Theorem hgmaprnlem2N 40756

Description: Lemma for hgmaprnN 40760. Part 15 of [Baer] p. 50 line 20. We only require a subset relation, rather than equality, so that the case of zero 𝑧 is taken care of automatically. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmaprnlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmaprnlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hgmaprnlem1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmaprnlem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmaprnlem1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hgmaprnlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hgmaprnlem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hgmaprnlem1.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hgmaprnlem1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
hgmaprnlem1.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hgmaprnlem1.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hgmaprnlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmaprnlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐴)
hgmaprnlem1.t2	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hgmaprnlem1.s2	⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ 𝑉)
hgmaprnlem1.sz	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑠) = (𝑧 ∙ (𝑆‘𝑡)))
hgmaprnlem1.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hgmaprnlem1.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hgmaprnlem2N	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑠}) ⊆ (𝑁‘{𝑡}))

Proof of Theorem hgmaprnlem2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmaprnlem1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmaprnlem1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		hgmaprnlem1.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 40451	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		hgmaprnlem1.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐴)
6		hgmaprnlem1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		hgmaprnlem1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		hgmaprnlem1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		hgmaprnlem1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hgmaprnlem1.t2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ 𝑉)
12	1, 6, 7, 2, 8, 9, 3, 11	hdmapcl 40689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑡) ∈ 𝐷)
13		hgmaprnlem1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
14		hgmaprnlem1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
15		hgmaprnlem1.e	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
16		hgmaprnlem1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
17	13, 14, 8, 15, 16	lspsnvsi 20607	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘𝑡) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{(𝑧 ∙ (𝑆‘𝑡))}) ⊆ (𝐿‘{(𝑆‘𝑡)}))
18	4, 5, 12, 17	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑧 ∙ (𝑆‘𝑡))}) ⊆ (𝐿‘{(𝑆‘𝑡)}))
19		hgmaprnlem1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
20		hgmaprnlem1.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
21		hgmaprnlem1.s2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ 𝑉)
22	1, 6, 7, 19, 2, 16, 20, 9, 3, 21	hdmap10 40699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑠})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑠)}))
23		hgmaprnlem1.sz	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑠) = (𝑧 ∙ (𝑆‘𝑡)))
24	23	sneqd 4639	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝑆‘𝑠)} = {(𝑧 ∙ (𝑆‘𝑡))})
25	24	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑠)}) = (𝐿‘{(𝑧 ∙ (𝑆‘𝑡))}))
26	22, 25	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑠})) = (𝐿‘{(𝑧 ∙ (𝑆‘𝑡))}))
27	1, 6, 7, 19, 2, 16, 20, 9, 3, 11	hdmap10 40699	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑡)}))
28	18, 26, 27	3sstr4d 4028	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑠})) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})))
29		eqid 2732	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
30	1, 6, 3	dvhlmod 39969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
31	7, 29, 19	lspsncl 20580	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
32	30, 21, 31	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
33	7, 29, 19	lspsncl 20580	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑡}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34	30, 11, 33	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑡}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
35	1, 6, 29, 20, 3, 32, 34	mapdord 40497	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑠})) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) ↔ (𝑁‘{𝑠}) ⊆ (𝑁‘{𝑡})))
36	28, 35	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑠}) ⊆ (𝑁‘{𝑡}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  {csn 4627  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  HLchlt 38208  LHypclh 38843  DVecHcdvh 39937  LCDualclcd 40445  mapdcmpd 40483  HDMapchdma 40651  HGMapchg 40742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37811

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lsatoms 37834  df-lshyp 37835  df-lcv 37877  df-lfl 37916  df-lkr 37944  df-ldual 37982  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tgrp 39602  df-tendo 39614  df-edring 39616  df-dveca 39862  df-disoa 39888  df-dvech 39938  df-dib 39998  df-dic 40032  df-dih 40088  df-doch 40207  df-djh 40254  df-lcdual 40446  df-mapd 40484  df-hvmap 40616  df-hdmap1 40652  df-hdmap 40653

This theorem is referenced by:  hgmaprnlem3N  40757