Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupvaluz4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupvaluz4 41513
Description: Alternate definition of lim inf for a real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupvaluz4.k 𝑘𝜑
limsupvaluz4.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupvaluz4.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupvaluz4.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
limsupvaluz4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ -𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem limsupvaluz4
StepHypRef Expression
1 limsupvaluz4.k . . 3 𝑘𝜑
2 limsupvaluz4.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 limsupvaluz4.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 limsupvaluz4.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
54rexrd 10492 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
61, 2, 3, 5limsupvaluz3 41511 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ -𝑒𝐵)))
74rexnegd 40835 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
81, 7mpteq2da 5022 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -𝑒𝐵) = (𝑘𝑍 ↦ -𝐵))
98fveq2d 6505 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ -𝑒𝐵)) = (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ -𝐵)))
109xnegeqd 41143 . 2 (𝜑 → -𝑒(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ -𝐵)))
116, 10eqtrd 2814 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ -𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wnf 1746  wcel 2050  cmpt 5009  cfv 6190  cr 10336  -cneg 10673  cz 11796  cuz 12061  -𝑒cxne 12324  lim supclsp 14691  lim infclsi 41464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-sup 8703  df-inf 8704  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-q 12166  df-xneg 12327  df-ico 12563  df-limsup 14692  df-liminf 41465
This theorem is referenced by:  climliminflimsupd  41514
  Copyright terms: Public domain W3C validator