Theorem lshpdisj 38943

Description: A hyperplane and the span in the hyperplane definition are disjoint. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpdisj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lshpdisj.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpdisj.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpdisj.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpdisj.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpdisj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpdisj.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lshpdisj	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) = { 0 })

Proof of Theorem lshpdisj

Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpdisj.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
5		lshpdisj.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9		lshpdisj.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		lshpdisj.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	7, 8, 9, 10, 11	ellspsn 21024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
13	4, 6, 12	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
14		lshpdisj.p	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
15		lshpdisj.h	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
16		lshpdisj.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
17		lshpdisj.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
18	9, 11, 14, 15, 3, 16, 5, 17	lshpnel 38939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
19	18	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
20		lshpdisj.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
21		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
22	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
23	21, 15, 3, 16	lshplss 38937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
28	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
29	9, 10, 7, 8, 11, 26, 27, 28	ellspsni 21022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 )
32	9, 20, 21, 11, 22, 24, 25, 30, 31	ellspsn4 21149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
33	19, 32	mtbid 324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
34	33	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
35	34	necon4ad 2965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 ))
36		eleq1 2832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
37		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 = 0 ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 ))
38	36, 37	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → ((𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 ) ↔ ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )))
39	35, 38	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 )))
40	39	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 ))))
41	40	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 ))))
42	41	com24 95	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑈 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))))
43	42	imp31 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
44	43	rexlimdva 3161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
45	13, 44	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑣 = 0 ))
46	45	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑣 = 0 ))
47		elin 3992	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑣 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
48		velsn 4664	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ { 0 } ↔ 𝑣 = 0 )
49	46, 47, 48	3imtr4g 296	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑣 ∈ { 0 }))
50	49	ssrdv 4014	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ { 0 })
51	9, 21, 11	lspsncl 20998	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
52	3, 5, 51	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
53	21	lssincl 20986	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
54	3, 23, 52, 53	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
55	20, 21	lss0ss 20970	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})))
56	3, 54, 55	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})))
57	50, 56	eqssd 4026	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) = { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499  LSSumclsm 19676  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  LSpanclspn 20992  LVecclvec 21124  LSHypclsh 38931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125  df-lshyp 38933

This theorem is referenced by:  lshpsmreu  39065  lshpkrlem5  39070