MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspsnel 20847
Description: Member of span of the singleton of a vector. (elspansn 31323 analog.) (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lspsn.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lspsn.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsn.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lspsn.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspsnel ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑁   π‘ˆ,π‘˜   π‘˜,𝑉   π‘˜,π‘Š   Β· ,π‘˜   π‘˜,𝑋
Proof of Theorem lspsnel
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsn.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 lspsn.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
3 lspsn.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lspsn.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
5 lspsn.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5lspsn 20846 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
76eleq2d 2813 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ π‘ˆ ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)}))
8 id 22 . . . . 5 (π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋))
9 ovex 7437 . . . . 5 (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ V
108, 9eqeltrdi 2835 . . . 4 (π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ V)
1110rexlimivw 3145 . . 3 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ V)
12 eqeq1 2730 . . . 4 (𝑣 = π‘ˆ β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)))
1312rexbidv 3172 . . 3 (𝑣 = π‘ˆ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)))
1411, 13elab3 3671 . 2 (π‘ˆ ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋))
157, 14bitrdi 287 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 π‘ˆ = (π‘˜ Β· 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468  {csn 4623  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  Scalarcsca 17206   ·𝑠 cvsca 17207  LModclmod 20703  LSpanclspn 20815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816
This theorem is referenced by:  lspsnss2  20849  lsmspsn  20929  lspsneleq  20963  lspsneq  20970  lspdisj  20973  rspsn  21183  rspsnel  32989  ccfldextdgrr  33264  lshpdisj  38369  lshpsmreu  38491  lkrlspeqN  38553  lcfl7lem  40882  lcfrvalsnN  40924  mapdpglem3  41058  hdmapglem7a  41310
  Copyright terms: Public domain W3C validator