Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdheq2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mapdheq2 40595
Description: Lemmma for ~? mapdh . One direction of part (2) in [Baer] p. 45. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdhc.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdhc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdhcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdhe.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdhe.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐷)
mapdh.ne2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
mapdheq2 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺 β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‹βŸ©) = 𝐹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐹,π‘₯   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑁   π‘₯, 0   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   π‘₯, βˆ’   β„Ž,𝑋,π‘₯   β„Ž,π‘Œ,π‘₯   πœ‘,β„Ž   0 ,β„Ž   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐽   β„Ž,𝑀   β„Ž,𝑁   𝑅,β„Ž   π‘ˆ,β„Ž   βˆ’ ,β„Ž   β„Ž,𝐺,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝑄(β„Ž)   π‘ˆ(π‘₯)   𝐻(π‘₯,β„Ž)   𝐼(π‘₯,β„Ž)   𝐾(π‘₯,β„Ž)   𝑉(π‘₯,β„Ž)   π‘Š(π‘₯,β„Ž)
Proof of Theorem mapdheq2
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . . 3 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
2 mapdh.i . . 3 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
3 mapdh.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 mapdh.m . . 3 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 mapdh.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 mapdh.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
7 mapdh.s . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
8 mapdhc.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
9 mapdh.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
10 mapdh.c . . 3 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 mapdh.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
12 mapdh.r . . 3 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
13 mapdh.j . . 3 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
14 mapdh.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
15 mapdhc.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
16 mapdh.mn . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
17 mapdhcl.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
18 mapdhe.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
19 mapdhe.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐷)
20 mapdh.ne2 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20mapdheq 40594 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺 ↔ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))))
2216adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
233, 5, 14dvhlmod 39976 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
2417eldifad 3960 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2518eldifad 3960 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
266, 7, 9, 23, 24, 25lspsnsub 20617 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) = (π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑋)}))
2726fveq2d 6895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑋)})))
283, 10, 14lcdlmod 40458 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
2911, 12, 13, 28, 15, 19lspsnsub 20617 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝐹)}))
3027, 29eqeq12d 2748 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}) ↔ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑋)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝐹)})))
3130biimpa 477 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)})) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑋)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝐹)}))
3231adantrl 714 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑋)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝐹)}))
3314adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3419adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐷)
35 simprl 769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}))
3618adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3717adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3815adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
3920necomd 2996 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
4039adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
411, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40mapdheq 40594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‹βŸ©) = 𝐹 ↔ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑋)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝐹)}))))
4222, 32, 41mpbir2and 711 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)}))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‹βŸ©) = 𝐹)
4342ex 413 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅𝐺)})) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‹βŸ©) = 𝐹))
4421, 43sylbid 239 1 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺 β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‹βŸ©) = 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945  ifcif 4528  {csn 4628  βŸ¨cotp 4636   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  β„©crio 7363  (class class class)co 7408  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  Basecbs 17143  0gc0g 17384  -gcsg 18820  LSpanclspn 20581  HLchlt 38215  LHypclh 38850  DVecHcdvh 39944  LCDualclcd 40452  mapdcmpd 40490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-oppg 19209  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-lsatoms 37841  df-lshyp 37842  df-lcv 37884  df-lfl 37923  df-lkr 37951  df-ldual 37989  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tgrp 39609  df-tendo 39621  df-edring 39623  df-dveca 39869  df-disoa 39895  df-dvech 39945  df-dib 40005  df-dic 40039  df-dih 40095  df-doch 40214  df-djh 40261  df-lcdual 40453  df-mapd 40491
This theorem is referenced by:  mapdheq2biN  40596  mapdh7eN  40614  mapdh7cN  40615  mapdh7fN  40617  mapdh75e  40618
  Copyright terms: Public domain W3C validator