Theorem sbgoldbst 45230

Description: If the strong binary Goldbach conjecture is valid, then the (strong) ternary Goldbach conjecture holds, too. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sbgoldbst	⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Proof of Theorem sbgoldbst

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → 𝑚 ∈ Odd )
2		3odd 45160	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ Odd
3	1, 2	jctir 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
4		omoeALTV 45137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑚 − 3) ∈ Even )
5		breq2 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → (4 < 𝑛 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
6		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
7	5, 6	imbi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → ((4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
8	7	rspcv 3557	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 − 3) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
9	3, 4, 8	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
10		4p3e7 12127	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 + 3) = 7
11	10	breq1i 5081	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 + 3) < 𝑚 ↔ 7 < 𝑚)
12		4re 12057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 4 ∈ ℝ)
14		3re 12053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 3 ∈ ℝ)
16		oddz 45083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℤ)
17	16	zred 12426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℝ)
18	13, 15, 17	ltaddsubd 11575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → ((4 + 3) < 𝑚 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
19	18	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
20	11, 19	syl5bir 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → (7 < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
21	20	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → 4 < (𝑚 − 3))
22		pm2.27 42	. . . . . 6 ⊢ (4 < (𝑚 − 3) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
24		isgbe 45203	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))))
25		3prm 16399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℙ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 3 ∈ ℙ)
27		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 3 → (𝑟 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
28	27	3anbi3d 1441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd )))
29		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + 3))
30	29	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 3 → (𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3)))
31	28, 30	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 3 → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))))
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) ∧ 𝑟 = 3) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))))
33		simp1 1135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑝 ∈ Odd )
34		simp2 1136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑞 ∈ Odd )
35	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 3 ∈ Odd )
36	33, 34, 35	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
38	16	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℂ)
39	38	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑚 ∈ ℂ)
40		3cn 12054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 3 ∈ ℂ)
42		prmz 16380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
43		prmz 16380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
44		zaddcl 12360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
45	42, 43, 44	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
46	45	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℂ)
47	46	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℂ)
48	39, 41, 47	subadd2d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 3) = 𝑚))
49	48	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑝 + 𝑞) + 3) = 𝑚)
50	49	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))
51	50	3ad2antr3 1189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))
52	37, 51	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3)))
53	26, 32, 52	rspcedvd 3563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
54	53	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
55	54	reximdva 3203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
56	55	reximdva 3203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
57	56, 1	jctild 526	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
58		isgbo 45205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
59	57, 58	syl6ibr 251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
60	59	adantld 491	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
61	24, 60	syl5bi 241	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
62	9, 23, 61	3syld 60	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
63	62	com12 32	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
64	63	expd 416	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd )))
65	64	ralrimiv 3102	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870   + caddc 10874   < clt 11009   − cmin 11205  3c3 12029  4c4 12030  7c7 12033  ℤcz 12319  ℙcprime 16376   Even ceven 45076   Odd codd 45077   GoldbachEven cgbe 45197   GoldbachOdd cgbo 45199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377  df-even 45078  df-odd 45079  df-gbe 45200  df-gbo 45202

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