pockthg - Metamath Proof Explorer

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Theorem pockthg 16954

Description: The generalized Pocklington's theorem. If 𝑁 − 1 = 𝐴 · 𝐵 where 𝐵 < 𝐴, then 𝑁 is prime if and only if for every prime factor 𝑝 of 𝐴, there is an 𝑥 such that 𝑥↑(𝑁 − 1) = 1( mod 𝑁) and gcd (𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝) − 1, 𝑁) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
pockthg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
pockthg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐴)
pockthg.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
pockthg.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
pockthg	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)

Distinct variable groups: 𝑥,𝑝,𝑁 𝐴,𝑝,𝑥 𝜑,𝑝,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem pockthg Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthg.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
2		pockthg.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		pockthg.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4	2, 3	nnmulcld 12277	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
5		nnuz 12889	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
6	4, 5	eleqtrdi 2875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1))
7		eluzp1p1 12878	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
9		df-2 12291	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
10	9	fveq2i 6874	. . . 4 ⊢ (ℤ_≥‘2) = (ℤ_≥‘(1 + 1))
11	8, 10	eleqtrrdi 2876	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
12	1, 11	eqeltrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
13		eluzelre 12861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
15	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
16	2	nnred 12236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	resqcld 14149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
18	17	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19		prmnn 16720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
20	19	ad2antrl 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑞 ∈ ℕ)
21	20	nnred 12236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑞 ∈ ℝ)
22	21	resqcld 14149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑞↑2) ∈ ℝ)
23		pockthg.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐴)
24	3	nnred 12236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
25	2	nngt0d 12273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
26		ltmul2 12054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
27	24, 16, 16, 25, 26	syl112anc 1397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
28	23, 27	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))
29	2, 2	nnmulcld 12277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ)
30		nnltp1le 12640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ↔ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴)))
31	4, 29, 30	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ↔ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴)))
32	28, 31	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴))
33	2	nncnd 12237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
34	33	sqvald 14167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
35	32, 1, 34	3brtr4d 5136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐴↑2))
36	35	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝐴↑2))
37		pockthg.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
38	37	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
39		prmnn 16720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
40	39	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
41	40	nncnd 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
42	41	exp1d 14165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) = 𝑝)
43		nnge1 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
44	43	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
45		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
46	2	nnzd 12605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
47	46	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
48		1nn0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℕ₀)
50		pcdvdsb 16917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ₀) → (1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
51	45, 47, 49, 50	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
52	44, 51	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) ∥ 𝐴)
53	42, 52	eqbrtrrd 5128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∥ 𝐴)
54		simpl1 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝜑)
55	54, 2	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐴 ∈ ℕ)
56	54, 3	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐵 ∈ ℕ)
57	54, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐵 < 𝐴)
58	54, 1	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
59		simpl2l 1243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑞 ∈ ℙ)
60		simpl2r 1244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑞 ∥ 𝑁)
61		simpl3l 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑝 ∈ ℙ)
62		simpl3r 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
63		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
64		simprrl 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → ((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
65		simprrr 793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
66	55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65	pockthlem 16953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
67	66	rexlimdvaa 3167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
68	67	3expa 1134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
69	53, 68	embantd 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
70	69	expr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))))
71		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
72		prmuz2 16742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ_≥‘2))
73		uz2m1nn 12935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
74	72, 73	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
75	74	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
76		pccl 16897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ∈ ℕ₀)
77	71, 75, 76	syl2anr 608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ∈ ℕ₀)
78	77	nn0ge0d 12556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
79		breq1 5107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ↔ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
80	78, 79	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
81	80	a1dd 51	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))))
82		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
83	2	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
84	82, 83	pccld 16898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀)
85		elnn0 12494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
86	84, 85	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
87	70, 81, 86	mpjaod 873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
88	87	ralimdva 3177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
89	38, 88	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
90	75	nnzd 12605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑞 − 1) ∈ ℤ)
91		pc2dvds 16927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
92	46, 90, 91	syl2an2r 697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
93	89, 92	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ∥ (𝑞 − 1))
94		dvdsle 16356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
95	46, 75, 94	syl2an2r 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
96	93, 95	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1))
97	2	nnnn0d 12553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ₀)
98	20	nnnn0d 12553	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑞 ∈ ℕ₀)
99		nn0ltlem1 12644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑞 ∈ ℕ₀) → (𝐴 < 𝑞 ↔ 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
100	97, 98, 99	syl2an2r 697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 < 𝑞 ↔ 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
101	96, 100	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 < 𝑞)
102	16	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
103	97	nn0ge0d 12556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
104	103	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ 𝐴)
105	98	nn0ge0d 12556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ 𝑞)
106	102, 21, 104, 105	lt2sqd 14280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 < 𝑞 ↔ (𝐴↑2) < (𝑞↑2)))
107	101, 106	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴↑2) < (𝑞↑2))
108	15, 18, 22, 36, 107	lelttrd 11356	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑁 < (𝑞↑2))
109	15, 22	ltnled 11345	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑁 < (𝑞↑2) ↔ ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
110	108, 109	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁)
111	110	expr 461	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ 𝑁 → ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
112	111	con2d 135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
113	112	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
114		isprm5 16754	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁)))
115	12, 113, 114	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∨ wo 860 ∧ w3a 1101 = wceq 1563 ∈ wcel 2145 ∀wral 3079 ∃wrex 3089 class class class wbr 5104 ‘cfv 6525 (class class class)co 7400 ℝcr 11087 0cc0 11088 1c1 11089 + caddc 11091 · cmul 11093 < clt 11231 ≤ cle 11232 − cmin 11429 / cdiv 11859 ℕcn 12221 2c2 12283 ℕ₀cn0 12492 ℤcz 12579 ℤ_≥cuz 12850 mod cmo 13890 ↑cexp 14085 ∥ cdvds 16298 gcd cgcd 16540 ℙcprime 16717 pCnt cpc 16884

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1818 ax-4 1832 ax-5 1933 ax-6 1990 ax-7 2031 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2215 ax-ext 2737 ax-rep 5231 ax-sep 5250 ax-nul 5260 ax-pow 5326 ax-pr 5394 ax-un 7722 ax-cnex 11144 ax-resscn 11145 ax-1cn 11146 ax-icn 11147 ax-addcl 11148 ax-addrcl 11149 ax-mulcl 11150 ax-mulrcl 11151 ax-mulcom 11152 ax-addass 11153 ax-mulass 11154 ax-distr 11155 ax-i2m1 11156 ax-1ne0 11157 ax-1rid 11158 ax-rnegex 11159 ax-rrecex 11160 ax-cnre 11161 ax-pre-lttri 11162 ax-pre-lttrn 11163 ax-pre-ltadd 11164 ax-pre-mulgt0 11165 ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1102 df-3an 1103 df-tru 1566 df-fal 1576 df-ex 1803 df-nf 1807 df-sb 2094 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3418 df-v 3459 df-sbc 3748 df-csb 3856 df-dif 3910 df-un 3912 df-in 3914 df-ss 3924 df-pss 3927 df-nul 4289 df-if 4484 df-pw 4560 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5105 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6291 df-ord 6352 df-on 6353 df-lim 6354 df-suc 6355 df-iota 6481 df-fun 6527 df-fn 6528 df-f 6529 df-f1 6530 df-fo 6531 df-f1o 6532 df-fv 6533 df-riota 7357 df-ov 7403 df-oprab 7404 df-mpo 7405 df-om 7851 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8346 df-rdg 8385 df-1o 8441 df-2o 8442 df-oadd 8445 df-er 8682 df-en 8932 df-dom 8933 df-sdom 8934 df-fin 8935 df-sup 9390 df-inf 9391 df-dju 9875 df-card 9913 df-pnf 11233 df-mnf 11234 df-xr 11235 df-ltxr 11236 df-le 11237 df-sub 11431 df-neg 11432 df-div 11860 df-nn 12222 df-2 12291 df-3 12292 df-n0 12493 df-xnn0 12566 df-z 12580 df-uz 12851 df-q 12961 df-rp 13005 df-fz 13524 df-fzo 13671 df-fl 13813 df-mod 13891 df-seq 14026 df-exp 14086 df-hash 14355 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-sqrt 15274 df-abs 15275 df-dvds 16299 df-gcd 16541 df-prm 16718 df-odz 16812 df-phi 16813 df-pc 16885

This theorem is referenced by: pockthi 16955 proththd 48222

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