Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupvaluz4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupvaluz4 45247
Description: Alternate definition of lim inf for a real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupvaluz4.k β„²π‘˜πœ‘
limsupvaluz4.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
limsupvaluz4.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
limsupvaluz4.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
limsupvaluz4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) = -𝑒(lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem limsupvaluz4
StepHypRef Expression
1 limsupvaluz4.k . . 3 β„²π‘˜πœ‘
2 limsupvaluz4.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 limsupvaluz4.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 limsupvaluz4.b . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
54rexrd 11289 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
61, 2, 3, 5limsupvaluz3 45245 . 2 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) = -𝑒(lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐡)))
74rexnegd 44570 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ -𝑒𝐡 = -𝐡)
81, 7mpteq2da 5242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -𝐡))
98fveq2d 6894 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐡)) = (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)))
109xnegeqd 44878 . 2 (πœ‘ β†’ -𝑒(lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐡)) = -𝑒(lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)))
116, 10eqtrd 2765 1 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) = -𝑒(lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5227  β€˜cfv 6543  β„cr 11132  -cneg 11470  β„€cz 12583  β„€β‰₯cuz 12847  -𝑒cxne 13116  lim supclsp 15441  lim infclsi 45198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-xneg 13119  df-ico 13357  df-limsup 15442  df-liminf 45199
This theorem is referenced by:  climliminflimsupd  45248
  Copyright terms: Public domain W3C validator