Theorem climliminflimsupd 46229

Description: If a sequence of real numbers converges, its inferior limit and its superior limit are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climliminflimsupd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climliminflimsupd.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climliminflimsupd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
climliminflimsupd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
climliminflimsupd	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem climliminflimsupd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climliminflimsupd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
2	1	feqmptd 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))
3	2	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))))
4		climliminflimsupd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	fvexi 6854	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ∈ V
6	5	mptex 7178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∈ V
7		liminfcl 46191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∈ V → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
10	3, 9	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
11		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
12		climliminflimsupd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	1	ffvelcdmda 7036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
14	13	renegcld 11577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
15	11, 12, 4, 14	limsupvaluz4 46228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘))))
16		climrel 15454	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ⇝
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Rel ⇝ )
18		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
19		climliminflimsupd.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
20	12, 4, 1	climlimsup 46188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
21	19, 20	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
22	13	recnd 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23	11, 18, 4, 12, 21, 22	climneg 46040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹))
24		releldm 5899	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ dom ⇝ )
25	17, 23, 24	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ dom ⇝ )
26	14	fmpttd 7067	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)):𝑍⟶ℝ)
27	12, 4, 26	climlimsup 46188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)))))
28	25, 27	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
29		climuni 15514	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim sup‘𝐹))
30	28, 23, 29	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim sup‘𝐹))
31	22	negnegd 11496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → --(𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
32	31	mpteq2dva 5178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))
33	32, 2	eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘)) = 𝐹)
34	33	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘))) = (lim inf‘𝐹))
35	34	xnegeqd 45865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘))) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
36	15, 30, 35	3eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(lim sup‘𝐹) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
37	4, 12, 21, 13	climrecl 15545	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
38	37	renegcld 11577	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
39	36, 38	eqeltrrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
40		xnegrecl2 45888	. . . 4 ⊢ (((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
41	10, 39, 40	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11173	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
43	37	recnd 11173	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
44	41	rexnegd 45573	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) = -(lim inf‘𝐹))
45	36, 44	eqtr2d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → -(lim inf‘𝐹) = -(lim sup‘𝐹))
46	42, 43, 45	neg11d 11517	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631  Rel wrel 5636  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  ℝcr 11037  ℝ^*cxr 11178  -cneg 11378  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  -_𝑒cxne 13060  lim supclsp 15432   ⇝ cli 15446  lim infclsi 46179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-ico 13304  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-liminf 46180

This theorem is referenced by:  climliminf  46234  climliminflimsup  46236  climliminflimsup2  46237  xlimliminflimsup  46290