Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmaprnlem2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgmaprnlem2N 40637
Description: Lemma for hgmaprnN 40641. Part 15 of [Baer] p. 50 line 20. We only require a subset relation, rather than equality, so that the case of zero 𝑧 is taken care of automatically. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hgmaprnlem1.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmaprnlem1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmaprnlem1.t · = ( ·𝑠𝑈)
hgmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hgmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hgmaprnlem1.p 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hgmaprnlem1.a 𝐴 = (Base‘𝑃)
hgmaprnlem1.e = ( ·𝑠𝐶)
hgmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hgmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hgmaprnlem1.z (𝜑𝑧𝐴)
hgmaprnlem1.t2 (𝜑𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hgmaprnlem1.s2 (𝜑𝑠𝑉)
hgmaprnlem1.sz (𝜑 → (𝑆𝑠) = (𝑧 (𝑆𝑡)))
hgmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hgmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
hgmaprnlem2N (𝜑 → (𝑁‘{𝑠}) ⊆ (𝑁‘{𝑡}))

Proof of Theorem hgmaprnlem2N
StepHypRef Expression
1 hgmaprnlem1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hgmaprnlem1.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 hgmaprnlem1.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 40332 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 hgmaprnlem1.z . . . 4 (𝜑𝑧𝐴)
6 hgmaprnlem1.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 hgmaprnlem1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 hgmaprnlem1.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 hgmaprnlem1.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10 hgmaprnlem1.t2 . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1110eldifad 3957 . . . . 5 (𝜑𝑡𝑉)
121, 6, 7, 2, 8, 9, 3, 11hdmapcl 40570 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑡) ∈ 𝐷)
13 hgmaprnlem1.p . . . . 5 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
14 hgmaprnlem1.a . . . . 5 𝐴 = (Base‘𝑃)
15 hgmaprnlem1.e . . . . 5 = ( ·𝑠𝐶)
16 hgmaprnlem1.l . . . . 5 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
1713, 14, 8, 15, 16lspsnvsi 20566 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑆𝑡) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{(𝑧 (𝑆𝑡))}) ⊆ (𝐿‘{(𝑆𝑡)}))
184, 5, 12, 17syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑧 (𝑆𝑡))}) ⊆ (𝐿‘{(𝑆𝑡)}))
19 hgmaprnlem1.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
20 hgmaprnlem1.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
21 hgmaprnlem1.s2 . . . . 5 (𝜑𝑠𝑉)
221, 6, 7, 19, 2, 16, 20, 9, 3, 21hdmap10 40580 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑠})) = (𝐿‘{(𝑆𝑠)}))
23 hgmaprnlem1.sz . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑠) = (𝑧 (𝑆𝑡)))
2423sneqd 4635 . . . . 5 (𝜑 → {(𝑆𝑠)} = {(𝑧 (𝑆𝑡))})
2524fveq2d 6883 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆𝑠)}) = (𝐿‘{(𝑧 (𝑆𝑡))}))
2622, 25eqtrd 2772 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑠})) = (𝐿‘{(𝑧 (𝑆𝑡))}))
271, 6, 7, 19, 2, 16, 20, 9, 3, 11hdmap10 40580 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝐿‘{(𝑆𝑡)}))
2818, 26, 273sstr4d 4026 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑠})) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})))
29 eqid 2732 . . 3 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
301, 6, 3dvhlmod 39850 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
317, 29, 19lspsncl 20539 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑉) → (𝑁‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3230, 21, 31syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
337, 29, 19lspsncl 20539 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑡𝑉) → (𝑁‘{𝑡}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3430, 11, 33syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑡}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
351, 6, 29, 20, 3, 32, 34mapdord 40378 . 2 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑠})) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) ↔ (𝑁‘{𝑠}) ⊆ (𝑁‘{𝑡})))
3628, 35mpbid 231 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑠}) ⊆ (𝑁‘{𝑡}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3942  wss 3945  {csn 4623  cfv 6533  (class class class)co 7394  Basecbs 17128  Scalarcsca 17184   ·𝑠 cvsca 17185  0gc0g 17369  LModclmod 20422  LSubSpclss 20493  LSpanclspn 20533  HLchlt 38089  LHypclh 38724  DVecHcdvh 39818  LCDualclcd 40326  mapdcmpd 40364  HDMapchdma 40532  HGMapchg 40623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-riotaBAD 37692
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7654  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8195  df-undef 8242  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-map 8807  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-n0 12457  df-z 12543  df-uz 12807  df-fz 13469  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-0g 17371  df-mre 17514  df-mrc 17515  df-acs 17517  df-proset 18232  df-poset 18250  df-plt 18267  df-lub 18283  df-glb 18284  df-join 18285  df-meet 18286  df-p0 18362  df-p1 18363  df-lat 18369  df-clat 18436  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-submnd 18650  df-grp 18799  df-minusg 18800  df-sbg 18801  df-subg 18977  df-cntz 19149  df-oppg 19176  df-lsm 19470  df-cmn 19616  df-abl 19617  df-mgp 19949  df-ur 19966  df-ring 20018  df-oppr 20104  df-dvdsr 20125  df-unit 20126  df-invr 20156  df-dvr 20167  df-drng 20269  df-lmod 20424  df-lss 20494  df-lsp 20534  df-lvec 20665  df-lsatoms 37715  df-lshyp 37716  df-lcv 37758  df-lfl 37797  df-lkr 37825  df-ldual 37863  df-oposet 37915  df-ol 37917  df-oml 37918  df-covers 38005  df-ats 38006  df-atl 38037  df-cvlat 38061  df-hlat 38090  df-llines 38238  df-lplanes 38239  df-lvols 38240  df-lines 38241  df-psubsp 38243  df-pmap 38244  df-padd 38536  df-lhyp 38728  df-laut 38729  df-ldil 38844  df-ltrn 38845  df-trl 38899  df-tgrp 39483  df-tendo 39495  df-edring 39497  df-dveca 39743  df-disoa 39769  df-dvech 39819  df-dib 39879  df-dic 39913  df-dih 39969  df-doch 40088  df-djh 40135  df-lcdual 40327  df-mapd 40365  df-hvmap 40497  df-hdmap1 40533  df-hdmap 40534
This theorem is referenced by:  hgmaprnlem3N  40638
  Copyright terms: Public domain W3C validator