MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pockthg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pockthg 16835
Description: The generalized Pocklington's theorem. If ๐‘ โˆ’ 1 = ๐ด ยท ๐ต where ๐ต < ๐ด, then ๐‘ is prime if and only if for every prime factor ๐‘ of ๐ด, there is an ๐‘ฅ such that ๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1) = 1( mod ๐‘) and gcd (๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) โˆ’ 1, ๐‘) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
pockthg.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
pockthg.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ด)
pockthg.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
pockthg.5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)))
Assertion
Ref Expression
pockthg (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘   ๐ด,๐‘,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘)

Proof of Theorem pockthg
Dummy variable ๐‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthg.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
2 pockthg.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
3 pockthg.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
42, 3nnmulcld 12261 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
5 nnuz 12861 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
64, 5eleqtrdi 2843 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
7 eluzp1p1 12846 . . . . 5 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
86, 7syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
9 df-2 12271 . . . . 5 2 = (1 + 1)
109fveq2i 6891 . . . 4 (โ„คโ‰ฅโ€˜2) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))
118, 10eleqtrrdi 2844 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
121, 11eqeltrd 2833 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
13 eluzelre 12829 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
162nnred 12223 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1716resqcld 14086 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
1817adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
19 prmnn 16607 . . . . . . . . . 10 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•)
2019ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•)
2120nnred 12223 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„)
2221resqcld 14086 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘žโ†‘2) โˆˆ โ„)
23 pockthg.3 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ด)
243nnred 12223 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
252nngt0d 12257 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
26 ltmul2 12061 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ต < ๐ด โ†” (๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด)))
2724, 16, 16, 25, 26syl112anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < ๐ด โ†” (๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด)))
2823, 27mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด))
292, 2nnmulcld 12261 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„•)
30 nnltp1le 12614 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„• โˆง (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด) โ†” ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ‰ค (๐ด ยท ๐ด)))
314, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด) โ†” ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ‰ค (๐ด ยท ๐ด)))
3228, 31mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ‰ค (๐ด ยท ๐ด))
332nncnd 12224 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3433sqvald 14104 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
3532, 1, 343brtr4d 5179 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐ดโ†‘2))
3635adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐ดโ†‘2))
37 pockthg.5 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)))
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)))
39 prmnn 16607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4039ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4140nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4241exp1d 14102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘1) = ๐‘)
43 nnge1 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด))
4443ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด))
45 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
462nnzd 12581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4746ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
48 1nn0 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 โˆˆ โ„•0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
50 pcdvdsb 16798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด) โ†” (๐‘โ†‘1) โˆฅ ๐ด))
5145, 47, 49, 50syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด) โ†” (๐‘โ†‘1) โˆฅ ๐ด))
5244, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘1) โˆฅ ๐ด)
5342, 52eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐ด)
54 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐œ‘)
5554, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
5654, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
5754, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐ต < ๐ด)
5854, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ = ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
59 simpl2l 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„™)
60 simpl2r 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ž โˆฅ ๐‘)
61 simpl3l 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
62 simpl3r 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)
63 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
64 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1)
65 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)
6655, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65pockthlem 16834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))
6766rexlimdvaa 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
68673expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
6953, 68embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
7069expr 457 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))))
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
72 prmuz2 16629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ž โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
73 uz2m1nn 12903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ž โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7574ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
76 pccl 16778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
7771, 75, 76syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
7877nn0ge0d 12531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))
79 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ pCnt ๐ด) = 0 โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)) โ†” 0 โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
8078, 79syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) = 0 โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
8180a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) = 0 โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))))
82 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
832ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
8482, 83pccld 16779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0)
85 elnn0 12470 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘ pCnt ๐ด) = 0))
8684, 85sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘ pCnt ๐ด) = 0))
8770, 81, 86mpjaod 858 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
8887ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
8938, 88mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))
9075nnzd 12581 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
91 pc2dvds 16808 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
9246, 90, 91syl2an2r 683 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
9389, 92mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1))
94 dvdsle 16249 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1)))
9546, 75, 94syl2an2r 683 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1)))
9693, 95mpd 15 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1))
972nnnn0d 12528 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
9820nnnn0d 12528 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•0)
99 nn0ltlem1 12618 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด < ๐‘ž โ†” ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1)))
10097, 98, 99syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ด < ๐‘ž โ†” ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1)))
10196, 100mpbird 256 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด < ๐‘ž)
10216adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10397nn0ge0d 12531 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
104103adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
10598nn0ge0d 12531 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ž)
106102, 21, 104, 105lt2sqd 14215 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ด < ๐‘ž โ†” (๐ดโ†‘2) < (๐‘žโ†‘2)))
107101, 106mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘2) < (๐‘žโ†‘2))
10815, 18, 22, 36, 107lelttrd 11368 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ < (๐‘žโ†‘2))
10915, 22ltnled 11357 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ < (๐‘žโ†‘2) โ†” ยฌ (๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
110108, 109mpbid 231 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ยฌ (๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘)
111110expr 457 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โ†’ ยฌ (๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
112111con2d 134 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ž โˆฅ ๐‘))
113112ralrimiva 3146 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ โ„™ ((๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ž โˆฅ ๐‘))
114 isprm5 16640 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ž โˆˆ โ„™ ((๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ž โˆฅ ๐‘)))
11512, 113, 114sylanbrc 583 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  2c2 12263  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ„คโ‰ฅcuz 12818   mod cmo 13830  โ†‘cexp 14023   โˆฅ cdvds 16193   gcd cgcd 16431  โ„™cprime 16604   pCnt cpc 16765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-odz 16694  df-phi 16695  df-pc 16766
This theorem is referenced by:  pockthi  16836  proththd  46268
  Copyright terms: Public domain W3C validator