Proof of Theorem irrapxlem2
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | irrapxlem1 42833 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ ∃𝑥 ∈
(0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))))) |
| 2 | | nnre 12273 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈
ℝ) |
| 3 | 2 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 4 | | rpre 13043 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐴 ∈ ℝ+
→ 𝐴 ∈
ℝ) |
| 5 | 4 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 6 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 ∈ (0...𝐵) → 𝑥 ∈ ℤ) |
| 7 | 6 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 ∈ (0...𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 8 | 7 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 9 | 5, 8 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℝ) |
| 10 | | 1rp 13038 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 1 ∈
ℝ+ |
| 11 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 1 ∈
ℝ+) |
| 12 | 9, 11 | modcld 13915 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑥) mod 1) ∈ ℝ) |
| 13 | 3, 12 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) ∈ ℝ) |
| 14 | | intfrac 13926 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) ∈ ℝ → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1))) |
| 15 | 13, 14 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1))) |
| 16 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 ∈ (0...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ) |
| 17 | 16 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 ∈ (0...𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ) |
| 18 | 17 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ) |
| 19 | 5, 18 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ) |
| 20 | 19, 11 | modcld 13915 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑦) mod 1) ∈ ℝ) |
| 21 | 3, 20 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ) |
| 22 | | intfrac 13926 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) |
| 23 | 21, 22 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) |
| 24 | 15, 23 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) = (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) −
((⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) |
| 25 | 24 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) =
(abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) −
((⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))))) |
| 26 | 25 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐴 ∈
ℝ+ ∧ 𝐵
∈ ℕ) ∧ 𝑥
∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) =
(abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) −
((⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))))) |
| 27 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ∈
ℝ+ ∧ 𝐵
∈ ℕ) ∧ 𝑥
∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) |
| 28 | 27 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ∈
ℝ+ ∧ 𝐵
∈ ℕ) ∧ 𝑥
∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1))) |
| 29 | 28 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ∈
ℝ+ ∧ 𝐵
∈ ℕ) ∧ 𝑥
∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) −
((⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) = (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) −
((⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) |
| 30 | 29 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐴 ∈
ℝ+ ∧ 𝐵
∈ ℕ) ∧ 𝑥
∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) →
(abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) −
((⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) =
(abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) −
((⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))))) |
| 31 | 21 | flcld 13838 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℤ) |
| 32 | 31 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℂ) |
| 33 | 13, 11 | modcld 13915 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈
ℝ) |
| 34 | 33 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈
ℂ) |
| 35 | 21, 11 | modcld 13915 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈
ℝ) |
| 36 | 35 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈
ℂ) |
| 37 | 32, 34, 36 | pnpcand 11657 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) −
((⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) = (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) |
| 38 | 37 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) −
((⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) = (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) |
| 39 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 0 ∈ ℝ) |
| 40 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 1 ∈ ℝ) |
| 41 | | modelico 13921 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ+) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈
(0[,)1)) |
| 42 | 13, 10, 41 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈
(0[,)1)) |
| 43 | | modelico 13921 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ+) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈
(0[,)1)) |
| 44 | 21, 10, 43 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈
(0[,)1)) |
| 45 | | icodiamlt 15474 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((0
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1) ∧ ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1) ∈ (0[,)1))) →
(abs‘(((𝐵 ·
((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) < (1 −
0)) |
| 46 | 39, 40, 42, 44, 45 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) < (1 −
0)) |
| 47 | | 1m0e1 12387 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (1
− 0) = 1 |
| 48 | 46, 47 | breqtrdi 5184 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1) − ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1))) < 1) |
| 49 | 38, 48 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) −
((⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) < 1) |
| 50 | 49 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐴 ∈
ℝ+ ∧ 𝐵
∈ ℕ) ∧ 𝑥
∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) →
(abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) −
((⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) < 1) |
| 51 | 30, 50 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐴 ∈
ℝ+ ∧ 𝐵
∈ ℕ) ∧ 𝑥
∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) →
(abs‘(((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) mod 1)) −
((⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑦) mod 1))) + ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) mod 1)))) < 1) |
| 52 | 26, 51 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐴 ∈
ℝ+ ∧ 𝐵
∈ ℕ) ∧ 𝑥
∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1) |
| 53 | 52 | ex 412 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) → (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1)) |
| 54 | 12, 20 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℝ) |
| 55 | 54 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) ∈ ℂ) |
| 56 | 55 | abscld 15475 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℝ) |
| 57 | | nngt0 12297 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 <
𝐵) |
| 58 | 57 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 0 < 𝐵) |
| 59 | 58 | gt0ne0d 11827 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ≠ 0) |
| 60 | 3, 59 | rereccld 12094 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ) |
| 61 | | ltmul2 12118 |
. . . . . . . 8
⊢
(((abs‘(((𝐴
· 𝑥) mod 1) −
((𝐴 · 𝑦) mod 1))) ∈ ℝ ∧
(1 / 𝐵) ∈ ℝ
∧ (𝐵 ∈ ℝ
∧ 0 < 𝐵)) →
((abs‘(((𝐴 ·
𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵) ↔ (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < (𝐵 · (1 / 𝐵)))) |
| 62 | 56, 60, 3, 58, 61 | syl112anc 1376 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵) ↔ (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < (𝐵 · (1 / 𝐵)))) |
| 63 | | nnnn0 12533 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈
ℕ0) |
| 64 | 63 | nn0ge0d 12590 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 ≤
𝐵) |
| 65 | 64 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 0 ≤ 𝐵) |
| 66 | 3, 65 | absidd 15461 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘𝐵) = 𝐵) |
| 67 | 66 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 = (abs‘𝐵)) |
| 68 | 67 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = ((abs‘𝐵) · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))))) |
| 69 | 3 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 70 | 69, 55 | absmuld 15493 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(𝐵 · (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = ((abs‘𝐵) · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))))) |
| 71 | 12 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑥) mod 1) ∈ ℂ) |
| 72 | 20 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑦) mod 1) ∈ ℂ) |
| 73 | 69, 71, 72 | subdid 11719 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) = ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) |
| 74 | 73 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (abs‘(𝐵 · (((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))))) |
| 75 | 68, 70, 74 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) = (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))))) |
| 76 | 69, 59 | recidd 12038 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · (1 / 𝐵)) = 1) |
| 77 | 75, 76 | breq12d 5156 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < (𝐵 · (1 / 𝐵)) ↔ (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1)) |
| 78 | 62, 77 | bitrd 279 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵) ↔ (abs‘((𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) − (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) < 1)) |
| 79 | 53, 78 | sylibrd 259 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) → (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵))) |
| 80 | 79 | anim2d 612 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝐵)) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → (𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵)))) |
| 81 | 80 | reximdva 3168 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑥 ∈ (0...𝐵)) → (∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → ∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵)))) |
| 82 | 81 | reximdva 3168 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ (∃𝑥 ∈
(0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵)))) |
| 83 | 1, 82 | mpd 15 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ ∃𝑥 ∈
(0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑥) mod 1) − ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) < (1 / 𝐵))) |