irrapxlem2 - Mathbox for Stefan O'Rear

	Mathbox for Stefan O'Rear		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > irrapxlem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem irrapxlem2 42811

Description: Lemma for irrapx1 42816. Two multiples in the same bucket means they are very close mod 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
irrapxlem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴,𝑦 𝑥,𝐵,𝑦

**Proof of Theorem irrapxlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		irrapxlem1 42810	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
2		nnre 12193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		rpre 12960	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		elfzelz 13485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝐵) → 𝑥 ∈ ℤ)
7	6	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	5, 8	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℝ)
10		1rp 12955	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 1 ∈ ℝ⁺)
12	9, 11	modcld 13837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑥) mod 1) ∈ ℝ)
13	3, 12	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) ∈ ℝ)
14		intfrac 13848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) ∈ ℝ → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)))
16		elfzelz 13485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
17	16	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
19	5, 18	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ)
20	19, 11	modcld 13837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑦) mod 1) ∈ ℝ)
21	3, 20	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ)
22		intfrac 13848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))
24	15, 23	oveq12d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) = (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))))
25	24	fveq2d 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))))
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))))
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))))
28	27	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)))
29	28	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) = (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))))
30	29	fveq2d 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))))
31	21	flcld 13760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℂ)
33	13, 11	modcld 13837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ ℂ)
35	21, 11	modcld 13837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ ℂ)
37	32, 34, 36	pnpcand 11570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) = (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))
38	37	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) = (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))))
39		0red 11177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
40		1red 11175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
41		modelico 13843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))
42	13, 10, 41	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))
43		modelico 13843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))
44	21, 10, 43	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))
45		icodiamlt 15404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1) ∧ ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))) → (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) < (1 − 0))
46	39, 40, 42, 44, 45	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) < (1 − 0))
47		1m0e1 12302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 0) = 1
48	46, 47	breqtrdi 5148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) < 1)
49	38, 48	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) < 1)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) < 1)
51	30, 50	eqbrtrd 5129	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) < 1)
52	26, 51	eqbrtrd 5129	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1)
53	52	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1))
54	12, 20	resubcld 11606	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℂ)
56	55	abscld 15405	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℝ)
57		nngt0 12217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
58	57	ad3antlr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 0 < 𝐵)
59	58	gt0ne0d 11742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
60	3, 59	rereccld 12009	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
61		ltmul2 12033	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵) ↔ (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < (𝐵 · (1 / 𝐵))))
62	56, 60, 3, 58, 61	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵) ↔ (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < (𝐵 · (1 / 𝐵))))
63		nnnn0 12449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ₀)
64	63	nn0ge0d 12506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐵)
65	64	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
66	3, 65	absidd 15389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘𝐵) = 𝐵)
67	66	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 = (abs‘𝐵))
68	67	oveq1d 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = ((abs‘𝐵) · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
69	3	recnd 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
70	69, 55	absmuld 15423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(𝐵 · (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = ((abs‘𝐵) · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
71	12	recnd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑥) mod 1) ∈ ℂ)
72	20	recnd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑦) mod 1) ∈ ℂ)
73	69, 71, 72	subdid 11634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) = ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))))
74	73	fveq2d 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(𝐵 · (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
75	68, 70, 74	3eqtr2d 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
76	69, 59	recidd 11953	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (1 / 𝐵)) = 1)
77	75, 76	breq12d 5120	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < (𝐵 · (1 / 𝐵)) ↔ (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1))
78	62, 77	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵) ↔ (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1))
79	53, 78	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) → (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵)))
80	79	anim2d 612	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵))))
81	80	reximdva 3146	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) → (∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → ∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵))))
82	81	reximdva 3146	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵))))
83	1, 82	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ∃wrex 3053 class class class wbr 5107 ‘cfv 6511 (class class class)co 7387 ℝcr 11067 0cc0 11068 1c1 11069 + caddc 11071 · cmul 11073 < clt 11208 ≤ cle 11209 − cmin 11405 / cdiv 11835 ℕcn 12186 ℝ⁺crp 12951 [,)cico 13308 ...cfz 13468 ⌊cfl 13752 mod cmo 13831 abscabs 15200

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5234 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145 ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4872 df-int 4911 df-iun 4957 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-om 7843 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-1o 8434 df-oadd 8438 df-er 8671 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-fin 8922 df-sup 9393 df-inf 9394 df-card 9892 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-3 12250 df-n0 12443 df-xnn0 12516 df-z 12530 df-uz 12794 df-rp 12952 df-ico 13312 df-fz 13469 df-fl 13754 df-mod 13832 df-seq 13967 df-exp 14027 df-hash 14296 df-cj 15065 df-re 15066 df-im 15067 df-sqrt 15201 df-abs 15202

This theorem is referenced by: irrapxlem3 42812

W3C validator