Theorem climliminflimsupd 46616

Description: If a sequence of real numbers converges, its inferior limit and its superior limit are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climliminflimsupd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climliminflimsupd.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climliminflimsupd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
climliminflimsupd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
climliminflimsupd	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem climliminflimsupd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climliminflimsupd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
2	1	feqmptd 6950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))
3	2	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))))
4		climliminflimsupd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	fvexi 6896	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ∈ V
6	5	mptex 7225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∈ V
7		liminfcl 46578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∈ V → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
10	3, 9	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
11		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
12		climliminflimsupd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	1	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
14	13	renegcld 11668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
15	11, 12, 4, 14	limsupvaluz4 46615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘))))
16		climrel 15581	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ⇝
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Rel ⇝ )
18		nfcv 2924	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
19		climliminflimsupd.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
20	12, 4, 1	climlimsup 46575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
21	19, 20	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
22	13	recnd 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23	11, 18, 4, 12, 21, 22	climneg 46427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹))
24		releldm 5932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ dom ⇝ )
25	17, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ dom ⇝ )
26	14	fmpttd 7111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)):𝑍⟶ℝ)
27	12, 4, 26	climlimsup 46575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)))))
28	25, 27	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))))
29		climuni 15641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim sup‘𝐹))
30	28, 23, 29	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑘))) = -(lim sup‘𝐹))
31	22	negnegd 11587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → --(𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
32	31	mpteq2dva 5202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))
33	32, 2	eqtr4d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘)) = 𝐹)
34	33	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘))) = (lim inf‘𝐹))
35	34	xnegeqd 46252	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ --(𝐹‘𝑘))) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
36	15, 30, 35	3eqtr3d 2805	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(lim sup‘𝐹) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
37	4, 12, 21, 13	climrecl 15672	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
38	37	renegcld 11668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
39	36, 38	eqeltrrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
40		xnegrecl2 46275	. . . 4 ⊢ (((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
41	10, 39, 40	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11264	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
43	37	recnd 11264	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
44	41	rexnegd 45962	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) = -(lim inf‘𝐹))
45	36, 44	eqtr2d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → -(lim inf‘𝐹) = -(lim sup‘𝐹))
46	42, 43, 45	neg11d 11608	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659  Rel wrel 5664  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℝcr 11126  ℝ^*cxr 11269  -cneg 11469  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  -_𝑒cxne 13162  lim supclsp 15559   ⇝ cli 15573  lim infclsi 46566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-ico 13406  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-liminf 46567

This theorem is used by:  climliminf  46621  climliminflimsup  46623  climliminflimsup2  46624  xlimliminflimsup  46677