MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxccatin12lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxccatin12lem3 14620
Description: Lemma 3 for pfxccatin12 14621. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin2.l 𝐿 = (♯‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
pfxccatin12lem3 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾)))

Proof of Theorem pfxccatin12lem3
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
2 elfzo0 13613 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)))
3 swrdccatin2.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (♯‘𝐴)
4 lencl 14421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5 elfz2nn0 13532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿))
6 nn0addcl 12448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0)
76ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
873ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
98com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
1093ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
1110imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0)
12 elnnz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐿𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝐿𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿𝑀)))
13 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
14 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
15 posdif 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿𝑀)))
1613, 14, 15syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿𝑀)))
17 elnn0z 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
18 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 0 ∈ ℝ
19 zre 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
20 lelttr 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
2118, 19, 14, 20mp3an3an 1467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
22 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
2322anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝐿) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
24 elnnz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
2523, 24sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ)
2625ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐿 ∈ ℕ0 → (0 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ))
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ))
2821, 27syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ))
2928expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 → (𝑀 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ)))
3029impancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ)))
3117, 30sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ)))
3231imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ))
3316, 32sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐿𝑀) → 𝐿 ∈ ℕ))
3433com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0 < (𝐿𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
3512, 34simplbiim 505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐿𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
36353ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
3736com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ))
38373adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ))
3938imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ)
40 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿)) → 𝐾 ∈ ℝ)
42133ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → 𝑀 ∈ ℝ)
4342adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿)) → 𝑀 ∈ ℝ)
44143ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
4544adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
4641, 43, 45ltaddsubd 11755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿)) → ((𝐾 + 𝑀) < 𝐿𝐾 < (𝐿𝑀)))
4746exbiri 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝐾 < (𝐿𝑀) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
4847com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < (𝐿𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
4948imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
50493adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
5150impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)
5211, 39, 513jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
5352ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
5453a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
555, 54sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
5655imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
57562a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))))
58 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0))
59 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ∈ ℕ))
60 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴) ↔ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
6159, 603anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)) ↔ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
6261imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
6362imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))) ↔ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))))
6457, 58, 633imtr4d 293 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))))
6564eqcoms 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 = (♯‘𝐴) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))))
663, 4, 65mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))))
6766adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))))
6867imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
6968com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
702, 69sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
7170adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
7271impcom 408 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))
73 elfzo0 13613 . . . . . 6 ((𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↔ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))
7472, 73sylibr 233 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
75 df-3an 1089 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ↔ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))))
761, 74, 75sylanbrc 583 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))))
77 ccatval1 14465 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
7876, 77syl 17 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
793pfxccatin12lem2c 14618 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
80 simpl 483 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
81 swrdfv 14536 . . . 4 ((((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
8279, 80, 81syl2an 596 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
83 simplll 773 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
84 simplrl 775 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
853eleq1i 2828 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
86 elnn0uz 12808 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ‘0))
87 eluzfz2 13449 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (ℤ‘0) → 𝐿 ∈ (0...𝐿))
8886, 87sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝐿))
893oveq2i 7368 . . . . . . . 8 (0...𝐿) = (0...(♯‘𝐴))
9088, 89eleqtrdi 2848 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
9185, 90sylbir 234 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
924, 91syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
9392ad3antrrr 728 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
94 simprr 771 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))
95 swrdfv 14536 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
9683, 84, 93, 94, 95syl31anc 1373 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
9778, 82, 963eqtr4d 2786 . 2 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾))
9897ex 413 1 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cop 4592   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  chash 14230  Word cword 14402   ++ cconcat 14458   substr csubstr 14528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-substr 14529
This theorem is referenced by:  pfxccatin12  14621
  Copyright terms: Public domain W3C validator