irrapxlem2 - Mathbox for Stefan O'Rear

	Mathbox for Stefan O'Rear		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > irrapxlem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem irrapxlem2 44090

Description: Lemma for irrapx1 44095. Two multiples in the same bucket means they are very close mod 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
irrapxlem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴,𝑦 𝑥,𝐵,𝑦

**Proof of Theorem irrapxlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		irrapxlem1 44089	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
2		nnre 12380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		rpre 13167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		elfzelz 13694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝐵) → 𝑥 ∈ ℤ)
7	6	zred 12841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	5, 8	remulcld 11376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℝ)
10		1rp 13162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 1 ∈ ℝ⁺)
12	9, 11	modcld 14053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑥) mod 1) ∈ ℝ)
13	3, 12	remulcld 11376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) ∈ ℝ)
14		intfrac 14064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) ∈ ℝ → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)))
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)))
16		elfzelz 13694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
17	16	zred 12841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
18	17	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
19	5, 18	remulcld 11376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ)
20	19, 11	modcld 14053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑦) mod 1) ∈ ℝ)
21	3, 20	remulcld 11376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ)
22		intfrac 14064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))
24	15, 23	oveq12d 7467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) = (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))))
25	24	fveq2d 6918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))))
26	25	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))))
27		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))))
28	27	oveq1d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)))
29	28	oveq1d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) = (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))))
30	29	fveq2d 6918	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) = (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))))
31	21	flcld 13976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℂ)
33	13, 11	modcld 14053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ ℂ)
35	21, 11	modcld 14053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ ℂ)
37	32, 34, 36	pnpcand 11743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) = (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))
38	37	fveq2d 6918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) = (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))))
39		0red 11348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
40		1red 11346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
41		modelico 14059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))
42	13, 10, 41	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))
43		modelico 14059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ⁺) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))
44	21, 10, 43	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))
45		icodiamlt 15646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1) ∧ ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))) → (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) < (1 − 0))
46	39, 40, 42, 44, 45	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) < (1 − 0))
47		1m0e1 12500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 0) = 1
48	46, 47	breqtrdi 5150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) < 1)
49	38, 48	eqbrtrd 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) < 1)
50	49	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) < 1)
51	30, 50	eqbrtrd 5131	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) − ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) < 1)
52	26, 51	eqbrtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1)
53	52	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1))
54	12, 20	resubcld 11781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℂ)
56	55	abscld 15647	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℝ)
57		nngt0 12407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
58	57	ad3antlr 744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 0 < 𝐵)
59	58	gt0ne0d 11918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
60	3, 59	rereccld 12182	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
61		ltmul2 12206	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵) ↔ (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < (𝐵 · (1 / 𝐵))))
62	56, 60, 3, 58, 61	syl112anc 1402	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵) ↔ (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < (𝐵 · (1 / 𝐵))))
63		nnnn0 12651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ₀)
64	63	nn0ge0d 12708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐵)
65	64	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
66	3, 65	absidd 15631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘𝐵) = 𝐵)
67	66	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 = (abs‘𝐵))
68	67	oveq1d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = ((abs‘𝐵) · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
69	3	recnd 11374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
70	69, 55	absmuld 15665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(𝐵 · (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = ((abs‘𝐵) · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
71	12	recnd 11374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑥) mod 1) ∈ ℂ)
72	20	recnd 11374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑦) mod 1) ∈ ℂ)
73	69, 71, 72	subdid 11809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) = ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))))
74	73	fveq2d 6918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(𝐵 · (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
75	68, 70, 74	3eqtr2d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
76	69, 59	recidd 12126	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (1 / 𝐵)) = 1)
77	75, 76	breq12d 5119	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < (𝐵 · (1 / 𝐵)) ↔ (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1))
78	62, 77	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵) ↔ (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1))
79	53, 78	sylibrd 262	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) → (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵)))
80	79	anim2d 624	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵))))
81	80	reximdva 3179	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) → (∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → ∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵))))
82	81	reximdva 3179	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵))))
83	1, 82	mpd 16	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 ∃wrex 3090 class class class wbr 5106 ‘cfv 6564 (class class class)co 7449 ℝcr 11236 0cc0 11237 1c1 11238 + caddc 11240 · cmul 11242 < clt 11380 ≤ cle 11381 − cmin 11578 / cdiv 12011 ℕcn 12373 ℝ⁺crp 13158 [,)cico 13516 ...cfz 13677 ⌊cfl 13968 mod cmo 14047 abscabs 15442

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-rep 5236 ax-sep 5253 ax-nul 5264 ax-pow 5332 ax-pr 5396 ax-un 7781 ax-cnex 11293 ax-resscn 11294 ax-1cn 11295 ax-icn 11296 ax-addcl 11297 ax-addrcl 11298 ax-mulcl 11299 ax-mulrcl 11300 ax-mulcom 11301 ax-addass 11302 ax-mulass 11303 ax-distr 11304 ax-i2m1 11305 ax-1ne0 11306 ax-1rid 11307 ax-rnegex 11308 ax-rrecex 11309 ax-cnre 11310 ax-pre-lttri 11311 ax-pre-lttrn 11312 ax-pre-ltadd 11313 ax-pre-mulgt0 11314 ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4839 df-uni 4871 df-int 4911 df-iun 4956 df-br 5107 df-opab 5172 df-mpt 5191 df-tr 5217 df-id 5551 df-eprel 5556 df-po 5564 df-so 5565 df-fr 5609 df-we 5611 df-xp 5662 df-rel 5663 df-cnv 5664 df-co 5665 df-dm 5666 df-rn 5667 df-res 5668 df-ima 5669 df-pred 6328 df-ord 6389 df-on 6390 df-lim 6391 df-suc 6392 df-iota 6518 df-fun 6566 df-fn 6567 df-f 6568 df-f1 6569 df-fo 6570 df-f1o 6571 df-fv 6572 df-riota 7406 df-ov 7452 df-oprab 7453 df-mpo 7454 df-om 7910 df-1st 8033 df-2nd 8034 df-frecs 8335 df-wrecs 8366 df-recs 8415 df-rdg 8454 df-1o 8512 df-oadd 8516 df-er 8753 df-en 9010 df-dom 9011 df-sdom 9012 df-fin 9013 df-sup 9469 df-inf 9470 df-card 10055 df-pnf 11382 df-mnf 11383 df-xr 11384 df-ltxr 11385 df-le 11386 df-sub 11580 df-neg 11581 df-div 12012 df-nn 12374 df-2 12443 df-3 12444 df-n0 12645 df-xnn0 12718 df-z 12732 df-uz 13004 df-rp 13159 df-ico 13520 df-fz 13678 df-fl 13970 df-mod 14048 df-seq 14183 df-exp 14243 df-hash 14514 df-cj 15307 df-re 15308 df-im 15309 df-sqrt 15443 df-abs 15444

This theorem is used by: irrapxlem3 44091

W3C validator