MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnel 19750
Description: Member of span of the singleton of a vector. (elspansn 29327 analog.) (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsn.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsn.t · = ( ·𝑠𝑊)
lspsn.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspsnel ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑈,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   · ,𝑘   𝑘,𝑋

Proof of Theorem lspsnel
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsn.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 lspsn.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
3 lspsn.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lspsn.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
5 lspsn.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5lspsn 19749 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
76eleq2d 2897 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑈 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}))
8 id 22 . . . . 5 (𝑈 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑈 = (𝑘 · 𝑋))
9 ovex 7163 . . . . 5 (𝑘 · 𝑋) ∈ V
108, 9eqeltrdi 2920 . . . 4 (𝑈 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑈 ∈ V)
1110rexlimivw 3268 . . 3 (∃𝑘𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑈 ∈ V)
12 eqeq1 2825 . . . 4 (𝑣 = 𝑈 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))
1312rexbidv 3283 . . 3 (𝑣 = 𝑈 → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))
1411, 13elab3 3651 . 2 (𝑈 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋))
157, 14syl6bb 290 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  {cab 2799  wrex 3127  Vcvv 3471  {csn 4540  cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16461  Scalarcsca 16546   ·𝑠 cvsca 16547  LModclmod 19609  LSpanclspn 19718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-plusg 16556  df-0g 16693  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-sbg 18086  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-lmod 19611  df-lss 19679  df-lsp 19719
This theorem is referenced by:  lspsnss2  19752  lsmspsn  19831  lspsneleq  19862  lspsneq  19869  lspdisj  19872  rspsn  20002  rspsnel  30943  ccfldextdgrr  31067  lshpdisj  36163  lshpsmreu  36285  lkrlspeqN  36347  lcfl7lem  38675  lcfrvalsnN  38717  mapdpglem3  38851  hdmapglem7a  39103
  Copyright terms: Public domain W3C validator