Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climliminflimsupd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climliminflimsupd 40828
 Description: If a sequence of real numbers converges, its inferior limit and its superior limit are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climliminflimsupd.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climliminflimsupd.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
climliminflimsupd.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
climliminflimsupd.4 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
climliminflimsupd (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem climliminflimsupd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climliminflimsupd.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
21feqmptd 6496 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))
32fveq2d 6437 . . . . 5 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
4 climliminflimsupd.2 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
54fvexi 6447 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V
65mptex 6742 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ∈ V
7 liminfcl 40790 . . . . . . 7 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ∈ V → (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
103, 9eqeltrd 2906 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
11 nfv 2015 . . . . . . 7 𝑘𝜑
12 climliminflimsupd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
131ffvelrnda 6608 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1413renegcld 10781 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → -(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1511, 12, 4, 14limsupvaluz4 40827 . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -𝑒(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘))))
16 climrel 14600 . . . . . . . . . 10 Rel ⇝
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Rel ⇝ )
18 nfcv 2969 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐹
19 climliminflimsupd.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
2012, 4, 1climlimsup 40787 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
2119, 20mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
2213recnd 10385 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2311, 18, 4, 12, 21, 22climneg 40637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹))
24 releldm 5591 . . . . . . . . 9 ((Rel ⇝ ∧ (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹)) → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ dom ⇝ )
2517, 23, 24syl2anc 581 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ dom ⇝ )
2614fmpttd 6634 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)):𝑍⟶ℝ)
2712, 4, 26climlimsup 40787 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)))))
2825, 27mpbid 224 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
29 climuni 14660 . . . . . . 7 (((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∧ (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -(lim sup‘𝐹))
3028, 23, 29syl2anc 581 . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -(lim sup‘𝐹))
3122negnegd 10704 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → --(𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
3231mpteq2dva 4967 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))
3332, 2eqtr4d 2864 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘)) = 𝐹)
3433fveq2d 6437 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘))) = (lim inf‘𝐹))
3534xnegeqd 40459 . . . . . 6 (𝜑 → -𝑒(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘))) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
3615, 30, 353eqtr3d 2869 . . . . 5 (𝜑 → -(lim sup‘𝐹) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
374, 12, 21, 13climrecl 14691 . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
3837renegcld 10781 . . . . 5 (𝜑 → -(lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
3936, 38eqeltrrd 2907 . . . 4 (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
40 xnegrecl2 40484 . . . 4 (((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
4110, 39, 40syl2anc 581 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
4241recnd 10385 . 2 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
4337recnd 10385 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
4441rexnegd 40144 . . 3 (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) = -(lim inf‘𝐹))
4536, 44eqtr2d 2862 . 2 (𝜑 → -(lim inf‘𝐹) = -(lim sup‘𝐹))
4642, 43, 45neg11d 10725 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3414   class class class wbr 4873   ↦ cmpt 4952  dom cdm 5342  Rel wrel 5347  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  ℝcr 10251  ℝ*cxr 10390  -cneg 10586  ℤcz 11704  ℤ≥cuz 11968  -𝑒cxne 12229  lim supclsp 14578   ⇝ cli 14592  lim infclsi 40778 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-ico 12469  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-limsup 14579  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-liminf 40779 This theorem is referenced by:  climliminf  40833  climliminflimsup  40835  climliminflimsup2  40836
 Copyright terms: Public domain W3C validator