Theorem lshpdisj 36928

Description: A hyperplane and the span in the hyperplane definition are disjoint. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpdisj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lshpdisj.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpdisj.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpdisj.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpdisj.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpdisj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpdisj.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lshpdisj	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) = { 0 })

Proof of Theorem lshpdisj

Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpdisj.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 20283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
5		lshpdisj.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9		lshpdisj.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		lshpdisj.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	7, 8, 9, 10, 11	lspsnel 20180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
13	4, 6, 12	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
14		lshpdisj.p	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
15		lshpdisj.h	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
16		lshpdisj.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
17		lshpdisj.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
18	9, 11, 14, 15, 3, 16, 5, 17	lshpnel 36924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
19	18	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
20		lshpdisj.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
21		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
22	1	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
23	21, 15, 3, 16	lshplss 36922	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	23	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	5	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
28	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
29	9, 10, 7, 8, 11, 26, 27, 28	lspsneli 20178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 )
32	9, 20, 21, 11, 22, 24, 25, 30, 31	lspsnel4 20301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
33	19, 32	mtbid 323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
34	33	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
35	34	necon4ad 2961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 ))
36		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
37		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 = 0 ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 ))
38	36, 37	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → ((𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 ) ↔ ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )))
39	35, 38	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 )))
40	39	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 ))))
41	40	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 ))))
42	41	com24 95	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑈 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))))
43	42	imp31 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
44	43	rexlimdva 3212	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
45	13, 44	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑣 = 0 ))
46	45	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑣 = 0 ))
47		elin 3899	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑣 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
48		velsn 4574	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ { 0 } ↔ 𝑣 = 0 )
49	46, 47, 48	3imtr4g 295	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑣 ∈ { 0 }))
50	49	ssrdv 3923	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ { 0 })
51	9, 21, 11	lspsncl 20154	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
52	3, 5, 51	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
53	21	lssincl 20142	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
54	3, 23, 52, 53	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
55	20, 21	lss0ss 20125	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})))
56	3, 54, 55	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})))
57	50, 56	eqssd 3934	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) = { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  LSSumclsm 19154  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  LVecclvec 20279  LSHypclsh 36916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-lsm 19156  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lshyp 36918

This theorem is referenced by:  lshpsmreu  37050  lshpkrlem5  37055