Theorem lshpdisj 36117

Description: A hyperplane and the span in the hyperplane definition are disjoint. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpdisj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lshpdisj.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpdisj.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpdisj.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpdisj.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpdisj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpdisj.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lshpdisj	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) = { 0 })

Proof of Theorem lshpdisj

Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpdisj.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 19872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4	3	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
5		lshpdisj.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6	5	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9		lshpdisj.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		lshpdisj.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	7, 8, 9, 10, 11	lspsnel 19769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
13	4, 6, 12	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
14		lshpdisj.p	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
15		lshpdisj.h	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
16		lshpdisj.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
17		lshpdisj.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
18	9, 11, 14, 15, 3, 16, 5, 17	lshpnel 36113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
19	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
20		lshpdisj.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
21		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
22	1	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
23	21, 15, 3, 16	lshplss 36111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	23	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	5	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	3	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
27		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
28	5	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
29	9, 10, 7, 8, 11, 26, 27, 28	lspsneli 19767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30	29	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
31		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 )
32	9, 20, 21, 11, 22, 24, 25, 30, 31	lspsnel4 19890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
33	19, 32	mtbid 326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
34	33	ex 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 → ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
35	34	necon4ad 3035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 ))
36		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 ∈ 𝑈 ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
37		eqeq1 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 = 0 ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 ))
38	36, 37	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → ((𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 ) ↔ ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 )))
39	35, 38	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 )))
40	39	ex 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 ))))
41	40	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 ∈ 𝑈 → 𝑣 = 0 ))))
42	41	com24 95	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑈 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))))
43	42	imp31 420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
44	43	rexlimdva 3284	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
45	13, 44	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑣 = 0 ))
46	45	expimpd 456	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑣 = 0 ))
47		elin 4168	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑣 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
48		velsn 4576	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ { 0 } ↔ 𝑣 = 0 )
49	46, 47, 48	3imtr4g 298	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑣 ∈ { 0 }))
50	49	ssrdv 3972	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ { 0 })
51	9, 21, 11	lspsncl 19743	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
52	3, 5, 51	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
53	21	lssincl 19731	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
54	3, 23, 52, 53	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
55	20, 21	lss0ss 19714	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})))
56	3, 54, 55	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})))
57	50, 56	eqssd 3983	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) = { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  {csn 4560  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  Scalarcsca 16562   ·_𝑠 cvsca 16563  0_gc0g 16707  LSSumclsm 18753  LModclmod 19628  LSubSpclss 19697  LSpanclspn 19737  LVecclvec 19868  LSHypclsh 36105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-lsm 18755  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-drng 19498  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-lvec 19869  df-lshyp 36107

This theorem is referenced by:  lshpsmreu  36239  lshpkrlem5  36244