Theorem liminfltlem 43345

Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's approximated from above by the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfltlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfltlem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfltlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminfltlem.r	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminfltlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
liminfltlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝑘,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem liminfltlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5182	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))
2		liminfltlem.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		liminfltlem.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		liminfltlem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
5	4	ffvelrnda 6961	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
6	5	renegcld 11402	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
7	6	fmpttd 6989	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)):𝑍⟶ℝ)
8	3	fvexi 6788	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
9	8	mptex 7099	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ V
10	9	limsupcli 43298	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
12		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
13		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
14	12, 13, 2, 3, 4	liminfvaluz4 43340	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
15		liminfltlem.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
16	14, 15	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
17	11, 16	xnegrecl2d 43007	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
18		liminfltlem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
19	1, 2, 3, 7, 17, 18	limsupgt 43319	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
20		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
21	3	uztrn2 12601	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
22	21	adantll 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
23		negex 11219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(𝐹‘𝑘) ∈ V
24		fvmpt4 42782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ -(𝐹‘𝑘) ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
25	23, 24	mpan2 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
26	25	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
27	26	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) = (-(𝐹‘𝑘) − 𝑋))
28	5	recnd 11003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
29	18	rpred 12772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑋 ∈ ℝ)
31	30	recnd 11003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑋 ∈ ℂ)
32	28, 31	negdi2d 11346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -((𝐹‘𝑘) + 𝑋) = (-(𝐹‘𝑘) − 𝑋))
33	27, 32	eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) = -((𝐹‘𝑘) + 𝑋))
34	17	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℂ)
35	17	rexnegd 42692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
36	14, 35	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = (lim inf‘𝐹))
37	34, 36	negcon1ad 11327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(lim inf‘𝐹) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
38	37	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim inf‘𝐹))
39	38	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim inf‘𝐹))
40	33, 39	breq12d 5087	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ -((𝐹‘𝑘) + 𝑋) < -(lim inf‘𝐹)))
41	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
42	5, 30	readdcld 11004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑋) ∈ ℝ)
43	41, 42	ltnegd 11553	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋) ↔ -((𝐹‘𝑘) + 𝑋) < -(lim inf‘𝐹)))
44	40, 43	bitr4d 281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
45	20, 22, 44	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
46	45	ralbidva 3111	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
47	46	rexbidva 3225	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
48	19, 47	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870   + caddc 10874  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   − cmin 11205  -cneg 11206  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  -_𝑒cxne 12845  lim supclsp 15179  lim infclsi 43292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-ceil 13513  df-limsup 15180  df-liminf 43293

This theorem is referenced by:  liminflt  43346