Theorem limsupvaluz4 43295

Description: Alternate definition of lim inf for a real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupvaluz4.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupvaluz4.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupvaluz4.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupvaluz4.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
limsupvaluz4	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem limsupvaluz4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupvaluz4.k	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		limsupvaluz4.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		limsupvaluz4.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		limsupvaluz4.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 11009	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6	1, 2, 3, 5	limsupvaluz3 43293	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐵)))
7	4	rexnegd 42645	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
8	1, 7	mpteq2da 5176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝐵))
9	8	fveq2d 6772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐵)) = (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝐵)))
10	9	xnegeqd 42931	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝐵)))
11	6, 10	eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1789   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5161  ‘cfv 6430  ℝcr 10854  -cneg 11189  ℤcz 12302  ℤ_≥cuz 12564  -_𝑒cxne 12827  lim supclsp 15160  lim infclsi 43246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-inf 9163  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-q 12671  df-xneg 12830  df-ico 13067  df-limsup 15161  df-liminf 43247

This theorem is referenced by:  climliminflimsupd  43296