MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pockthg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pockthg 16785
Description: The generalized Pocklington's theorem. If ๐‘ โˆ’ 1 = ๐ด ยท ๐ต where ๐ต < ๐ด, then ๐‘ is prime if and only if for every prime factor ๐‘ of ๐ด, there is an ๐‘ฅ such that ๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1) = 1( mod ๐‘) and gcd (๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) โˆ’ 1, ๐‘) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
pockthg.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
pockthg.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ด)
pockthg.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
pockthg.5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)))
Assertion
Ref Expression
pockthg (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘   ๐ด,๐‘,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘)

Proof of Theorem pockthg
Dummy variable ๐‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthg.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
2 pockthg.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
3 pockthg.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
42, 3nnmulcld 12213 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
5 nnuz 12813 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
64, 5eleqtrdi 2848 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
7 eluzp1p1 12798 . . . . 5 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
86, 7syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
9 df-2 12223 . . . . 5 2 = (1 + 1)
109fveq2i 6850 . . . 4 (โ„คโ‰ฅโ€˜2) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))
118, 10eleqtrrdi 2849 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
121, 11eqeltrd 2838 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
13 eluzelre 12781 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1514adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
162nnred 12175 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1716resqcld 14037 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
1817adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
19 prmnn 16557 . . . . . . . . . 10 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•)
2019ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•)
2120nnred 12175 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„)
2221resqcld 14037 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘žโ†‘2) โˆˆ โ„)
23 pockthg.3 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ด)
243nnred 12175 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
252nngt0d 12209 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
26 ltmul2 12013 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ต < ๐ด โ†” (๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด)))
2724, 16, 16, 25, 26syl112anc 1375 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < ๐ด โ†” (๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด)))
2823, 27mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด))
292, 2nnmulcld 12213 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„•)
30 nnltp1le 12566 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„• โˆง (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด) โ†” ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ‰ค (๐ด ยท ๐ด)))
314, 29, 30syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด) โ†” ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ‰ค (๐ด ยท ๐ด)))
3228, 31mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ‰ค (๐ด ยท ๐ด))
332nncnd 12176 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3433sqvald 14055 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
3532, 1, 343brtr4d 5142 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐ดโ†‘2))
3635adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐ดโ†‘2))
37 pockthg.5 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)))
3837adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)))
39 prmnn 16557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4039ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4140nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4241exp1d 14053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘1) = ๐‘)
43 nnge1 12188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด))
4443ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด))
45 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
462nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
48 1nn0 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 โˆˆ โ„•0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
50 pcdvdsb 16748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด) โ†” (๐‘โ†‘1) โˆฅ ๐ด))
5145, 47, 49, 50syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด) โ†” (๐‘โ†‘1) โˆฅ ๐ด))
5244, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘1) โˆฅ ๐ด)
5342, 52eqbrtrrd 5134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐ด)
54 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐œ‘)
5554, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
5654, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
5754, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐ต < ๐ด)
5854, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ = ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
59 simpl2l 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„™)
60 simpl2r 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ž โˆฅ ๐‘)
61 simpl3l 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
62 simpl3r 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)
63 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
64 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1)
65 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)
6655, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65pockthlem 16784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))
6766rexlimdvaa 3154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
68673expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
6953, 68embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
7069expr 458 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))))
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
72 prmuz2 16579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ž โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
73 uz2m1nn 12855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ž โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7574ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
76 pccl 16728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
7771, 75, 76syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
7877nn0ge0d 12483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))
79 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ pCnt ๐ด) = 0 โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)) โ†” 0 โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
8078, 79syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) = 0 โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
8180a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) = 0 โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))))
82 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
832ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
8482, 83pccld 16729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0)
85 elnn0 12422 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘ pCnt ๐ด) = 0))
8684, 85sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘ pCnt ๐ด) = 0))
8770, 81, 86mpjaod 859 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
8887ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
8938, 88mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))
9075nnzd 12533 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
91 pc2dvds 16758 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
9246, 90, 91syl2an2r 684 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
9389, 92mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1))
94 dvdsle 16199 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1)))
9546, 75, 94syl2an2r 684 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1)))
9693, 95mpd 15 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1))
972nnnn0d 12480 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
9820nnnn0d 12480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•0)
99 nn0ltlem1 12570 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด < ๐‘ž โ†” ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1)))
10097, 98, 99syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ด < ๐‘ž โ†” ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1)))
10196, 100mpbird 257 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด < ๐‘ž)
10216adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10397nn0ge0d 12483 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
104103adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
10598nn0ge0d 12483 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ž)
106102, 21, 104, 105lt2sqd 14166 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ด < ๐‘ž โ†” (๐ดโ†‘2) < (๐‘žโ†‘2)))
107101, 106mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘2) < (๐‘žโ†‘2))
10815, 18, 22, 36, 107lelttrd 11320 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ < (๐‘žโ†‘2))
10915, 22ltnled 11309 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ < (๐‘žโ†‘2) โ†” ยฌ (๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
110108, 109mpbid 231 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ยฌ (๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘)
111110expr 458 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โ†’ ยฌ (๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
112111con2d 134 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ž โˆฅ ๐‘))
113112ralrimiva 3144 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ โ„™ ((๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ž โˆฅ ๐‘))
114 isprm5 16590 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ž โˆˆ โ„™ ((๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ž โˆฅ ๐‘)))
11512, 113, 114sylanbrc 584 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770   mod cmo 13781  โ†‘cexp 13974   โˆฅ cdvds 16143   gcd cgcd 16381  โ„™cprime 16554   pCnt cpc 16715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-odz 16644  df-phi 16645  df-pc 16716
This theorem is referenced by:  pockthi  16786  proththd  45880
  Copyright terms: Public domain W3C validator