pockthg - Metamath Proof Explorer

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Theorem pockthg 16244

Description: The generalized Pocklington's theorem. If 𝑁 − 1 = 𝐴 · 𝐵 where 𝐵 < 𝐴, then 𝑁 is prime if and only if for every prime factor 𝑝 of 𝐴, there is an 𝑥 such that 𝑥↑(𝑁 − 1) = 1( mod 𝑁) and gcd (𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝) − 1, 𝑁) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
pockthg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
pockthg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐴)
pockthg.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
pockthg.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
pockthg	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)

Distinct variable groups: 𝑥,𝑝,𝑁 𝐴,𝑝,𝑥 𝜑,𝑝,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem pockthg Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthg.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
2		pockthg.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		pockthg.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4	2, 3	nnmulcld 11693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
5		nnuz 12284	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
6	4, 5	eleqtrdi 2925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1))
7		eluzp1p1 12273	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
9		df-2 11703	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
10	9	fveq2i 6675	. . . 4 ⊢ (ℤ_≥‘2) = (ℤ_≥‘(1 + 1))
11	8, 10	eleqtrrdi 2926	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
12	1, 11	eqeltrd 2915	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
13		eluzelre 12257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
15	14	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
16	2	nnred 11655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	resqcld 13614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
18	17	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19		prmnn 16020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
20	19	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑞 ∈ ℕ)
21	20	nnred 11655	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑞 ∈ ℝ)
22	21	resqcld 13614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑞↑2) ∈ ℝ)
23		pockthg.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐴)
24	3	nnred 11655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
25	2	nngt0d 11689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
26		ltmul2 11493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
27	24, 16, 16, 25, 26	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
28	23, 27	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))
29	2, 2	nnmulcld 11693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ)
30		nnltp1le 12041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ↔ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴)))
31	4, 29, 30	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ↔ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴)))
32	28, 31	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴))
33	2	nncnd 11656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
34	33	sqvald 13510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
35	32, 1, 34	3brtr4d 5100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐴↑2))
36	35	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝐴↑2))
37		pockthg.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
38	37	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
39		prmnn 16020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
40	39	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
41	40	nncnd 11656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
42	41	exp1d 13508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) = 𝑝)
43		nnge1 11668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
44	43	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
45		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
46	2	nnzd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
47	46	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
48		1nn0 11916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℕ₀)
50		pcdvdsb 16207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ₀) → (1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
51	45, 47, 49, 50	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
52	44, 51	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) ∥ 𝐴)
53	42, 52	eqbrtrrd 5092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∥ 𝐴)
54		simpl1 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝜑)
55	54, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐴 ∈ ℕ)
56	54, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐵 ∈ ℕ)
57	54, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐵 < 𝐴)
58	54, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
59		simpl2l 1222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑞 ∈ ℙ)
60		simpl2r 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑞 ∥ 𝑁)
61		simpl3l 1224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑝 ∈ ℙ)
62		simpl3r 1225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
63		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
64		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → ((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
65		simprrr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
66	55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65	pockthlem 16243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
67	66	rexlimdvaa 3287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
68	67	3expa 1114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
69	53, 68	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
70	69	expr 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))))
71		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
72		prmuz2 16042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ_≥‘2))
73		uz2m1nn 12326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
75	74	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
76		pccl 16188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ∈ ℕ₀)
77	71, 75, 76	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ∈ ℕ₀)
78	77	nn0ge0d 11961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
79		breq1 5071	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ↔ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
80	78, 79	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
81	80	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))))
82		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
83	2	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
84	82, 83	pccld 16189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀)
85		elnn0 11902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
86	84, 85	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
87	70, 81, 86	mpjaod 856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
88	87	ralimdva 3179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
89	38, 88	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
90	75	nnzd 12089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑞 − 1) ∈ ℤ)
91		pc2dvds 16217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
92	46, 90, 91	syl2an2r 683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
93	89, 92	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ∥ (𝑞 − 1))
94		dvdsle 15662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
95	46, 75, 94	syl2an2r 683	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
96	93, 95	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1))
97	2	nnnn0d 11958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ₀)
98	20	nnnn0d 11958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑞 ∈ ℕ₀)
99		nn0ltlem1 12045	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑞 ∈ ℕ₀) → (𝐴 < 𝑞 ↔ 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
100	97, 98, 99	syl2an2r 683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 < 𝑞 ↔ 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
101	96, 100	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 < 𝑞)
102	16	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
103	97	nn0ge0d 11961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
104	103	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ 𝐴)
105	98	nn0ge0d 11961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ 𝑞)
106	102, 21, 104, 105	lt2sqd 13622	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 < 𝑞 ↔ (𝐴↑2) < (𝑞↑2)))
107	101, 106	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴↑2) < (𝑞↑2))
108	15, 18, 22, 36, 107	lelttrd 10800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑁 < (𝑞↑2))
109	15, 22	ltnled 10789	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑁 < (𝑞↑2) ↔ ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
110	108, 109	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁)
111	110	expr 459	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ 𝑁 → ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
112	111	con2d 136	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
113	112	ralrimiva 3184	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
114		isprm5 16053	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁)))
115	12, 113, 114	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∨ wo 843 ∧ w3a 1083 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ∀wral 3140 ∃wrex 3141 class class class wbr 5068 ‘cfv 6357 (class class class)co 7158 ℝcr 10538 0cc0 10539 1c1 10540 + caddc 10542 · cmul 10544 < clt 10677 ≤ cle 10678 − cmin 10872 / cdiv 11299 ℕcn 11640 2c2 11695 ℕ₀cn0 11900 ℤcz 11984 ℤ_≥cuz 12246 mod cmo 13240 ↑cexp 13432 ∥ cdvds 15609 gcd cgcd 15845 ℙcprime 16017 pCnt cpc 16175

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2795 ax-rep 5192 ax-sep 5205 ax-nul 5212 ax-pow 5268 ax-pr 5332 ax-un 7463 ax-cnex 10595 ax-resscn 10596 ax-1cn 10597 ax-icn 10598 ax-addcl 10599 ax-addrcl 10600 ax-mulcl 10601 ax-mulrcl 10602 ax-mulcom 10603 ax-addass 10604 ax-mulass 10605 ax-distr 10606 ax-i2m1 10607 ax-1ne0 10608 ax-1rid 10609 ax-rnegex 10610 ax-rrecex 10611 ax-cnre 10612 ax-pre-lttri 10613 ax-pre-lttrn 10614 ax-pre-ltadd 10615 ax-pre-mulgt0 10616 ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2802 df-cleq 2816 df-clel 2895 df-nfc 2965 df-ne 3019 df-nel 3126 df-ral 3145 df-rex 3146 df-reu 3147 df-rmo 3148 df-rab 3149 df-v 3498 df-sbc 3775 df-csb 3886 df-dif 3941 df-un 3943 df-in 3945 df-ss 3954 df-pss 3956 df-nul 4294 df-if 4470 df-pw 4543 df-sn 4570 df-pr 4572 df-tp 4574 df-op 4576 df-uni 4841 df-int 4879 df-iun 4923 df-br 5069 df-opab 5131 df-mpt 5149 df-tr 5175 df-id 5462 df-eprel 5467 df-po 5476 df-so 5477 df-fr 5516 df-we 5518 df-xp 5563 df-rel 5564 df-cnv 5565 df-co 5566 df-dm 5567 df-rn 5568 df-res 5569 df-ima 5570 df-pred 6150 df-ord 6196 df-on 6197 df-lim 6198 df-suc 6199 df-iota 6316 df-fun 6359 df-fn 6360 df-f 6361 df-f1 6362 df-fo 6363 df-f1o 6364 df-fv 6365 df-riota 7116 df-ov 7161 df-oprab 7162 df-mpo 7163 df-om 7583 df-1st 7691 df-2nd 7692 df-wrecs 7949 df-recs 8010 df-rdg 8048 df-1o 8104 df-2o 8105 df-oadd 8108 df-er 8291 df-map 8410 df-en 8512 df-dom 8513 df-sdom 8514 df-fin 8515 df-sup 8908 df-inf 8909 df-dju 9332 df-card 9370 df-pnf 10679 df-mnf 10680 df-xr 10681 df-ltxr 10682 df-le 10683 df-sub 10874 df-neg 10875 df-div 11300 df-nn 11641 df-2 11703 df-3 11704 df-n0 11901 df-xnn0 11971 df-z 11985 df-uz 12247 df-q 12352 df-rp 12393 df-fz 12896 df-fzo 13037 df-fl 13165 df-mod 13241 df-seq 13373 df-exp 13433 df-hash 13694 df-cj 14460 df-re 14461 df-im 14462 df-sqrt 14596 df-abs 14597 df-dvds 15610 df-gcd 15846 df-prm 16018 df-odz 16104 df-phi 16105 df-pc 16176

This theorem is referenced by: pockthi 16245 proththd 43786

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