Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climliminflimsupd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climliminflimsupd 42071
Description: If a sequence of real numbers converges, its inferior limit and its superior limit are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climliminflimsupd.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climliminflimsupd.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
climliminflimsupd.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
climliminflimsupd.4 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
climliminflimsupd (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem climliminflimsupd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climliminflimsupd.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
21feqmptd 6726 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))
32fveq2d 6667 . . . . 5 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
4 climliminflimsupd.2 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
54fvexi 6677 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V
65mptex 6978 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ∈ V
7 liminfcl 42033 . . . . . . 7 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ∈ V → (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
103, 9eqeltrd 2911 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
11 nfv 1908 . . . . . . 7 𝑘𝜑
12 climliminflimsupd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
131ffvelrnda 6844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1413renegcld 11059 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → -(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1511, 12, 4, 14limsupvaluz4 42070 . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -𝑒(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘))))
16 climrel 14841 . . . . . . . . . 10 Rel ⇝
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Rel ⇝ )
18 nfcv 2975 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐹
19 climliminflimsupd.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
2012, 4, 1climlimsup 42030 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
2119, 20mpbid 234 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
2213recnd 10661 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2311, 18, 4, 12, 21, 22climneg 41880 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹))
24 releldm 5807 . . . . . . . . 9 ((Rel ⇝ ∧ (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹)) → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ dom ⇝ )
2517, 23, 24syl2anc 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ dom ⇝ )
2614fmpttd 6872 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)):𝑍⟶ℝ)
2712, 4, 26climlimsup 42030 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)))))
2825, 27mpbid 234 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
29 climuni 14901 . . . . . . 7 (((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∧ (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -(lim sup‘𝐹))
3028, 23, 29syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -(lim sup‘𝐹))
3122negnegd 10980 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → --(𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
3231mpteq2dva 5152 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))
3332, 2eqtr4d 2857 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘)) = 𝐹)
3433fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘))) = (lim inf‘𝐹))
3534xnegeqd 41700 . . . . . 6 (𝜑 → -𝑒(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘))) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
3615, 30, 353eqtr3d 2862 . . . . 5 (𝜑 → -(lim sup‘𝐹) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
374, 12, 21, 13climrecl 14932 . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
3837renegcld 11059 . . . . 5 (𝜑 → -(lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
3936, 38eqeltrrd 2912 . . . 4 (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
40 xnegrecl2 41725 . . . 4 (((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
4110, 39, 40syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
4241recnd 10661 . 2 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
4337recnd 10661 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
4441rexnegd 41401 . . 3 (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) = -(lim inf‘𝐹))
4536, 44eqtr2d 2855 . 2 (𝜑 → -(lim inf‘𝐹) = -(lim sup‘𝐹))
4642, 43, 45neg11d 11001 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3493   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  Rel wrel 5553  wf 6344  cfv 6348  cr 10528  *cxr 10666  -cneg 10863  cz 11973  cuz 12235  -𝑒cxne 12496  lim supclsp 14819  cli 14833  lim infclsi 42021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-ico 12736  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-liminf 42022
This theorem is referenced by:  climliminf  42076  climliminflimsup  42078  climliminflimsup2  42079  xlimliminflimsup  42132
  Copyright terms: Public domain W3C validator