Theorem sbgoldbst 48361

Description: If the strong binary Goldbach conjecture is valid, then the (strong) ternary Goldbach conjecture holds, too. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sbgoldbst	⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Proof of Theorem sbgoldbst

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → 𝑚 ∈ Odd )
2		3odd 48291	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ Odd
3	1, 2	jctir 528	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
4		omoeALTV 48268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑚 − 3) ∈ Even )
5		breq2 5101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → (4 < 𝑛 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
6		eleq1 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
7	5, 6	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − 3) → ((4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
8	7	rspcv 3576	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 − 3) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
9	3, 4, 8	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven )))
10		4p3e7 12365	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 + 3) = 7
11	10	breq1i 5104	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 + 3) < 𝑚 ↔ 7 < 𝑚)
12		4re 12296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 4 ∈ ℝ)
14		3re 12292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 3 ∈ ℝ)
16		oddz 48214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℤ)
17	16	zred 12671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℝ)
18	13, 15, 17	ltaddsubd 11781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → ((4 + 3) < 𝑚 ↔ 4 < (𝑚 − 3)))
19	18	biimpd 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → ((4 + 3) < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
20	11, 19	biimtrrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → (7 < 𝑚 → 4 < (𝑚 − 3)))
21	20	imp 410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → 4 < (𝑚 − 3))
22		pm2.27 42	. . . . . 6 ⊢ (4 < (𝑚 − 3) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → ((4 < (𝑚 − 3) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ))
24		isgbe 48334	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))))
25		3prm 16719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℙ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 3 ∈ ℙ)
27		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 3 → (𝑟 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
28	27	3anbi3d 1462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd )))
29		oveq2 7399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + 3))
30	29	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 3 → (𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3)))
31	28, 30	anbi12d 641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 3 → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))))
32	31	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) ∧ 𝑟 = 3) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))))
33		simp1 1148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑝 ∈ Odd )
34		simp2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑞 ∈ Odd )
35	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 3 ∈ Odd )
36	33, 34, 35	3jca 1140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
37	36	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ))
38	16	zcnd 12672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ Odd → 𝑚 ∈ ℂ)
39	38	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑚 ∈ ℂ)
40		3cn 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 3 ∈ ℂ)
42		prmz 16700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
43		prmz 16700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
44		zaddcl 12605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
45	42, 43, 44	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
46	45	zcnd 12672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℂ)
47	46	adantll 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℂ)
48	39, 41, 47	subadd2d 11555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 3) = 𝑚))
49	48	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑝 + 𝑞) + 3) = 𝑚)
50	49	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))
51	50	3ad2antr3 1203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3))
52	37, 51	jca 519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 3)))
53	26, 32, 52	rspcedvd 3582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
54	53	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
55	54	reximdva 3174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
56	55	reximdva 3174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
57	56, 1	jctild 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
58		isgbo 48336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑚 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑚 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
59	57, 58	imbitrrdi 254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
60	59	adantld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (((𝑚 − 3) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑚 − 3) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
61	24, 60	biimtrid 244	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → ((𝑚 − 3) ∈ GoldbachEven → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
62	9, 23, 61	3syld 60	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
63	62	com12 32	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑚 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑚) → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
64	63	expd 419	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑚 ∈ Odd → (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd )))
65	64	ralrimiv 3152	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  ℝcr 11066   + caddc 11070   < clt 11210   − cmin 11408  3c3 12267  4c4 12268  7c7 12271  ℤcz 12562  ℙcprime 16696   Even ceven 48207   Odd codd 48208   GoldbachEven cgbe 48328   GoldbachOdd cgbo 48330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-prm 16697  df-even 48209  df-odd 48210  df-gbe 48331  df-gbo 48333

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