝐹𝑘) − 𝑋))
285recnd 11287 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2918rpred 13075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑋 ∈ ℝ)
3130recnd 11287 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑋 ∈ ℂ)
3228, 31negdi2d 11632 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → -((𝐹𝑘) + 𝑋) = (-(𝐹𝑘) − 𝑋))
3327, 32eqtr4d 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) = -((𝐹𝑘) + 𝑋))
3417recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∈ ℂ)
3517rexnegd 45083 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
3614, 35eqtr2d 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = (lim inf‘𝐹))
3734, 36negcon1ad 11613 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(lim inf‘𝐹) = (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
3837eqcomd 2741 . . . . . . . 8 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -(lim inf‘𝐹))
3938adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -(lim inf‘𝐹))
4033, 39breq12d 5161 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ↔ -((𝐹𝑘) + 𝑋) < -(lim inf‘𝐹)))
4115adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
425, 30readdcld 11288 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) + 𝑋) ∈ ℝ)
4341, 42ltnegd 11839 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋) ↔ -((𝐹𝑘) + 𝑋) < -(lim inf‘𝐹)))
4440, 43bitr4d 282 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋)))
4520, 22, 44syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋)))
4645ralbidva 3174 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋)))
4746rexbidva 3175 . 2 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋)))
4819, 47mpbid 232 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152   + caddc 11156  *cxr 11292   < clt 11293  cmin 11490  -cneg 11491  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  -𝑒cxne 13149  lim supclsp 15503  lim infclsi 45707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-ceil 13830  df-limsup 15504  df-liminf 45708
This theorem is referenced by:  liminflt  45761
  Copyright terms: Public domain W3C validator