Theorem sbgoldbst 48266

Description: If the strong binary Goldbach conjecture is valid, then the (strong) ternary Goldbach conjecture holds, too. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sbgoldbst	⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Proof of Theorem sbgoldbst

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → 𝑚 ∈ Odd )
2		3odd 48196	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ Odd
3	1, 2	jctir 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
4		omoeALTV 48173	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑚 − 3) ∈ Even )
5		breq2 5090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → (4 < 𝑛 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
6		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
7	5, 6	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → ((4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
8	7	rspcv 3561	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 − 3) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
9	3, 4, 8	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
10		4p3e7 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 + 3) = 7
11	10	breq1i 5093	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 + 3) < 𝑚 ↔ 7 < 𝑚)
12		4re 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 4 ∈ ℝ)
14		3re 12252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 3 ∈ ℝ)
16		oddz 48119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℤ)
17	16	zred 12624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℝ)
18	13, 15, 17	ltaddsubd 11741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → ((4 + 3) < 𝑚 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
19	18	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
20	11, 19	biimtrrid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → (7 < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
21	20	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → 4 < (𝑚 − 3))
22		pm2.27 42	. . . . . 6 ⊢ (4 < (𝑚 − 3) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
24		isgbe 48239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))))
25		3prm 16654	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℙ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 3 ∈ ℙ)
27		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 3 → (𝑟 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
28	27	3anbi3d 1445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd )))
29		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + 3))
30	29	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 3 → (𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3)))
31	28, 30	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 3 → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) ∧ 𝑟 = 3) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))))
33		simp1 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑝 ∈ Odd )
34		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑞 ∈ Odd )
35	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 3 ∈ Odd )
36	33, 34, 35	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
38	16	zcnd 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℂ)
39	38	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑚 ∈ ℂ)
40		3cn 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 3 ∈ ℂ)
42		prmz 16635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
43		prmz 16635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
44		zaddcl 12558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
45	42, 43, 44	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
46	45	zcnd 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℂ)
47	46	adantll 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℂ)
48	39, 41, 47	subadd2d 11515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 3) = 𝑚))
49	48	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑝 + 𝑞) + 3) = 𝑚)
50	49	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))
51	50	3ad2antr3 1192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))
52	37, 51	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3)))
53	26, 32, 52	rspcedvd 3567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
54	53	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
55	54	reximdva 3151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
56	55	reximdva 3151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
57	56, 1	jctild 525	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
58		isgbo 48241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
59	57, 58	imbitrrdi 252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
60	59	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
61	24, 60	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
62	9, 23, 61	3syld 60	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
63	62	com12 32	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
64	63	expd 415	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd )))
65	64	ralrimiv 3129	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028   + caddc 11032   < clt 11170   − cmin 11368  3c3 12228  4c4 12229  7c7 12232  ℤcz 12515  ℙcprime 16631   Even ceven 48112   Odd codd 48113   GoldbachEven cgbe 48233   GoldbachOdd cgbo 48235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-prm 16632  df-even 48114  df-odd 48115  df-gbe 48236  df-gbo 48238

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