pockthg - Metamath Proof Explorer

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Theorem pockthg 16834

Description: The generalized Pocklington's theorem. If 𝑁 − 1 = 𝐴 · 𝐵 where 𝐵 < 𝐴, then 𝑁 is prime if and only if for every prime factor 𝑝 of 𝐴, there is an 𝑥 such that 𝑥↑(𝑁 − 1) = 1( mod 𝑁) and gcd (𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝) − 1, 𝑁) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
pockthg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
pockthg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐴)
pockthg.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
pockthg.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
pockthg	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)

Distinct variable groups: 𝑥,𝑝,𝑁 𝐴,𝑝,𝑥 𝜑,𝑝,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem pockthg Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthg.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
2		pockthg.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		pockthg.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4	2, 3	nnmulcld 12198	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
5		nnuz 12790	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
6	4, 5	eleqtrdi 2846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1))
7		eluzp1p1 12779	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
9		df-2 12208	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
10	9	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (ℤ_≥‘2) = (ℤ_≥‘(1 + 1))
11	8, 10	eleqtrrdi 2847	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
12	1, 11	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
13		eluzelre 12762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
16	2	nnred 12160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	resqcld 14048	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19		prmnn 16601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
20	19	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑞 ∈ ℕ)
21	20	nnred 12160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑞 ∈ ℝ)
22	21	resqcld 14048	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑞↑2) ∈ ℝ)
23		pockthg.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐴)
24	3	nnred 12160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
25	2	nngt0d 12194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
26		ltmul2 11992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
27	24, 16, 16, 25, 26	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
28	23, 27	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))
29	2, 2	nnmulcld 12198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ)
30		nnltp1le 12548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ↔ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴)))
31	4, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ↔ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴)))
32	28, 31	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴))
33	2	nncnd 12161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
34	33	sqvald 14066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
35	32, 1, 34	3brtr4d 5130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐴↑2))
36	35	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝐴↑2))
37		pockthg.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
39		prmnn 16601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
40	39	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
41	40	nncnd 12161	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
42	41	exp1d 14064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) = 𝑝)
43		nnge1 12173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
44	43	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
45		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
46	2	nnzd 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
47	46	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
48		1nn0 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℕ₀)
50		pcdvdsb 16797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ₀) → (1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
51	45, 47, 49, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
52	44, 51	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) ∥ 𝐴)
53	42, 52	eqbrtrrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∥ 𝐴)
54		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝜑)
55	54, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐴 ∈ ℕ)
56	54, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐵 ∈ ℕ)
57	54, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐵 < 𝐴)
58	54, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
59		simpl2l 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑞 ∈ ℙ)
60		simpl2r 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑞 ∥ 𝑁)
61		simpl3l 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑝 ∈ ℙ)
62		simpl3r 1230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
63		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
64		simprrl 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → ((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
65		simprrr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
66	55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65	pockthlem 16833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
67	66	rexlimdvaa 3138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
68	67	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
69	53, 68	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
70	69	expr 456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))))
71		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
72		prmuz2 16623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ_≥‘2))
73		uz2m1nn 12836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
75	74	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
76		pccl 16777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ∈ ℕ₀)
77	71, 75, 76	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ∈ ℕ₀)
78	77	nn0ge0d 12465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
79		breq1 5101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ↔ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
80	78, 79	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
81	80	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))))
82		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
83	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
84	82, 83	pccld 16778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀)
85		elnn0 12403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
86	84, 85	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
87	70, 81, 86	mpjaod 860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
88	87	ralimdva 3148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
89	38, 88	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
90	75	nnzd 12514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑞 − 1) ∈ ℤ)
91		pc2dvds 16807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
92	46, 90, 91	syl2an2r 685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
93	89, 92	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ∥ (𝑞 − 1))
94		dvdsle 16237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
95	46, 75, 94	syl2an2r 685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
96	93, 95	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1))
97	2	nnnn0d 12462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ₀)
98	20	nnnn0d 12462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑞 ∈ ℕ₀)
99		nn0ltlem1 12552	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑞 ∈ ℕ₀) → (𝐴 < 𝑞 ↔ 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
100	97, 98, 99	syl2an2r 685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 < 𝑞 ↔ 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
101	96, 100	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 < 𝑞)
102	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
103	97	nn0ge0d 12465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
104	103	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ 𝐴)
105	98	nn0ge0d 12465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ 𝑞)
106	102, 21, 104, 105	lt2sqd 14179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 < 𝑞 ↔ (𝐴↑2) < (𝑞↑2)))
107	101, 106	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴↑2) < (𝑞↑2))
108	15, 18, 22, 36, 107	lelttrd 11291	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑁 < (𝑞↑2))
109	15, 22	ltnled 11280	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑁 < (𝑞↑2) ↔ ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
110	108, 109	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁)
111	110	expr 456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ 𝑁 → ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
112	111	con2d 134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
113	112	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
114		isprm5 16634	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁)))
115	12, 113, 114	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ∀wral 3051 ∃wrex 3060 class class class wbr 5098 ‘cfv 6492 (class class class)co 7358 ℝcr 11025 0cc0 11026 1c1 11027 + caddc 11029 · cmul 11031 < clt 11166 ≤ cle 11167 − cmin 11364 / cdiv 11794 ℕcn 12145 2c2 12200 ℕ₀cn0 12401 ℤcz 12488 ℤ_≥cuz 12751 mod cmo 13789 ↑cexp 13984 ∥ cdvds 16179 gcd cgcd 16421 ℙcprime 16598 pCnt cpc 16764

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-rep 5224 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-cnex 11082 ax-resscn 11083 ax-1cn 11084 ax-icn 11085 ax-addcl 11086 ax-addrcl 11087 ax-mulcl 11088 ax-mulrcl 11089 ax-mulcom 11090 ax-addass 11091 ax-mulass 11092 ax-distr 11093 ax-i2m1 11094 ax-1ne0 11095 ax-1rid 11096 ax-rnegex 11097 ax-rrecex 11098 ax-cnre 11099 ax-pre-lttri 11100 ax-pre-lttrn 11101 ax-pre-ltadd 11102 ax-pre-mulgt0 11103 ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-op 4587 df-uni 4864 df-int 4903 df-iun 4948 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-1o 8397 df-2o 8398 df-oadd 8401 df-er 8635 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-sup 9345 df-inf 9346 df-dju 9813 df-card 9851 df-pnf 11168 df-mnf 11169 df-xr 11170 df-ltxr 11171 df-le 11172 df-sub 11366 df-neg 11367 df-div 11795 df-nn 12146 df-2 12208 df-3 12209 df-n0 12402 df-xnn0 12475 df-z 12489 df-uz 12752 df-q 12862 df-rp 12906 df-fz 13424 df-fzo 13571 df-fl 13712 df-mod 13790 df-seq 13925 df-exp 13985 df-hash 14254 df-cj 15022 df-re 15023 df-im 15024 df-sqrt 15158 df-abs 15159 df-dvds 16180 df-gcd 16422 df-prm 16599 df-odz 16692 df-phi 16693 df-pc 16765

This theorem is referenced by: pockthi 16835 proththd 47860

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