Theorem liminfltlem 44165

Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's approximated from above by the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfltlem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfltlem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfltlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminfltlem.r	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminfltlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
liminfltlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝑘,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem liminfltlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5218	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))
2		liminfltlem.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		liminfltlem.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		liminfltlem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
5	4	ffvelcdmda 7040	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
6	5	renegcld 11591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
7	6	fmpttd 7068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)):𝑍⟶ℝ)
8	3	fvexi 6861	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
9	8	mptex 7178	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ V
10	9	limsupcli 44118	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
12		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
13		nfcv 2902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
14	12, 13, 2, 3, 4	liminfvaluz4 44160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
15		liminfltlem.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
16	14, 15	eqeltrrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
17	11, 16	xnegrecl2d 43822	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
18		liminfltlem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
19	1, 2, 3, 7, 17, 18	limsupgt 44139	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
20		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
21	3	uztrn2 12791	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
22	21	adantll 712	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
23		negex 11408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(𝐹‘𝑘) ∈ V
24		fvmpt4 43585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ -(𝐹‘𝑘) ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
25	23, 24	mpan2 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
26	25	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
27	26	oveq1d 7377	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) = (-(𝐹‘𝑘) − 𝑋))
28	5	recnd 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
29	18	rpred 12966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑋 ∈ ℝ)
31	30	recnd 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑋 ∈ ℂ)
32	28, 31	negdi2d 11535	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -((𝐹‘𝑘) + 𝑋) = (-(𝐹‘𝑘) − 𝑋))
33	27, 32	eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) = -((𝐹‘𝑘) + 𝑋))
34	17	recnd 11192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∈ ℂ)
35	17	rexnegd 43475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
36	14, 35	eqtr2d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = (lim inf‘𝐹))
37	34, 36	negcon1ad 11516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(lim inf‘𝐹) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
38	37	eqcomd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim inf‘𝐹))
39	38	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim inf‘𝐹))
40	33, 39	breq12d 5123	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ -((𝐹‘𝑘) + 𝑋) < -(lim inf‘𝐹)))
41	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
42	5, 30	readdcld 11193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) + 𝑋) ∈ ℝ)
43	41, 42	ltnegd 11742	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋) ↔ -((𝐹‘𝑘) + 𝑋) < -(lim inf‘𝐹)))
44	40, 43	bitr4d 281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
45	20, 22, 44	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
46	45	ralbidva 3168	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
47	46	rexbidva 3169	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
48	19, 47	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3446   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℝcr 11059   + caddc 11063  ℝ^*cxr 11197   < clt 11198   − cmin 11394  -cneg 11395  ℤcz 12508  ℤ_≥cuz 12772  ℝ⁺crp 12924  -_𝑒cxne 13039  lim supclsp 15364  lim infclsi 44112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9387  df-inf 9388  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-ico 13280  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-ceil 13708  df-limsup 15365  df-liminf 44113

This theorem is referenced by:  liminflt  44166