Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfltlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfltlem 41548
Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's approximated from above by the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfltlem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminfltlem.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminfltlem.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminfltlem.r (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminfltlem.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
liminfltlem (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝑘,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem liminfltlem
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5021 . . 3 𝑘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))
2 liminfltlem.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 liminfltlem.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 liminfltlem.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
54ffvelrnda 6674 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
65renegcld 10866 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → -(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
76fmpttd 6700 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)):𝑍⟶ℝ)
83fvexi 6510 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
98mptex 6810 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ V
109limsupcli 41501 . . . . 5 (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
12 nfv 1874 . . . . . 6 𝑘𝜑
13 nfcv 2925 . . . . . 6 𝑘𝐹
1412, 13, 2, 3, 4liminfvaluz4 41543 . . . . 5 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
15 liminfltlem.r . . . . 5 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
1614, 15eqeltrrd 2860 . . . 4 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
1711, 16xnegrecl2d 41206 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
18 liminfltlem.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
191, 2, 3, 7, 17, 18limsupgt 41522 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
20 simpll 755 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
213uztrn2 12074 . . . . . 6 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
2221adantll 702 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
23 negex 10682 . . . . . . . . . . 11 -(𝐹𝑘) ∈ V
24 fvmpt4 40968 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘𝑍 ∧ -(𝐹𝑘) ∈ V) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
2523, 24mpan2 679 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
2625adantl 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
2726oveq1d 6989 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) = (-(𝐹𝑘) − 𝑋))
285recnd 10466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2918rpred 12246 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3029adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑋 ∈ ℝ)
3130recnd 10466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑋 ∈ ℂ)
3228, 31negdi2d 10810 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → -((𝐹𝑘) + 𝑋) = (-(𝐹𝑘) − 𝑋))
3327, 32eqtr4d 2810 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) = -((𝐹𝑘) + 𝑋))
3417recnd 10466 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∈ ℂ)
3517rexnegd 40869 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
3614, 35eqtr2d 2808 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = (lim inf‘𝐹))
3734, 36negcon1ad 10791 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(lim inf‘𝐹) = (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
3837eqcomd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -(lim inf‘𝐹))
3938adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -(lim inf‘𝐹))
4033, 39breq12d 4938 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ↔ -((𝐹𝑘) + 𝑋) < -(lim inf‘𝐹)))
4115adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
425, 30readdcld 10467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) + 𝑋) ∈ ℝ)
4341, 42ltnegd 11017 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋) ↔ -((𝐹𝑘) + 𝑋) < -(lim inf‘𝐹)))
4440, 43bitr4d 274 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋)))
4520, 22, 44syl2anc 576 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋)))
4645ralbidva 3139 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋)))
4746rexbidva 3234 . 2 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋)))
4819, 47mpbid 224 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3081  wrex 3082  Vcvv 3408   class class class wbr 4925  cmpt 5004  wf 6181  cfv 6185  (class class class)co 6974  cr 10332   + caddc 10336  *cxr 10471   < clt 10472  cmin 10668  -cneg 10669  cz 11791  cuz 12056  +crp 12202  -𝑒cxne 12319  lim supclsp 14686  lim infclsi 41495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-sup 8699  df-inf 8700  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-xneg 12322  df-xadd 12323  df-ico 12558  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-fl 12975  df-ceil 12976  df-limsup 14687  df-liminf 41496
This theorem is referenced by:  liminflt  41549
  Copyright terms: Public domain W3C validator