MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxccatin12lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxccatin12lem3 14770
Description: Lemma 3 for pfxccatin12 14771. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin2.l 𝐿 = (♯‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
pfxccatin12lem3 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾)))

Proof of Theorem pfxccatin12lem3
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
2 elfzo0 13740 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)))
3 swrdccatin2.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (♯‘𝐴)
4 lencl 14571 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5 elfz2nn0 13658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿))
6 nn0addcl 12561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0)
76ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
873ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
98com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
1093ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
1110imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0)
12 elnnz 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐿𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝐿𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿𝑀)))
13 nn0re 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
14 nn0re 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
15 posdif 11756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿𝑀)))
1613, 14, 15syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿𝑀)))
17 elnn0z 12626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
18 0re 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 0 ∈ ℝ
19 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
20 lelttr 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
2118, 19, 14, 20mp3an3an 1469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
22 nn0z 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
2322anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝐿) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
24 elnnz 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
2523, 24sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ)
2625ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐿 ∈ ℕ0 → (0 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ))
2726adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ))
2821, 27syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ))
2928expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 → (𝑀 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ)))
3029impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ)))
3117, 30sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ)))
3231imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ))
3316, 32sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐿𝑀) → 𝐿 ∈ ℕ))
3433com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0 < (𝐿𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
3512, 34simplbiim 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐿𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
36353ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
3736com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ))
38373adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ))
3938imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ)
40 nn0re 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿)) → 𝐾 ∈ ℝ)
42133ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → 𝑀 ∈ ℝ)
4342adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿)) → 𝑀 ∈ ℝ)
44143ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
4544adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
4641, 43, 45ltaddsubd 11863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿)) → ((𝐾 + 𝑀) < 𝐿𝐾 < (𝐿𝑀)))
4746exbiri 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝐾 < (𝐿𝑀) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
4847com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < (𝐿𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
4948imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
50493adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
5150impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)
5211, 39, 513jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
5352ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
5453a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
555, 54sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
5655imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
57562a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))))
58 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0))
59 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ∈ ℕ))
60 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴) ↔ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
6159, 603anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)) ↔ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
6261imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
6362imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))) ↔ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))))
6457, 58, 633imtr4d 294 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))))
6564eqcoms 2745 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 = (♯‘𝐴) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))))
663, 4, 65mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))))
6766adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))))
6867imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
6968com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
702, 69sylbi 217 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
7170adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
7271impcom 407 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))
73 elfzo0 13740 . . . . . 6 ((𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↔ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))
7472, 73sylibr 234 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
75 df-3an 1089 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ↔ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))))
761, 74, 75sylanbrc 583 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))))
77 ccatval1 14615 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
7876, 77syl 17 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
793pfxccatin12lem2c 14768 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
80 simpl 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
81 swrdfv 14686 . . . 4 ((((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
8279, 80, 81syl2an 596 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
83 simplll 775 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
84 simplrl 777 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
853eleq1i 2832 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
86 elnn0uz 12923 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ‘0))
87 eluzfz2 13572 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (ℤ‘0) → 𝐿 ∈ (0...𝐿))
8886, 87sylbi 217 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝐿))
893oveq2i 7442 . . . . . . . 8 (0...𝐿) = (0...(♯‘𝐴))
9088, 89eleqtrdi 2851 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
9185, 90sylbir 235 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
924, 91syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
9392ad3antrrr 730 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
94 simprr 773 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))
95 swrdfv 14686 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
9683, 84, 93, 94, 95syl31anc 1375 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
9778, 82, 963eqtr4d 2787 . 2 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾))
9897ex 412 1 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cop 4632   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552   ++ cconcat 14608   substr csubstr 14678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-substr 14679
This theorem is referenced by:  pfxccatin12  14771
  Copyright terms: Public domain W3C validator