irrapxlem2 - Mathbox for Stefan O'Rear

	Mathbox for Stefan O'Rear		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > irrapxlem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem irrapxlem2 43251

Description: Lemma for irrapx1 43256. Two multiples in the same bucket means they are very close mod 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
irrapxlem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴,𝑦 𝑥,𝐵,𝑦

**Proof of Theorem irrapxlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		irrapxlem1 43250	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
2		nnre 12181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		rpre 12951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		elfzelz 13478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝐵) → 𝑥 ∈ ℤ)
7	6	zred 12633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	5, 8	remulcld 11175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℝ)
10		1rp 12946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 1 ∈ ℝ⁺)
12	9, 11	modcld 13834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑥) mod 1) ∈ ℝ)
13	3, 12	remulcld 11175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) ∈ ℝ)
14		intfrac 13845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) ∈ ℝ → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)))
16		elfzelz 13478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
17	16	zred 12633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
19	5, 18	remulcld 11175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ)
20	19, 11	modcld 13834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑦) mod 1) ∈ ℝ)
21	3, 20	remulcld 11175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ)
22		intfrac 13845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))
24	15, 23	oveq12d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) = (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))))
25	24	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))))
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))))
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))))
28	27	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)))
29	28	oveq1d 7382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) = (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))))
30	29	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))))
31	21	flcld 13757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℂ)
33	13, 11	modcld 13834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ ℂ)
35	21, 11	modcld 13834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ ℂ)
37	32, 34, 36	pnpcand 11542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) = (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))
38	37	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) = (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))))
39		0red 11147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
40		1red 11145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
41		modelico 13840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))
42	13, 10, 41	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))
43		modelico 13840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))
44	21, 10, 43	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))
45		icodiamlt 15400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1) ∧ ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))) → (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) < (1 − 0))
46	39, 40, 42, 44, 45	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) < (1 − 0))
47		1m0e1 12297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 0) = 1
48	46, 47	breqtrdi 5126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) < 1)
49	38, 48	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) < 1)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) < 1)
51	30, 50	eqbrtrd 5107	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) < 1)
52	26, 51	eqbrtrd 5107	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1)
53	52	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1))
54	12, 20	resubcld 11578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℂ)
56	55	abscld 15401	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℝ)
57		nngt0 12208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
58	57	ad3antlr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 0 < 𝐵)
59	58	gt0ne0d 11714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
60	3, 59	rereccld 11982	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
61		ltmul2 12006	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵) ↔ (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < (𝐵 · (1 / 𝐵))))
62	56, 60, 3, 58, 61	syl112anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵) ↔ (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < (𝐵 · (1 / 𝐵))))
63		nnnn0 12444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ₀)
64	63	nn0ge0d 12501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐵)
65	64	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
66	3, 65	absidd 15385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘𝐵) = 𝐵)
67	66	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 = (abs‘𝐵))
68	67	oveq1d 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = ((abs‘𝐵) · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
69	3	recnd 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
70	69, 55	absmuld 15419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(𝐵 · (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = ((abs‘𝐵) · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
71	12	recnd 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑥) mod 1) ∈ ℂ)
72	20	recnd 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑦) mod 1) ∈ ℂ)
73	69, 71, 72	subdid 11606	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) = ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))))
74	73	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(𝐵 · (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
75	68, 70, 74	3eqtr2d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
76	69, 59	recidd 11926	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (1 / 𝐵)) = 1)
77	75, 76	breq12d 5098	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < (𝐵 · (1 / 𝐵)) ↔ (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1))
78	62, 77	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵) ↔ (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1))
79	53, 78	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) → (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵)))
80	79	anim2d 613	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵))))
81	80	reximdva 3150	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) → (∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → ∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵))))
82	81	reximdva 3150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵))))
83	1, 82	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ∃wrex 3061 class class class wbr 5085 ‘cfv 6498 (class class class)co 7367 ℝcr 11037 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 · cmul 11043 < clt 11179 ≤ cle 11180 − cmin 11377 / cdiv 11807 ℕcn 12174 ℝ⁺crp 12942 [,)cico 13300 ...cfz 13461 ⌊cfl 13749 mod cmo 13828 abscabs 15196

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2708 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5307 ax-pr 5375 ax-un 7689 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3062 df-rmo 3342 df-reu 3343 df-rab 3390 df-v 3431 df-sbc 3729 df-csb 3838 df-dif 3892 df-un 3894 df-in 3896 df-ss 3906 df-pss 3909 df-nul 4274 df-if 4467 df-pw 4543 df-sn 4568 df-pr 4570 df-op 4574 df-uni 4851 df-int 4890 df-iun 4935 df-br 5086 df-opab 5148 df-mpt 5167 df-tr 5193 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6265 df-ord 6326 df-on 6327 df-lim 6328 df-suc 6329 df-iota 6454 df-fun 6500 df-fn 6501 df-f 6502 df-f1 6503 df-fo 6504 df-f1o 6505 df-fv 6506 df-riota 7324 df-ov 7370 df-oprab 7371 df-mpo 7372 df-om 7818 df-1st 7942 df-2nd 7943 df-frecs 8231 df-wrecs 8262 df-recs 8311 df-rdg 8349 df-1o 8405 df-oadd 8409 df-er 8643 df-en 8894 df-dom 8895 df-sdom 8896 df-fin 8897 df-sup 9355 df-inf 9356 df-card 9863 df-pnf 11181 df-mnf 11182 df-xr 11183 df-ltxr 11184 df-le 11185 df-sub 11379 df-neg 11380 df-div 11808 df-nn 12175 df-2 12244 df-3 12245 df-n0 12438 df-xnn0 12511 df-z 12525 df-uz 12789 df-rp 12943 df-ico 13304 df-fz 13462 df-fl 13751 df-mod 13829 df-seq 13964 df-exp 14024 df-hash 14293 df-cj 15061 df-re 15062 df-im 15063 df-sqrt 15197 df-abs 15198

This theorem is referenced by: irrapxlem3 43252

W3C validator