Theorem limsupvaluz4 42087

Description: Alternate definition of lim inf for a real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupvaluz4.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupvaluz4.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupvaluz4.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupvaluz4.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
limsupvaluz4	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem limsupvaluz4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupvaluz4.k	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		limsupvaluz4.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		limsupvaluz4.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		limsupvaluz4.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 10694	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6	1, 2, 3, 5	limsupvaluz3 42085	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐵)))
7	4	rexnegd 41418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
8	1, 7	mpteq2da 5163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝐵))
9	8	fveq2d 6677	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐵)) = (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝐵)))
10	9	xnegeqd 41717	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝐵)))
11	6, 10	eqtrd 2859	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2113   ↦ cmpt 5149  ‘cfv 6358  ℝcr 10539  -cneg 10874  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  -_𝑒cxne 12507  lim supclsp 14830  lim infclsi 42038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-xneg 12510  df-ico 12747  df-limsup 14831  df-liminf 42039

This theorem is referenced by:  climliminflimsupd  42088