pfxccatin12lem3 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > pfxccatin12lem3		Structured version Visualization version GIF version

Theorem pfxccatin12lem3 14740

Description: Lemma 3 for pfxccatin12 14741. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
swrdccatin2.l	⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)

**Assertion**
Ref	Expression
pfxccatin12lem3	⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾)))

**Proof of Theorem pfxccatin12lem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
2		elfzo0 13727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)))
3		swrdccatin2.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
4		lencl 14541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ₀)
5		elfz2nn0 13646	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
6		nn0addcl 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀)
7	6	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀))
8	7	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀))
9	8	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀))
10	9	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀))
11	10	imp 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀)
12		elnnz 12620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿 − 𝑀)))
13		nn0re 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → 𝑀 ∈ ℝ)
14		nn0re 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → 𝐿 ∈ ℝ)
15		posdif 11757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿 − 𝑀)))
16	13, 14, 15	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → (𝑀 < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿 − 𝑀)))
17		elnn0z 12623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
18		0re 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		zre 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
20		lelttr 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
21	18, 19, 14, 20	mp3an3an 1464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
22		nn0z 12635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → 𝐿 ∈ ℤ)
23	22	anim1i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 0 < 𝐿) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
24		elnnz 12620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
25	23, 24	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ)
26	25	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → (0 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ))
27	26	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → (0 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ))
28	21, 27	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ))
29	28	expd 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → (0 ≤ 𝑀 → (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ)))
30	29	impancom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝐿 ∈ ℕ₀ → (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ)))
31	17, 30	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ∈ ℕ₀ → (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ)))
32	31	imp 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ))
33	16, 32	sylbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → (0 < (𝐿 − 𝑀) → 𝐿 ∈ ℕ))
34	33	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0 < (𝐿 − 𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → 𝐿 ∈ ℕ))
35	12, 34	simplbiim 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → 𝐿 ∈ ℕ))
36	35	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → 𝐿 ∈ ℕ))
37	36	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ))
38	37	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ))
39	38	imp 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ)
40		nn0re 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℝ)
41	40	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝐾 ∈ ℝ)
42	13	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝑀 ∈ ℝ)
43	42	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝑀 ∈ ℝ)
44	14	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
45	44	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
46	41, 43, 45	ltaddsubd 11864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → ((𝐾 + 𝑀) < 𝐿 ↔ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)))
47	46	exbiri 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 < (𝐿 − 𝑀) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
48	47	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝐾 < (𝐿 − 𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
49	48	imp 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
50	49	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
51	50	impcom 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)
52	11, 39, 51	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
53	52	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
54	53	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
55	5, 54	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
56	55	imp 405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
57	56	2a1i 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝐿 ∈ ℕ₀ → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))))
58		eleq1 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ₀ ↔ 𝐿 ∈ ℕ₀))
59		eleq1 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ∈ ℕ))
60		breq2 5157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴) ↔ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
61	59, 60	3anbi23d 1436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)) ↔ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
62	61	imbi2d 339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
63	62	imbi2d 339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))) ↔ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))))
64	57, 58, 63	3imtr4d 293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ₀ → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))))
65	64	eqcoms 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 = (♯‘𝐴) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ₀ → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))))
66	3, 4, 65	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))))
67	66	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))))
68	67	imp 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
69	68	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
70	2, 69	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
71	70	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
72	71	impcom 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))
73		elfzo0 13727	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↔ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))
74	72, 73	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
75		df-3an 1086	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ↔ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))))
76	1, 74, 75	sylanbrc 581	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))))
77		ccatval1 14585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
78	76, 77	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
79	3	pfxccatin12lem2c 14738	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
80		simpl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
81		swrdfv 14656	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
82	79, 80, 81	syl2an 594	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
83		simplll 773	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
84		simplrl 775	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
85	3	eleq1i 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ ↔ (♯‘𝐴) ∈ ℕ₀)
86		elnn0uz 12919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ ↔ 𝐿 ∈ (ℤ_≥‘0))
87		eluzfz2 13563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ_≥‘0) → 𝐿 ∈ (0...𝐿))
88	86, 87	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → 𝐿 ∈ (0...𝐿))
89	3	oveq2i 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝐿) = (0...(♯‘𝐴))
90	88, 89	eleqtrdi 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
91	85, 90	sylbir 234	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ₀ → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
92	4, 91	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
93	92	ad3antrrr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
94		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))
95		swrdfv 14656	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
96	83, 84, 93, 94, 95	syl31anc 1370	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
97	78, 82, 96	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾))
98	97	ex 411	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 ∧ w3a 1084 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 ⟨cop 4639 class class class wbr 5153 ‘cfv 6554 (class class class)co 7424 ℝcr 11157 0cc0 11158 + caddc 11161 < clt 11298 ≤ cle 11299 − cmin 11494 ℕcn 12264 ℕ₀cn0 12524 ℤcz 12610 ℤ_≥cuz 12874 ...cfz 13538 ..^cfzo 13681 ♯chash 14347 Word cword 14522 ++ cconcat 14578 substr csubstr 14648

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2697 ax-rep 5290 ax-sep 5304 ax-nul 5311 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11214 ax-resscn 11215 ax-1cn 11216 ax-icn 11217 ax-addcl 11218 ax-addrcl 11219 ax-mulcl 11220 ax-mulrcl 11221 ax-mulcom 11222 ax-addass 11223 ax-mulass 11224 ax-distr 11225 ax-i2m1 11226 ax-1ne0 11227 ax-1rid 11228 ax-rnegex 11229 ax-rrecex 11230 ax-cnre 11231 ax-pre-lttri 11232 ax-pre-lttrn 11233 ax-pre-ltadd 11234 ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3464 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3967 df-nul 4326 df-if 4534 df-pw 4609 df-sn 4634 df-pr 4636 df-op 4640 df-uni 4914 df-int 4955 df-iun 5003 df-br 5154 df-opab 5216 df-mpt 5237 df-tr 5271 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6312 df-ord 6379 df-on 6380 df-lim 6381 df-suc 6382 df-iota 6506 df-fun 6556 df-fn 6557 df-f 6558 df-f1 6559 df-fo 6560 df-f1o 6561 df-fv 6562 df-riota 7380 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-om 7877 df-1st 8003 df-2nd 8004 df-frecs 8296 df-wrecs 8327 df-recs 8401 df-rdg 8440 df-1o 8496 df-er 8734 df-en 8975 df-dom 8976 df-sdom 8977 df-fin 8978 df-card 9982 df-pnf 11300 df-mnf 11301 df-xr 11302 df-ltxr 11303 df-le 11304 df-sub 11496 df-neg 11497 df-nn 12265 df-n0 12525 df-z 12611 df-uz 12875 df-fz 13539 df-fzo 13682 df-hash 14348 df-word 14523 df-concat 14579 df-substr 14649

This theorem is referenced by: pfxccatin12 14741

W3C validator