Theorem climliminflimsupd 45773

Description: If a sequence of real numbers converges, its inferior limit and its superior limit are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climliminflimsupd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climliminflimsupd.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climliminflimsupd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
climliminflimsupd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
climliminflimsupd	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem climliminflimsupd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climliminflimsupd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
2	1	feqmptd 6957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))
3	2	fveq2d 6890	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))))
4		climliminflimsupd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	fvexi 6900	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ∈ V
6	5	mptex 7225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∈ V
7		liminfcl 45735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∈ V → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
10	3, 9	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
11		nfv 1913	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
12		climliminflimsupd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	1	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
14	13	renegcld 11672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
15	11, 12, 4, 14	limsupvaluz4 45772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘))))
16		climrel 15510	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ⇝
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Rel ⇝ )
18		nfcv 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
19		climliminflimsupd.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
20	12, 4, 1	climlimsup 45732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
21	19, 20	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
22	13	recnd 11271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23	11, 18, 4, 12, 21, 22	climneg 45582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹))
24		releldm 5935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ dom ⇝ )
25	17, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ dom ⇝ )
26	14	fmpttd 7115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)):𝑍⟶ℝ)
27	12, 4, 26	climlimsup 45732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)))))
28	25, 27	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
29		climuni 15570	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim sup‘𝐹))
30	28, 23, 29	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim sup‘𝐹))
31	22	negnegd 11593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → --(𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
32	31	mpteq2dva 5222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))
33	32, 2	eqtr4d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘)) = 𝐹)
34	33	fveq2d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘))) = (lim inf‘𝐹))
35	34	xnegeqd 45405	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘))) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
36	15, 30, 35	3eqtr3d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(lim sup‘𝐹) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
37	4, 12, 21, 13	climrecl 15601	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
38	37	renegcld 11672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
39	36, 38	eqeltrrd 2834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
40		xnegrecl2 45428	. . . 4 ⊢ (((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
41	10, 39, 40	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11271	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
43	37	recnd 11271	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
44	41	rexnegd 45105	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) = -(lim inf‘𝐹))
45	36, 44	eqtr2d 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → -(lim inf‘𝐹) = -(lim sup‘𝐹))
46	42, 43, 45	neg11d 11614	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463   class class class wbr 5123   ↦ cmpt 5205  dom cdm 5665  Rel wrel 5670  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  ℝcr 11136  ℝ^*cxr 11276  -cneg 11475  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  -_𝑒cxne 13133  lim supclsp 15488   ⇝ cli 15502  lim infclsi 45723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-pm 8851  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13136  df-ico 13375  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-liminf 45724

This theorem is referenced by:  climliminf  45778  climliminflimsup  45780  climliminflimsup2  45781  xlimliminflimsup  45834