Theorem climliminflimsupd 42443

Description: If a sequence of real numbers converges, its inferior limit and its superior limit are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climliminflimsupd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climliminflimsupd.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climliminflimsupd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
climliminflimsupd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
climliminflimsupd	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem climliminflimsupd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climliminflimsupd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
2	1	feqmptd 6708	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))
3	2	fveq2d 6649	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))))
4		climliminflimsupd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	fvexi 6659	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ∈ V
6	5	mptex 6963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∈ V
7		liminfcl 42405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∈ V → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
10	3, 9	eqeltrd 2890	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
11		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
12		climliminflimsupd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	1	ffvelrnda 6828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
14	13	renegcld 11056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
15	11, 12, 4, 14	limsupvaluz4 42442	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘))))
16		climrel 14841	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ⇝
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Rel ⇝ )
18		nfcv 2955	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
19		climliminflimsupd.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
20	12, 4, 1	climlimsup 42402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
21	19, 20	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
22	13	recnd 10658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23	11, 18, 4, 12, 21, 22	climneg 42252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹))
24		releldm 5778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ dom ⇝ )
25	17, 23, 24	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ dom ⇝ )
26	14	fmpttd 6856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)):𝑍⟶ℝ)
27	12, 4, 26	climlimsup 42402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)))))
28	25, 27	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
29		climuni 14901	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim sup‘𝐹))
30	28, 23, 29	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim sup‘𝐹))
31	22	negnegd 10977	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → --(𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
32	31	mpteq2dva 5125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))
33	32, 2	eqtr4d 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘)) = 𝐹)
34	33	fveq2d 6649	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘))) = (lim inf‘𝐹))
35	34	xnegeqd 42074	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘))) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
36	15, 30, 35	3eqtr3d 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(lim sup‘𝐹) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
37	4, 12, 21, 13	climrecl 14932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
38	37	renegcld 11056	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
39	36, 38	eqeltrrd 2891	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
40		xnegrecl2 42099	. . . 4 ⊢ (((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
41	10, 39, 40	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
42	41	recnd 10658	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
43	37	recnd 10658	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
44	41	rexnegd 41780	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) = -(lim inf‘𝐹))
45	36, 44	eqtr2d 2834	. 2 ⊢ (𝜑 → -(lim inf‘𝐹) = -(lim sup‘𝐹))
46	42, 43, 45	neg11d 10998	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519  Rel wrel 5524  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  ℝcr 10525  ℝ^*cxr 10663  -cneg 10860  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  -_𝑒cxne 12492  lim supclsp 14819   ⇝ cli 14833  lim infclsi 42393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-ico 12732  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-liminf 42394

This theorem is referenced by:  climliminf  42448  climliminflimsup  42450  climliminflimsup2  42451  xlimliminflimsup  42504