Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmaprnlem2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgmaprnlem2N 39032
Description: Lemma for hgmaprnN 39036. Part 15 of [Baer] p. 50 line 20. We only require a subset relation, rather than equality, so that the case of zero 𝑧 is taken care of automatically. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hgmaprnlem1.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmaprnlem1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmaprnlem1.t · = ( ·𝑠𝑈)
hgmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hgmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hgmaprnlem1.p 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hgmaprnlem1.a 𝐴 = (Base‘𝑃)
hgmaprnlem1.e = ( ·𝑠𝐶)
hgmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hgmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hgmaprnlem1.z (𝜑𝑧𝐴)
hgmaprnlem1.t2 (𝜑𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hgmaprnlem1.s2 (𝜑𝑠𝑉)
hgmaprnlem1.sz (𝜑 → (𝑆𝑠) = (𝑧 (𝑆𝑡)))
hgmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hgmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
hgmaprnlem2N (𝜑 → (𝑁‘{𝑠}) ⊆ (𝑁‘{𝑡}))

Proof of Theorem hgmaprnlem2N
StepHypRef Expression
1 hgmaprnlem1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hgmaprnlem1.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 hgmaprnlem1.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 38727 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 hgmaprnlem1.z . . . 4 (𝜑𝑧𝐴)
6 hgmaprnlem1.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 hgmaprnlem1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 hgmaprnlem1.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 hgmaprnlem1.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10 hgmaprnlem1.t2 . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1110eldifad 3947 . . . . 5 (𝜑𝑡𝑉)
121, 6, 7, 2, 8, 9, 3, 11hdmapcl 38965 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑡) ∈ 𝐷)
13 hgmaprnlem1.p . . . . 5 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
14 hgmaprnlem1.a . . . . 5 𝐴 = (Base‘𝑃)
15 hgmaprnlem1.e . . . . 5 = ( ·𝑠𝐶)
16 hgmaprnlem1.l . . . . 5 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
1713, 14, 8, 15, 16lspsnvsi 19775 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑆𝑡) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{(𝑧 (𝑆𝑡))}) ⊆ (𝐿‘{(𝑆𝑡)}))
184, 5, 12, 17syl3anc 1367 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑧 (𝑆𝑡))}) ⊆ (𝐿‘{(𝑆𝑡)}))
19 hgmaprnlem1.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
20 hgmaprnlem1.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
21 hgmaprnlem1.s2 . . . . 5 (𝜑𝑠𝑉)
221, 6, 7, 19, 2, 16, 20, 9, 3, 21hdmap10 38975 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑠})) = (𝐿‘{(𝑆𝑠)}))
23 hgmaprnlem1.sz . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑠) = (𝑧 (𝑆𝑡)))
2423sneqd 4578 . . . . 5 (𝜑 → {(𝑆𝑠)} = {(𝑧 (𝑆𝑡))})
2524fveq2d 6673 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆𝑠)}) = (𝐿‘{(𝑧 (𝑆𝑡))}))
2622, 25eqtrd 2856 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑠})) = (𝐿‘{(𝑧 (𝑆𝑡))}))
271, 6, 7, 19, 2, 16, 20, 9, 3, 11hdmap10 38975 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝐿‘{(𝑆𝑡)}))
2818, 26, 273sstr4d 4013 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑠})) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})))
29 eqid 2821 . . 3 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
301, 6, 3dvhlmod 38245 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
317, 29, 19lspsncl 19748 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑉) → (𝑁‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3230, 21, 31syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
337, 29, 19lspsncl 19748 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑡𝑉) → (𝑁‘{𝑡}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3430, 11, 33syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑡}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
351, 6, 29, 20, 3, 32, 34mapdord 38773 . 2 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑠})) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) ↔ (𝑁‘{𝑠}) ⊆ (𝑁‘{𝑡})))
3628, 35mpbid 234 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑠}) ⊆ (𝑁‘{𝑡}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  cdif 3932  wss 3935  {csn 4566  cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482  Scalarcsca 16567   ·𝑠 cvsca 16568  0gc0g 16712  LModclmod 19633  LSubSpclss 19702  LSpanclspn 19742  HLchlt 36485  LHypclh 37119  DVecHcdvh 38213  LCDualclcd 38721  mapdcmpd 38759  HDMapchdma 38927  HGMapchg 39018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-riotaBAD 36088
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-tpos 7891  df-undef 7938  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-0g 16714  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-proset 17537  df-poset 17555  df-plt 17567  df-lub 17583  df-glb 17584  df-join 17585  df-meet 17586  df-p0 17648  df-p1 17649  df-lat 17655  df-clat 17717  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-subg 18275  df-cntz 18446  df-oppg 18473  df-lsm 18760  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19503  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-lsp 19743  df-lvec 19874  df-lsatoms 36111  df-lshyp 36112  df-lcv 36154  df-lfl 36193  df-lkr 36221  df-ldual 36259  df-oposet 36311  df-ol 36313  df-oml 36314  df-covers 36401  df-ats 36402  df-atl 36433  df-cvlat 36457  df-hlat 36486  df-llines 36633  df-lplanes 36634  df-lvols 36635  df-lines 36636  df-psubsp 36638  df-pmap 36639  df-padd 36931  df-lhyp 37123  df-laut 37124  df-ldil 37239  df-ltrn 37240  df-trl 37294  df-tgrp 37878  df-tendo 37890  df-edring 37892  df-dveca 38138  df-disoa 38164  df-dvech 38214  df-dib 38274  df-dic 38308  df-dih 38364  df-doch 38483  df-djh 38530  df-lcdual 38722  df-mapd 38760  df-hvmap 38892  df-hdmap1 38928  df-hdmap 38929
This theorem is referenced by:  hgmaprnlem3N  39033
  Copyright terms: Public domain W3C validator