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Theorem pockthg 16232
 Description: The generalized Pocklington's theorem. If 𝑁 − 1 = 𝐴 · 𝐵 where 𝐵 < 𝐴, then 𝑁 is prime if and only if for every prime factor 𝑝 of 𝐴, there is an 𝑥 such that 𝑥↑(𝑁 − 1) = 1( mod 𝑁) and gcd (𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝) − 1, 𝑁) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
pockthg.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
pockthg.3 (𝜑𝐵 < 𝐴)
pockthg.4 (𝜑𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
pockthg.5 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
Assertion
Ref Expression
pockthg (𝜑𝑁 ∈ ℙ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑁   𝐴,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem pockthg
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthg.4 . . 3 (𝜑𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
2 pockthg.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
3 pockthg.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
42, 3nnmulcld 11678 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
5 nnuz 12269 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5eleqtrdi 2900 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ‘1))
7 eluzp1p1 12258 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ‘1) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
9 df-2 11688 . . . . 5 2 = (1 + 1)
109fveq2i 6648 . . . 4 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
118, 10eleqtrrdi 2901 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ‘2))
121, 11eqeltrd 2890 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
13 eluzelre 12242 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1514adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
162nnred 11640 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1716resqcld 13607 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
1817adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19 prmnn 16008 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
2019ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑞 ∈ ℕ)
2120nnred 11640 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑞 ∈ ℝ)
2221resqcld 13607 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝑞↑2) ∈ ℝ)
23 pockthg.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 < 𝐴)
243nnred 11640 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
252nngt0d 11674 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐴)
26 ltmul2 11480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
2724, 16, 16, 25, 26syl112anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
2823, 27mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))
292, 2nnmulcld 11678 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ)
30 nnltp1le 12026 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ↔ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴)))
314, 29, 30syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ↔ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴)))
3228, 31mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴))
332nncnd 11641 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3433sqvald 13503 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3532, 1, 343brtr4d 5062 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ≤ (𝐴↑2))
3635adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝐴↑2))
37 pockthg.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
3837adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
39 prmnn 16008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
4039ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
4140nncnd 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
4241exp1d 13501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) = 𝑝)
43 nnge1 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
4443ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
45 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
462nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
48 1nn0 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℕ0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℕ0)
50 pcdvdsb 16195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
5145, 47, 49, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
5244, 51mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) ∥ 𝐴)
5342, 52eqbrtrrd 5054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝𝐴)
54 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝜑)
5554, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐴 ∈ ℕ)
5654, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐵 ∈ ℕ)
5754, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐵 < 𝐴)
5854, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
59 simpl2l 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑞 ∈ ℙ)
60 simpl2r 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑞𝑁)
61 simpl3l 1225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑝 ∈ ℙ)
62 simpl3r 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
63 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
64 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → ((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
65 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
6655, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65pockthlem 16231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
6766rexlimdvaa 3244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
68673expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
6953, 68embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → ((𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
7069expr 460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))))
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
72 prmuz2 16030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ‘2))
73 uz2m1nn 12311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ (ℤ‘2) → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
7574ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
76 pccl 16176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ∈ ℕ0)
7771, 75, 76syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ∈ ℕ0)
7877nn0ge0d 11946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
79 breq1 5033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ↔ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
8078, 79syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
8180a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → ((𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))))
82 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
832ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
8482, 83pccld 16177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
85 elnn0 11887 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
8684, 85sylib 221 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
8770, 81, 86mpjaod 857 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
8887ralimdva 3144 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
8938, 88mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
9075nnzd 12074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝑞 − 1) ∈ ℤ)
91 pc2dvds 16205 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
9246, 90, 91syl2an2r 684 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
9389, 92mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝐴 ∥ (𝑞 − 1))
94 dvdsle 15652 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
9546, 75, 94syl2an2r 684 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
9693, 95mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1))
972nnnn0d 11943 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
9820nnnn0d 11943 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑞 ∈ ℕ0)
99 nn0ltlem1 12030 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝑞𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
10097, 98, 99syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝐴 < 𝑞𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
10196, 100mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝐴 < 𝑞)
10216adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10397nn0ge0d 11946 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
104103adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 0 ≤ 𝐴)
10598nn0ge0d 11946 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 0 ≤ 𝑞)
106102, 21, 104, 105lt2sqd 13615 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝐴 < 𝑞 ↔ (𝐴↑2) < (𝑞↑2)))
107101, 106mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝐴↑2) < (𝑞↑2))
10815, 18, 22, 36, 107lelttrd 10787 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑁 < (𝑞↑2))
10915, 22ltnled 10776 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝑁 < (𝑞↑2) ↔ ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
110108, 109mpbid 235 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁)
111110expr 460 . . . 4 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞𝑁 → ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
112111con2d 136 . . 3 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞𝑁))
113112ralrimiva 3149 . 2 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞𝑁))
114 isprm5 16041 . 2 (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞𝑁)))
11512, 113, 114sylanbrc 586 1 (𝜑𝑁 ∈ ℙ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ0cn0 11885  ℤcz 11969  ℤ≥cuz 12231   mod cmo 13232  ↑cexp 13425   ∥ cdvds 15599   gcd cgcd 15833  ℙcprime 16005   pCnt cpc 16163 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-odz 16092  df-phi 16093  df-pc 16164 This theorem is referenced by:  pockthi  16233  proththd  44127
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