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Theorem irrapxlem2 42779
Description: Lemma for irrapx1 42784. Two multiples in the same bucket means they are very close mod 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem irrapxlem2
StepHypRef Expression
1 irrapxlem1 42778 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
2 nnre 12300 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
32ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 rpre 13065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
54ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 elfzelz 13584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (0...𝐵) → 𝑥 ∈ ℤ)
76zred 12747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (0...𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
87ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
95, 8remulcld 11320 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℝ)
10 1rp 13061 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ+
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 1 ∈ ℝ+)
129, 11modcld 13926 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑥) mod 1) ∈ ℝ)
133, 12remulcld 11320 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) ∈ ℝ)
14 intfrac 13937 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) ∈ ℝ → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)))
16 elfzelz 13584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (0...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
1716zred 12747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (0...𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
1817adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
195, 18remulcld 11320 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ)
2019, 11modcld 13926 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑦) mod 1) ∈ ℝ)
213, 20remulcld 11320 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ)
22 intfrac 13937 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))
2415, 23oveq12d 7466 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) = (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))))
2524fveq2d 6924 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))))
2625adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))))
27 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))))
2827oveq1d 7463 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)))
2928oveq1d 7463 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) = (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))))
3029fveq2d 6924 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))))
3121flcld 13849 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℤ)
3231zcnd 12748 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℂ)
3313, 11modcld 13926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ ℝ)
3433recnd 11318 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ ℂ)
3521, 11modcld 13926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ ℝ)
3635recnd 11318 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ ℂ)
3732, 34, 36pnpcand 11684 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) = (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))
3837fveq2d 6924 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) = (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))))
39 0red 11293 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
40 1red 11291 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
41 modelico 13932 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))
4213, 10, 41sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))
43 modelico 13932 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))
4421, 10, 43sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))
45 icodiamlt 15484 . . . . . . . . . . . . 13 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1) ∧ ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))) → (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) < (1 − 0))
4639, 40, 42, 44, 45syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) < (1 − 0))
47 1m0e1 12414 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 0) = 1
4846, 47breqtrdi 5207 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) < 1)
4938, 48eqbrtrd 5188 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) < 1)
5049adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) < 1)
5130, 50eqbrtrd 5188 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) < 1)
5226, 51eqbrtrd 5188 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1)
5352ex 412 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1))
5412, 20resubcld 11718 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ)
5554recnd 11318 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℂ)
5655abscld 15485 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℝ)
57 nngt0 12324 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
5857ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 0 < 𝐵)
5958gt0ne0d 11854 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
603, 59rereccld 12121 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
61 ltmul2 12145 . . . . . . . 8 (((abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵) ↔ (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < (𝐵 · (1 / 𝐵))))
6256, 60, 3, 58, 61syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵) ↔ (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < (𝐵 · (1 / 𝐵))))
63 nnnn0 12560 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
6463nn0ge0d 12616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐵)
6564ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
663, 65absidd 15471 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘𝐵) = 𝐵)
6766eqcomd 2746 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 = (abs‘𝐵))
6867oveq1d 7463 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = ((abs‘𝐵) · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
693recnd 11318 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7069, 55absmuld 15503 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(𝐵 · (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = ((abs‘𝐵) · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
7112recnd 11318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑥) mod 1) ∈ ℂ)
7220recnd 11318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑦) mod 1) ∈ ℂ)
7369, 71, 72subdid 11746 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) = ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))))
7473fveq2d 6924 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(𝐵 · (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
7568, 70, 743eqtr2d 2786 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
7669, 59recidd 12065 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (1 / 𝐵)) = 1)
7775, 76breq12d 5179 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < (𝐵 · (1 / 𝐵)) ↔ (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1))
7862, 77bitrd 279 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵) ↔ (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1))
7953, 78sylibrd 259 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) → (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵)))
8079anim2d 611 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵))))
8180reximdva 3174 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) → (∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → ∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵))))
8281reximdva 3174 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵))))
831, 82mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wrex 3076   class class class wbr 5166  cfv 6573  (class class class)co 7448  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324  cle 11325  cmin 11520   / cdiv 11947  cn 12293  +crp 13057  [,)cico 13409  ...cfz 13567  cfl 13841   mod cmo 13920  abscabs 15283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-fz 13568  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285
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