Theorem hgmaprnlem2N 41258

Description: Lemma for hgmaprnN 41262. Part 15 of [Baer] p. 50 line 20. We only require a subset relation, rather than equality, so that the case of zero 𝑧 is taken care of automatically. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmaprnlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmaprnlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hgmaprnlem1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmaprnlem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmaprnlem1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hgmaprnlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hgmaprnlem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hgmaprnlem1.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hgmaprnlem1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
hgmaprnlem1.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hgmaprnlem1.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hgmaprnlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmaprnlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐴)
hgmaprnlem1.t2	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hgmaprnlem1.s2	⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ 𝑉)
hgmaprnlem1.sz	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑠) = (𝑧 ∙ (𝑆‘𝑡)))
hgmaprnlem1.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hgmaprnlem1.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hgmaprnlem2N	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑠}) ⊆ (𝑁‘{𝑡}))

Proof of Theorem hgmaprnlem2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmaprnlem1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmaprnlem1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		hgmaprnlem1.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 40953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		hgmaprnlem1.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐴)
6		hgmaprnlem1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		hgmaprnlem1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		hgmaprnlem1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		hgmaprnlem1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hgmaprnlem1.t2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3952	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ 𝑉)
12	1, 6, 7, 2, 8, 9, 3, 11	hdmapcl 41191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑡) ∈ 𝐷)
13		hgmaprnlem1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
14		hgmaprnlem1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
15		hgmaprnlem1.e	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
16		hgmaprnlem1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
17	13, 14, 8, 15, 16	lspsnvsi 20841	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘𝑡) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{(𝑧 ∙ (𝑆‘𝑡))}) ⊆ (𝐿‘{(𝑆‘𝑡)}))
18	4, 5, 12, 17	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑧 ∙ (𝑆‘𝑡))}) ⊆ (𝐿‘{(𝑆‘𝑡)}))
19		hgmaprnlem1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
20		hgmaprnlem1.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
21		hgmaprnlem1.s2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ 𝑉)
22	1, 6, 7, 19, 2, 16, 20, 9, 3, 21	hdmap10 41201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑠})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑠)}))
23		hgmaprnlem1.sz	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑠) = (𝑧 ∙ (𝑆‘𝑡)))
24	23	sneqd 4632	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝑆‘𝑠)} = {(𝑧 ∙ (𝑆‘𝑡))})
25	24	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑠)}) = (𝐿‘{(𝑧 ∙ (𝑆‘𝑡))}))
26	22, 25	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑠})) = (𝐿‘{(𝑧 ∙ (𝑆‘𝑡))}))
27	1, 6, 7, 19, 2, 16, 20, 9, 3, 11	hdmap10 41201	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑡)}))
28	18, 26, 27	3sstr4d 4021	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑠})) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})))
29		eqid 2724	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
30	1, 6, 3	dvhlmod 40471	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
31	7, 29, 19	lspsncl 20814	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
32	30, 21, 31	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
33	7, 29, 19	lspsncl 20814	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑡}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34	30, 11, 33	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑡}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
35	1, 6, 29, 20, 3, 32, 34	mapdord 40999	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑠})) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) ↔ (𝑁‘{𝑠}) ⊆ (𝑁‘{𝑡})))
36	28, 35	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑠}) ⊆ (𝑁‘{𝑡}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3937   ⊆ wss 3940  {csn 4620  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  0_gc0g 17384  LModclmod 20696  LSubSpclss 20768  LSpanclspn 20808  HLchlt 38710  LHypclh 39345  DVecHcdvh 40439  LCDualclcd 40947  mapdcmpd 40985  HDMapchdma 41153  HGMapchg 41244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 38313

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20579  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-lvec 20941  df-lsatoms 38336  df-lshyp 38337  df-lcv 38379  df-lfl 38418  df-lkr 38446  df-ldual 38484  df-oposet 38536  df-ol 38538  df-oml 38539  df-covers 38626  df-ats 38627  df-atl 38658  df-cvlat 38682  df-hlat 38711  df-llines 38859  df-lplanes 38860  df-lvols 38861  df-lines 38862  df-psubsp 38864  df-pmap 38865  df-padd 39157  df-lhyp 39349  df-laut 39350  df-ldil 39465  df-ltrn 39466  df-trl 39520  df-tgrp 40104  df-tendo 40116  df-edring 40118  df-dveca 40364  df-disoa 40390  df-dvech 40440  df-dib 40500  df-dic 40534  df-dih 40590  df-doch 40709  df-djh 40756  df-lcdual 40948  df-mapd 40986  df-hvmap 41118  df-hdmap1 41154  df-hdmap 41155

This theorem is referenced by:  hgmaprnlem3N  41259