Theorem lshpdisj 39494

Description: A hyperplane and the span in the hyperplane definition are disjoint. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpdisj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lshpdisj.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpdisj.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpdisj.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpdisj.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpdisj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpdisj.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lshpdisj	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) = { 0 })

Proof of Theorem lshpdisj

Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpdisj.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4	3	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
5		lshpdisj.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6	5	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9		lshpdisj.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		lshpdisj.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	7, 8, 9, 10, 11	ellspsn 20997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
13	4, 6, 12	syl2anc 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
14		lshpdisj.p	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
15		lshpdisj.h	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
16		lshpdisj.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
17		lshpdisj.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
18	9, 11, 14, 15, 3, 16, 5, 17	lshpnel 39490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
19	18	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
20		lshpdisj.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
21		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
22	1	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
23	21, 15, 3, 16	lshplss 39488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	23	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	5	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	3	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
27		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
28	5	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
29	9, 10, 7, 8, 11, 26, 27, 28	ellspsni 20995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30	29	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
31		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 )
32	9, 20, 21, 11, 22, 24, 25, 30, 31	ellspsn4 21121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
33	19, 32	mtbid 326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
34	33	ex 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
35	34	necon4ad 2955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 ))
36		eleq1 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
37		eqeq1 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 = 0 ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 ))
38	36, 37	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → ((𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 ) ↔ ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )))
39	35, 38	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 )))
40	39	ex 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 ))))
41	40	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 ))))
42	41	com24 95	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑈 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))))
43	42	imp31 419	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
44	43	rexlimdva 3142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
45	13, 44	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑣 = 0 ))
46	45	expimpd 455	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑣 = 0 ))
47		elin 3901	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑣 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
48		velsn 4574	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ { 0 } ↔ 𝑣 = 0 )
49	46, 47, 48	3imtr4g 298	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑣 ∈ { 0 }))
50	49	ssrdv 3923	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ { 0 })
51	9, 21, 11	lspsncl 20971	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
52	3, 5, 51	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
53	21	lssincl 20959	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
54	3, 23, 52, 53	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
55	20, 21	lss0ss 20943	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})))
56	3, 54, 55	syl2anc 591	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})))
57	50, 56	eqssd 3934	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) = { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∃wrex 3065   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  {csn 4558  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  0_gc0g 17397  LSSumclsm 19604  LModclmod 20854  LSubSpclss 20925  LSpanclspn 20965  LVecclvec 21096  LSHypclsh 39482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-lsm 19606  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-drng 20707  df-lmod 20856  df-lss 20926  df-lsp 20966  df-lvec 21097  df-lshyp 39484

This theorem is referenced by:  lshpsmreu  39616  lshpkrlem5  39621