Theorem limsupvaluz4 45759

Description: Alternate definition of lim inf for a real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupvaluz4.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupvaluz4.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupvaluz4.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupvaluz4.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
limsupvaluz4	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem limsupvaluz4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupvaluz4.k	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		limsupvaluz4.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		limsupvaluz4.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		limsupvaluz4.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 11277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6	1, 2, 3, 5	limsupvaluz3 45757	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐵)))
7	4	rexnegd 45094	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
8	1, 7	mpteq2da 5210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝐵))
9	8	fveq2d 6876	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐵)) = (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝐵)))
10	9	xnegeqd 45392	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝐵)))
11	6, 10	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1782   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5198  ‘cfv 6527  ℝcr 11120  -cneg 11459  ℤcz 12580  ℤ_≥cuz 12844  -_𝑒cxne 13117  lim supclsp 15473  lim infclsi 45710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9448  df-inf 9449  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12957  df-xneg 13120  df-ico 13359  df-limsup 15474  df-liminf 45711

This theorem is referenced by:  climliminflimsupd  45760