Theorem modaddmodlo 13886

Description: The sum of an integer modulo a positive integer and another integer equals the sum of the two integers modulo the positive integer if the other integer is in the lower part of the range between 0 and the positive integer. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modaddmodlo	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀)))

Proof of Theorem modaddmodlo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	zred 12622	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		zmodcl 13839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
7	3, 6	readdcld 11163	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℝ)
8	7	ancoms 458	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℝ)
9		nnrp 12943	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ+)
10	9	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℝ+)
11	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
12	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
13		elfzole1 13611	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → 0 ≤ 𝐵)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 0 ≤ 𝐵)
15	4	nn0ge0d 12490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
17	11, 12, 14, 16	addge0d 11715	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 0 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)))
18		elfzolt2 13612	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → 𝐵 < (𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝐵 < (𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))
20		nnre 12170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℝ)
22	11, 12, 21	ltaddsubd 11739	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < 𝑀 ↔ 𝐵 < (𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))))
23	19, 22	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < 𝑀)
24		modid 13844	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∧ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < 𝑀)) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)))
25	8, 10, 17, 23, 24	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)))
26		zre 12517	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
29		modadd2mod 13872	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
30	28, 11, 10, 29	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
31	25, 30	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
32	31	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (0..^(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  0cc0 11027   + caddc 11030   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366  ℕcn 12163  ℤcz 12513  ℝ⁺crp 12931  ..^cfzo 13597   mod cmo 13817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-mod 13818

This theorem is referenced by:  cshwidxmod  14754