Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdheq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdheq2 41732
Description: Lemmma for ~? mapdh . One direction of part (2) in [Baer] p. 45. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe.g (𝜑𝐺𝐷)
mapdh.ne2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
mapdheq2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑋⟩) = 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,   ,𝐺,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdheq2
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . . 3 𝑄 = (0g𝐶)
2 mapdh.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
3 mapdh.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 mapdh.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdh.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdh.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
7 mapdh.s . . 3 = (-g𝑈)
8 mapdhc.o . . 3 0 = (0g𝑈)
9 mapdh.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10 mapdh.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11 mapdh.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
12 mapdh.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
13 mapdh.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14 mapdh.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 mapdhc.f . . 3 (𝜑𝐹𝐷)
16 mapdh.mn . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 mapdhcl.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 mapdhe.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 mapdhe.g . . 3 (𝜑𝐺𝐷)
20 mapdh.ne2 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20mapdheq 41731 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
2216adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
233, 5, 14dvhlmod 41113 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
2417eldifad 3962 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
2518eldifad 3962 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑉)
266, 7, 9, 23, 24, 25lspsnsub 21006 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑌 𝑋)}))
2726fveq2d 6909 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 𝑋)})))
283, 10, 14lcdlmod 41595 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
2911, 12, 13, 28, 15, 19lspsnsub 21006 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐹)}))
3027, 29eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 𝑋)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐹)})))
3130biimpa 476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})) → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 𝑋)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐹)}))
3231adantrl 716 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))) → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 𝑋)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐹)}))
3314adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3419adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))) → 𝐺𝐷)
35 simprl 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
3618adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3717adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3815adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))) → 𝐹𝐷)
3920necomd 2995 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
4039adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
411, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40mapdheq 41731 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))) → ((𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑋⟩) = 𝐹 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 𝑋)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐹)}))))
4222, 32, 41mpbir2and 713 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑋⟩) = 𝐹)
4342ex 412 . 2 (𝜑 → (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑋⟩) = 𝐹))
4421, 43sylbid 240 1 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑋⟩) = 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  Vcvv 3479  cdif 3947  ifcif 4524  {csn 4625  cotp 4633  cmpt 5224  cfv 6560  crio 7388  (class class class)co 7432  1st c1st 8013  2nd c2nd 8014  Basecbs 17248  0gc0g 17485  -gcsg 18954  LSpanclspn 20970  HLchlt 39352  LHypclh 39987  DVecHcdvh 41081  LCDualclcd 41589  mapdcmpd 41627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-riotaBAD 38955
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-undef 8299  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17487  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-cntz 19336  df-oppg 19365  df-lsm 19655  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-nzr 20514  df-rlreg 20695  df-domn 20696  df-drng 20732  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lvec 21103  df-lsatoms 38978  df-lshyp 38979  df-lcv 39021  df-lfl 39060  df-lkr 39088  df-ldual 39126  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-llines 39501  df-lplanes 39502  df-lvols 39503  df-lines 39504  df-psubsp 39506  df-pmap 39507  df-padd 39799  df-lhyp 39991  df-laut 39992  df-ldil 40107  df-ltrn 40108  df-trl 40162  df-tgrp 40746  df-tendo 40758  df-edring 40760  df-dveca 41006  df-disoa 41032  df-dvech 41082  df-dib 41142  df-dic 41176  df-dih 41232  df-doch 41351  df-djh 41398  df-lcdual 41590  df-mapd 41628
This theorem is referenced by:  mapdheq2biN  41733  mapdh7eN  41751  mapdh7cN  41752  mapdh7fN  41754  mapdh75e  41755
  Copyright terms: Public domain W3C validator