Proof of Theorem pfxccatin12lem3
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpll 764 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉)) |
2 | | elfzo0 13428 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) |
3 | | swrdccatin2.l |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴) |
4 | | lencl 14236 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈
ℕ0) |
5 | | elfz2nn0 13347 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) |
6 | | nn0addcl 12268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℕ0) → (𝐾 + 𝑀) ∈
ℕ0) |
7 | 6 | ex 413 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (𝑀 ∈
ℕ0 → (𝐾 + 𝑀) ∈
ℕ0)) |
8 | 7 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 𝑀) ∈
ℕ0)) |
9 | 8 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ ((𝐾 ∈
ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈
ℕ0)) |
10 | 9 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
≤ 𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈
ℕ0)) |
11 | 10 | imp 407 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈
ℕ0) |
12 | | elnnz 12329 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿 − 𝑀))) |
13 | | nn0re 12242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈
ℝ) |
14 | | nn0re 12242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝐿 ∈ ℕ0
→ 𝐿 ∈
ℝ) |
15 | | posdif 11468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿 − 𝑀))) |
16 | 13, 14, 15 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿 − 𝑀))) |
17 | | elnn0z 12332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
↔ (𝑀 ∈ ℤ
∧ 0 ≤ 𝑀)) |
18 | | 0re 10977 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ 0 ∈
ℝ |
19 | | zre 12323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈
ℝ) |
20 | | lelttr 11065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 𝑀
∈ ℝ ∧ 𝐿
∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿)) |
21 | 18, 19, 14, 20 | mp3an3an 1466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)
→ ((0 ≤ 𝑀 ∧
𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿)) |
22 | | nn0z 12343 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝐿 ∈ ℕ0
→ 𝐿 ∈
ℤ) |
23 | 22 | anim1i 615 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0
∧ 0 < 𝐿) →
(𝐿 ∈ ℤ ∧ 0
< 𝐿)) |
24 | | elnnz 12329 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 <
𝐿)) |
25 | 23, 24 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0
∧ 0 < 𝐿) →
𝐿 ∈
ℕ) |
26 | 25 | ex 413 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝐿 ∈ ℕ0
→ (0 < 𝐿 →
𝐿 ∈
ℕ)) |
27 | 26 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)
→ (0 < 𝐿 →
𝐿 ∈
ℕ)) |
28 | 21, 27 | syld 47 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)
→ ((0 ≤ 𝑀 ∧
𝑀 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ)) |
29 | 28 | expd 416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)
→ (0 ≤ 𝑀 →
(𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ))) |
30 | 29 | impancom 452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤
𝑀) → (𝐿 ∈ ℕ0
→ (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ))) |
31 | 17, 30 | sylbi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ (𝐿 ∈
ℕ0 → (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ))) |
32 | 31 | imp 407 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ)) |
33 | 16, 32 | sylbird 259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0) → (0 < (𝐿 − 𝑀) → 𝐿 ∈ ℕ)) |
34 | 33 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (0 <
(𝐿 − 𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)
→ 𝐿 ∈
ℕ)) |
35 | 12, 34 | simplbiim 505 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)
→ 𝐿 ∈
ℕ)) |
36 | 35 | 3ad2ant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)
→ 𝐿 ∈
ℕ)) |
37 | 36 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ)) |
38 | 37 | 3adant3 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
≤ 𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ)) |
39 | 38 | imp 407 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ) |
40 | | nn0re 12242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 𝐾 ∈
ℝ) |
41 | 40 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ (𝑀 ∈
ℕ0 ∧ 𝐿
∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝐾 ∈ ℝ) |
42 | 13 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
≤ 𝐿) → 𝑀 ∈
ℝ) |
43 | 42 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ (𝑀 ∈
ℕ0 ∧ 𝐿
∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝑀 ∈ ℝ) |
44 | 14 | 3ad2ant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
≤ 𝐿) → 𝐿 ∈
ℝ) |
45 | 44 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ (𝑀 ∈
ℕ0 ∧ 𝐿
∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ) |
46 | 41, 43, 45 | ltaddsubd 11575 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ (𝑀 ∈
ℕ0 ∧ 𝐿
∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → ((𝐾 + 𝑀) < 𝐿 ↔ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) |
47 | 46 | exbiri 808 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((𝑀 ∈
ℕ0 ∧ 𝐿
∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 < (𝐿 − 𝑀) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))) |
48 | 47 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (𝐾 < (𝐿 − 𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))) |
49 | 48 | imp 407 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)) |
50 | 49 | 3adant2 1130 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)) |
51 | 50 | impcom 408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿) |
52 | 11, 39, 51 | 3jca 1127 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)) |
53 | 52 | ex 413 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
≤ 𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))) |
54 | 53 | a1d 25 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))) |
55 | 5, 54 | sylbi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))) |
56 | 55 | imp 407 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))) |
57 | 56 | 2a1i 12 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((♯‘𝐴) =
𝐿 → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))) |
58 | | eleq1 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((♯‘𝐴) =
𝐿 →
((♯‘𝐴) ∈
ℕ0 ↔ 𝐿 ∈
ℕ0)) |
59 | | eleq1 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((♯‘𝐴) =
𝐿 →
((♯‘𝐴) ∈
ℕ ↔ 𝐿 ∈
ℕ)) |
60 | | breq2 5078 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((♯‘𝐴) =
𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴) ↔ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)) |
61 | 59, 60 | 3anbi23d 1438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((♯‘𝐴) =
𝐿 → (((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧
(♯‘𝐴) ∈
ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)) ↔ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))) |
62 | 61 | imbi2d 341 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((♯‘𝐴) =
𝐿 → (((𝐾 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧
(♯‘𝐴) ∈
ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))) |
63 | 62 | imbi2d 341 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((♯‘𝐴) =
𝐿 → (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧
(♯‘𝐴) ∈
ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))) ↔ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))) |
64 | 57, 58, 63 | 3imtr4d 294 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((♯‘𝐴) =
𝐿 →
((♯‘𝐴) ∈
ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧
(♯‘𝐴) ∈
ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))))) |
65 | 64 | eqcoms 2746 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐿 = (♯‘𝐴) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0
→ ((𝑀 ∈
(0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧
(♯‘𝐴) ∈
ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))))) |
66 | 3, 4, 65 | mpsyl 68 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧
(♯‘𝐴) ∈
ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))) |
67 | 66 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧
(♯‘𝐴) ∈
ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))) |
68 | 67 | imp 407 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧
(♯‘𝐴) ∈
ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))) |
69 | 68 | com12 32 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧
(♯‘𝐴) ∈
ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))) |
70 | 2, 69 | sylbi 216 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧
(♯‘𝐴) ∈
ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))) |
71 | 70 | adantl 482 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧
(♯‘𝐴) ∈
ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))) |
72 | 71 | impcom 408 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧
(♯‘𝐴) ∈
ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))) |
73 | | elfzo0 13428 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↔ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧
(♯‘𝐴) ∈
ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))) |
74 | 72, 73 | sylibr 233 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) |
75 | | df-3an 1088 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ↔ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))) |
76 | 1, 74, 75 | sylanbrc 583 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))) |
77 | | ccatval1 14281 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀))) |
78 | 76, 77 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀))) |
79 | 3 | pfxccatin12lem2c 14443 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))) |
80 | | simpl 483 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) |
81 | | swrdfv 14361 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀))) |
82 | 79, 80, 81 | syl2an 596 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀))) |
83 | | simplll 772 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉) |
84 | | simplrl 774 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿)) |
85 | 3 | eleq1i 2829 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐿 ∈ ℕ0
↔ (♯‘𝐴)
∈ ℕ0) |
86 | | elnn0uz 12623 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐿 ∈ ℕ0
↔ 𝐿 ∈
(ℤ≥‘0)) |
87 | | eluzfz2 13264 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐿 ∈
(ℤ≥‘0) → 𝐿 ∈ (0...𝐿)) |
88 | 86, 87 | sylbi 216 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐿 ∈ ℕ0
→ 𝐿 ∈ (0...𝐿)) |
89 | 3 | oveq2i 7286 |
. . . . . . . 8
⊢
(0...𝐿) =
(0...(♯‘𝐴)) |
90 | 88, 89 | eleqtrdi 2849 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐿 ∈ ℕ0
→ 𝐿 ∈
(0...(♯‘𝐴))) |
91 | 85, 90 | sylbir 234 |
. . . . . 6
⊢
((♯‘𝐴)
∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) |
92 | 4, 91 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) |
93 | 92 | ad3antrrr 727 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) |
94 | | simprr 770 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) |
95 | | swrdfv 14361 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉)‘𝐾) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀))) |
96 | 83, 84, 93, 94, 95 | syl31anc 1372 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉)‘𝐾) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀))) |
97 | 78, 82, 96 | 3eqtr4d 2788 |
. 2
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝐾) = ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉)‘𝐾)) |
98 | 97 | ex 413 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝐾) = ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉)‘𝐾))) |