Theorem modaddmodlo 14047

Description: The sum of an integer modulo a positive integer and another integer equals the sum of the two integers modulo the positive integer if the other integer is in the lower part of the range between 0 and the positive integer. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modaddmodlo	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀)))

Proof of Theorem modaddmodlo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	zred 12773	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		zmodcl 14000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12638	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
6	5	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
7	3, 6	readdcld 11310	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℝ)
8	7	ancoms 464	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℝ)
9		nnrp 13102	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ+)
10	9	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℝ+)
11	2	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
12	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
13		elfzole1 13771	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → 0 ≤ 𝐵)
14	13	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 0 ≤ 𝐵)
15	4	nn0ge0d 12640	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
17	11, 12, 14, 16	addge0d 11862	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 0 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)))
18		elfzolt2 13772	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → 𝐵 < (𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))
19	18	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝐵 < (𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))
20		nnre 12312	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℝ)
22	11, 12, 21	ltaddsubd 11886	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < 𝑀 ↔ 𝐵 < (𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))))
23	19, 22	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < 𝑀)
24		modid 14005	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∧ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < 𝑀)) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)))
25	8, 10, 17, 23, 24	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)))
26		zre 12667	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
27	26	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
28	27	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
29		modadd2mod 14033	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
30	28, 11, 10, 29	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
31	25, 30	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
32	31	ex 418	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408  ℝcr 11171  0cc0 11172   + caddc 11175   < clt 11315   ≤ cle 11316   − cmin 11513  ℕcn 12305  ℤcz 12663  ℝ⁺crp 13090  ..^cfzo 13757   mod cmo 13978

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-rp 13091  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-fl 13901  df-mod 13979

This theorem is used by:  cshwidxmod  14922