Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climliminflimsupd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climliminflimsupd 45112
Description: If a sequence of real numbers converges, its inferior limit and its superior limit are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climliminflimsupd.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climliminflimsupd.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
climliminflimsupd.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
climliminflimsupd.4 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
climliminflimsupd (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem climliminflimsupd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climliminflimsupd.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
21feqmptd 6961 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))
32fveq2d 6895 . . . . 5 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
4 climliminflimsupd.2 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
54fvexi 6905 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V
65mptex 7229 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ∈ V
7 liminfcl 45074 . . . . . . 7 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ∈ V → (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
103, 9eqeltrd 2828 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
11 nfv 1910 . . . . . . 7 𝑘𝜑
12 climliminflimsupd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
131ffvelcdmda 7088 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1413renegcld 11663 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → -(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1511, 12, 4, 14limsupvaluz4 45111 . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -𝑒(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘))))
16 climrel 15460 . . . . . . . . . 10 Rel ⇝
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Rel ⇝ )
18 nfcv 2898 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐹
19 climliminflimsupd.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
2012, 4, 1climlimsup 45071 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
2119, 20mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
2213recnd 11264 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2311, 18, 4, 12, 21, 22climneg 44921 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹))
24 releldm 5940 . . . . . . . . 9 ((Rel ⇝ ∧ (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹)) → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ dom ⇝ )
2517, 23, 24syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ dom ⇝ )
2614fmpttd 7119 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)):𝑍⟶ℝ)
2712, 4, 26climlimsup 45071 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)))))
2825, 27mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
29 climuni 15520 . . . . . . 7 (((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∧ (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -(lim sup‘𝐹))
3028, 23, 29syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -(lim sup‘𝐹))
3122negnegd 11584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → --(𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
3231mpteq2dva 5242 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))
3332, 2eqtr4d 2770 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘)) = 𝐹)
3433fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘))) = (lim inf‘𝐹))
3534xnegeqd 44742 . . . . . 6 (𝜑 → -𝑒(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘))) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
3615, 30, 353eqtr3d 2775 . . . . 5 (𝜑 → -(lim sup‘𝐹) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
374, 12, 21, 13climrecl 15551 . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
3837renegcld 11663 . . . . 5 (𝜑 → -(lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
3936, 38eqeltrrd 2829 . . . 4 (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
40 xnegrecl2 44765 . . . 4 (((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
4110, 39, 40syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
4241recnd 11264 . 2 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
4337recnd 11264 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
4441rexnegd 44432 . . 3 (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) = -(lim inf‘𝐹))
4536, 44eqtr2d 2768 . 2 (𝜑 → -(lim inf‘𝐹) = -(lim sup‘𝐹))
4642, 43, 45neg11d 11605 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3469   class class class wbr 5142  cmpt 5225  dom cdm 5672  Rel wrel 5677  wf 6538  cfv 6542  cr 11129  *cxr 11269  -cneg 11467  cz 12580  cuz 12844  -𝑒cxne 13113  lim supclsp 15438  cli 15452  lim infclsi 45062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-ico 13354  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-liminf 45063
This theorem is referenced by:  climliminf  45117  climliminflimsup  45119  climliminflimsup2  45120  xlimliminflimsup  45173
  Copyright terms: Public domain W3C validator