Theorem climliminflimsupd 45112

Description: If a sequence of real numbers converges, its inferior limit and its superior limit are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climliminflimsupd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climliminflimsupd.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climliminflimsupd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
climliminflimsupd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
climliminflimsupd	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem climliminflimsupd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climliminflimsupd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
2	1	feqmptd 6961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))
3	2	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))))
4		climliminflimsupd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	fvexi 6905	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ∈ V
6	5	mptex 7229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∈ V
7		liminfcl 45074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∈ V → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
10	3, 9	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
11		nfv 1910	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
12		climliminflimsupd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	1	ffvelcdmda 7088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
14	13	renegcld 11663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
15	11, 12, 4, 14	limsupvaluz4 45111	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘))))
16		climrel 15460	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ⇝
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Rel ⇝ )
18		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
19		climliminflimsupd.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
20	12, 4, 1	climlimsup 45071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
21	19, 20	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
22	13	recnd 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23	11, 18, 4, 12, 21, 22	climneg 44921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹))
24		releldm 5940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ dom ⇝ )
25	17, 23, 24	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ dom ⇝ )
26	14	fmpttd 7119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)):𝑍⟶ℝ)
27	12, 4, 26	climlimsup 45071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)))))
28	25, 27	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
29		climuni 15520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim sup‘𝐹))
30	28, 23, 29	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim sup‘𝐹))
31	22	negnegd 11584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → --(𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
32	31	mpteq2dva 5242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))
33	32, 2	eqtr4d 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘)) = 𝐹)
34	33	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘))) = (lim inf‘𝐹))
35	34	xnegeqd 44742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘))) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
36	15, 30, 35	3eqtr3d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(lim sup‘𝐹) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
37	4, 12, 21, 13	climrecl 15551	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
38	37	renegcld 11663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
39	36, 38	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
40		xnegrecl2 44765	. . . 4 ⊢ (((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
41	10, 39, 40	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11264	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
43	37	recnd 11264	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
44	41	rexnegd 44432	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) = -(lim inf‘𝐹))
45	36, 44	eqtr2d 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → -(lim inf‘𝐹) = -(lim sup‘𝐹))
46	42, 43, 45	neg11d 11605	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  Rel wrel 5677  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  ℝcr 11129  ℝ^*cxr 11269  -cneg 11467  ℤcz 12580  ℤ_≥cuz 12844  -_𝑒cxne 13113  lim supclsp 15438   ⇝ cli 15452  lim infclsi 45062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-ico 13354  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-liminf 45063

This theorem is referenced by:  climliminf  45117  climliminflimsup  45119  climliminflimsup2  45120  xlimliminflimsup  45173