Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdheq2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mapdheq2 41094
Description: Lemmma for ~? mapdh . One direction of part (2) in [Baer] p. 45. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdhc.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdhc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdhcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdhe.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdhe.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐷)
mapdh.ne2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
mapdheq2 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺 β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‹βŸ©) = 𝐹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐹,π‘₯   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑁   π‘₯, 0   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   π‘₯, βˆ’   β„Ž,𝑋,π‘₯   β„Ž,π‘Œ,π‘₯   πœ‘,β„Ž   0 ,β„Ž   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐽   β„Ž,𝑀   β„Ž,𝑁   𝑅,β„Ž   π‘ˆ,β„Ž   βˆ’ ,β„Ž   β„Ž,𝐺,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝑄(β„Ž)   π‘ˆ(π‘₯)   𝐻(π‘₯,β„Ž)   𝐼(π‘₯,β„Ž)   𝐾(π‘₯,β„Ž)   𝑉(π‘₯,β„Ž)   π‘Š(π‘₯,β„Ž)
Proof of Theorem mapdheq2
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . . 3 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
2 mapdh.i . . 3 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
3 mapdh.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 mapdh.m . . 3 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 mapdh.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 mapdh.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
7 mapdh.s . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
8 mapdhc.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
9 mapdh.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
10 mapdh.c . . 3 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 mapdh.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
12 mapdh.r . . 3 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
13 mapdh.j . . 3 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
14 mapdh.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
15 mapdhc.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
16 mapdh.mn . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
17 mapdhcl.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
18 mapdhe.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
19 mapdhe.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐷)
20 mapdh.ne2 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20mapdheq 41093 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺 ↔ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))))
2216adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
233, 5, 14dvhlmod 40475 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
2417eldifad 3953 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2518eldifad 3953 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
266, 7, 9, 23, 24, 25lspsnsub 20846 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) = (π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑋)}))
2726fveq2d 6886 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑋)})))
283, 10, 14lcdlmod 40957 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
2911, 12, 13, 28, 15, 19lspsnsub 20846 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝐹)}))
3027, 29eqeq12d 2740 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}) ↔ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑋)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝐹)})))
3130biimpa 476 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)})) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑋)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝐹)}))
3231adantrl 713 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑋)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝐹)}))
3314adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3419adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐷)
35 simprl 768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}))
3618adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3717adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3815adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
3920necomd 2988 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
4039adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
411, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40mapdheq 41093 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‹βŸ©) = 𝐹 ↔ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑋)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝐹)}))))
4222, 32, 41mpbir2and 710 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‹βŸ©) = 𝐹)
4342ex 412 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)})) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‹βŸ©) = 𝐹))
4421, 43sylbid 239 1 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺 β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‹βŸ©) = 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3938  ifcif 4521  {csn 4621  βŸ¨cotp 4629   ↦ cmpt 5222  β€˜cfv 6534  β„©crio 7357  (class class class)co 7402  1st c1st 7967  2nd c2nd 7968  Basecbs 17145  0gc0g 17386  -gcsg 18857  LSpanclspn 20810  HLchlt 38714  LHypclh 39349  DVecHcdvh 40443  LCDualclcd 40951  mapdcmpd 40989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 38317
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-ot 4630  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-0g 17388  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19042  df-cntz 19225  df-oppg 19254  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-oppr 20228  df-dvdsr 20251  df-unit 20252  df-invr 20282  df-dvr 20295  df-drng 20581  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-lsp 20811  df-lvec 20943  df-lsatoms 38340  df-lshyp 38341  df-lcv 38383  df-lfl 38422  df-lkr 38450  df-ldual 38488  df-oposet 38540  df-ol 38542  df-oml 38543  df-covers 38630  df-ats 38631  df-atl 38662  df-cvlat 38686  df-hlat 38715  df-llines 38863  df-lplanes 38864  df-lvols 38865  df-lines 38866  df-psubsp 38868  df-pmap 38869  df-padd 39161  df-lhyp 39353  df-laut 39354  df-ldil 39469  df-ltrn 39470  df-trl 39524  df-tgrp 40108  df-tendo 40120  df-edring 40122  df-dveca 40368  df-disoa 40394  df-dvech 40444  df-dib 40504  df-dic 40538  df-dih 40594  df-doch 40713  df-djh 40760  df-lcdual 40952  df-mapd 40990
This theorem is referenced by:  mapdheq2biN  41095  mapdh7eN  41113  mapdh7cN  41114  mapdh7fN  41116  mapdh75e  41117
  Copyright terms: Public domain W3C validator