pfxccatin12lem3 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > pfxccatin12lem3		Structured version Visualization version GIF version

Theorem pfxccatin12lem3 14923

Description: Lemma 3 for pfxccatin12 14924. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
swrdccatin2.l	⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)

**Assertion**
Ref	Expression
pfxccatin12lem3	⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾)))

**Proof of Theorem pfxccatin12lem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
2		elfzo0 13875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)))
3		swrdccatin2.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
4		lencl 14719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ₀)
5		elfz2nn0 13792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
6		nn0addcl 12681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀)
7	6	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀))
8	7	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀))
9	8	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀))
10	9	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀))
11	10	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀)
12		elnnz 12743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿 − 𝑀)))
13		nn0re 12655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → 𝑀 ∈ ℝ)
14		nn0re 12655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → 𝐿 ∈ ℝ)
15		posdif 11849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿 − 𝑀)))
16	13, 14, 15	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → (𝑀 < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿 − 𝑀)))
17		elnn0z 12746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
18		0re 11349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		zre 12737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
20		lelttr 11439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
21	18, 19, 14, 20	mp3an3an 1497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
22		nn0z 12757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → 𝐿 ∈ ℤ)
23	22	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 0 < 𝐿) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
24		elnnz 12743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
25	23, 24	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ)
26	25	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → (0 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ))
27	26	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → (0 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ))
28	21, 27	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ))
29	28	expd 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → (0 ≤ 𝑀 → (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ)))
30	29	impancom 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝐿 ∈ ℕ₀ → (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ)))
31	17, 30	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ∈ ℕ₀ → (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ)))
32	31	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ))
33	16, 32	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → (0 < (𝐿 − 𝑀) → 𝐿 ∈ ℕ))
34	33	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0 < (𝐿 − 𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → 𝐿 ∈ ℕ))
35	12, 34	simplbiim 514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → 𝐿 ∈ ℕ))
36	35	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → 𝐿 ∈ ℕ))
37	36	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ))
38	37	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ))
39	38	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ)
40		nn0re 12655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℝ)
41	40	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝐾 ∈ ℝ)
42	13	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝑀 ∈ ℝ)
43	42	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝑀 ∈ ℝ)
44	14	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
45	44	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
46	41, 43, 45	ltaddsubd 11956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → ((𝐾 + 𝑀) < 𝐿 ↔ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)))
47	46	exbiri 823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 < (𝐿 − 𝑀) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
48	47	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝐾 < (𝐿 − 𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
49	48	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
50	49	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
51	50	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)
52	11, 39, 51	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
53	52	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
54	53	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
55	5, 54	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
56	55	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
57	56	2a1i 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝐿 ∈ ℕ₀ → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))))
58		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ₀ ↔ 𝐿 ∈ ℕ₀))
59		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ∈ ℕ))
60		breq2 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴) ↔ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
61	59, 60	3anbi23d 1468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)) ↔ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
62	61	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
63	62	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))) ↔ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))))
64	57, 58, 63	3imtr4d 297	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ₀ → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))))
65	64	eqcoms 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 = (♯‘𝐴) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ₀ → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))))
66	3, 4, 65	mpsyl 69	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))))
67	66	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))))
68	67	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
69	68	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
70	2, 69	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
71	70	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
72	71	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))
73		elfzo0 13875	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↔ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))
74	72, 73	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
75		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ↔ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))))
76	1, 74, 75	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))))
77		ccatval1 14763	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
78	76, 77	syl 18	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
79	3	pfxccatin12lem2c 14921	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
80		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
81		swrdfv 14838	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
82	79, 80, 81	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
83		simplll 787	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
84		simplrl 789	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
85	3	eleq1i 2855	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ ↔ (♯‘𝐴) ∈ ℕ₀)
86		elnn0uz 13046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ ↔ 𝐿 ∈ (ℤ_≥‘0))
87		eluzfz2 13705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ_≥‘0) → 𝐿 ∈ (0...𝐿))
88	86, 87	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → 𝐿 ∈ (0...𝐿))
89	3	oveq2i 7462	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝐿) = (0...(♯‘𝐴))
90	88, 89	eleqtrdi 2874	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
91	85, 90	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ₀ → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
92	4, 91	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
93	92	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
94		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))
95		swrdfv 14838	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
96	83, 84, 93, 94, 95	syl31anc 1401	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
97	78, 82, 96	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾))
98	97	ex 418	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 ⟨cop 4840 class class class wbr 5108 ‘cfv 6566 (class class class)co 7451 ℝcr 11238 0cc0 11239 + caddc 11242 < clt 11382 ≤ cle 11383 − cmin 11580 ℕcn 12375 ℕ₀cn0 12646 ℤcz 12733 ℤ_≥cuz 13005 ...cfz 13679 ..^cfzo 13828 ♯chash 14515 Word cword 14699 ++ cconcat 14756 substr csubstr 14830

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-rep 5238 ax-sep 5255 ax-nul 5266 ax-pow 5334 ax-pr 5398 ax-un 7783 ax-cnex 11295 ax-resscn 11296 ax-1cn 11297 ax-icn 11298 ax-addcl 11299 ax-addrcl 11300 ax-mulcl 11301 ax-mulrcl 11302 ax-mulcom 11303 ax-addass 11304 ax-mulass 11305 ax-distr 11306 ax-i2m1 11307 ax-1ne0 11308 ax-1rid 11309 ax-rnegex 11310 ax-rrecex 11311 ax-cnre 11312 ax-pre-lttri 11313 ax-pre-lttrn 11314 ax-pre-ltadd 11315 ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4841 df-uni 4873 df-int 4913 df-iun 4958 df-br 5109 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-we 5613 df-xp 5664 df-rel 5665 df-cnv 5666 df-co 5667 df-dm 5668 df-rn 5669 df-res 5670 df-ima 5671 df-pred 6330 df-ord 6391 df-on 6392 df-lim 6393 df-suc 6394 df-iota 6520 df-fun 6568 df-fn 6569 df-f 6570 df-f1 6571 df-fo 6572 df-f1o 6573 df-fv 6574 df-riota 7408 df-ov 7454 df-oprab 7455 df-mpo 7456 df-om 7912 df-1st 8035 df-2nd 8036 df-frecs 8337 df-wrecs 8368 df-recs 8417 df-rdg 8456 df-1o 8514 df-er 8755 df-en 9012 df-dom 9013 df-sdom 9014 df-fin 9015 df-card 10057 df-pnf 11384 df-mnf 11385 df-xr 11386 df-ltxr 11387 df-le 11388 df-sub 11582 df-neg 11583 df-nn 12376 df-n0 12647 df-z 12734 df-uz 13006 df-fz 13680 df-fzo 13829 df-hash 14516 df-word 14700 df-concat 14757 df-substr 14831

This theorem is used by: pfxccatin12 14924

W3C validator