Theorem lshpdisj 36283

Description: A hyperplane and the span in the hyperplane definition are disjoint. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpdisj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lshpdisj.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpdisj.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpdisj.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpdisj.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpdisj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpdisj.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lshpdisj	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) = { 0 })

Proof of Theorem lshpdisj

Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpdisj.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 19871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4	3	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
5		lshpdisj.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6	5	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9		lshpdisj.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		lshpdisj.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	7, 8, 9, 10, 11	lspsnel 19768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
13	4, 6, 12	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
14		lshpdisj.p	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
15		lshpdisj.h	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
16		lshpdisj.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
17		lshpdisj.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
18	9, 11, 14, 15, 3, 16, 5, 17	lshpnel 36279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
19	18	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
20		lshpdisj.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
21		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
22	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
23	21, 15, 3, 16	lshplss 36277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	3	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
27		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
28	5	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
29	9, 10, 7, 8, 11, 26, 27, 28	lspsneli 19766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30	29	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
31		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 )
32	9, 20, 21, 11, 22, 24, 25, 30, 31	lspsnel4 19889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
33	19, 32	mtbid 327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
34	33	ex 416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
35	34	necon4ad 3006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 ))
36		eleq1 2877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
37		eqeq1 2802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 = 0 ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 ))
38	36, 37	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → ((𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 ) ↔ ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )))
39	35, 38	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 )))
40	39	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 ))))
41	40	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 ))))
42	41	com24 95	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑈 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))))
43	42	imp31 421	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
44	43	rexlimdva 3243	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
45	13, 44	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑣 = 0 ))
46	45	expimpd 457	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑣 = 0 ))
47		elin 3897	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑣 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
48		velsn 4541	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ { 0 } ↔ 𝑣 = 0 )
49	46, 47, 48	3imtr4g 299	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑣 ∈ { 0 }))
50	49	ssrdv 3921	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ { 0 })
51	9, 21, 11	lspsncl 19742	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
52	3, 5, 51	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
53	21	lssincl 19730	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
54	3, 23, 52, 53	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
55	20, 21	lss0ss 19713	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})))
56	3, 54, 55	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})))
57	50, 56	eqssd 3932	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) = { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  0_gc0g 16705  LSSumclsm 18751  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LSpanclspn 19736  LVecclvec 19867  LSHypclsh 36271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-lsm 18753  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868  df-lshyp 36273

This theorem is referenced by:  lshpsmreu  36405  lshpkrlem5  36410