MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pockthg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pockthg 16882
Description: The generalized Pocklington's theorem. If ๐‘ โˆ’ 1 = ๐ด ยท ๐ต where ๐ต < ๐ด, then ๐‘ is prime if and only if for every prime factor ๐‘ of ๐ด, there is an ๐‘ฅ such that ๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1) = 1( mod ๐‘) and gcd (๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) โˆ’ 1, ๐‘) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
pockthg.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
pockthg.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ด)
pockthg.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
pockthg.5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)))
Assertion
Ref Expression
pockthg (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘   ๐ด,๐‘,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘)

Proof of Theorem pockthg
Dummy variable ๐‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthg.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
2 pockthg.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
3 pockthg.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
42, 3nnmulcld 12303 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
5 nnuz 12903 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
64, 5eleqtrdi 2839 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
7 eluzp1p1 12888 . . . . 5 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
86, 7syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
9 df-2 12313 . . . . 5 2 = (1 + 1)
109fveq2i 6905 . . . 4 (โ„คโ‰ฅโ€˜2) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))
118, 10eleqtrrdi 2840 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
121, 11eqeltrd 2829 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
13 eluzelre 12871 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1514adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
162nnred 12265 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1716resqcld 14129 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
1817adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
19 prmnn 16652 . . . . . . . . . 10 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•)
2019ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•)
2120nnred 12265 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„)
2221resqcld 14129 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘žโ†‘2) โˆˆ โ„)
23 pockthg.3 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ด)
243nnred 12265 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
252nngt0d 12299 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
26 ltmul2 12103 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ต < ๐ด โ†” (๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด)))
2724, 16, 16, 25, 26syl112anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < ๐ด โ†” (๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด)))
2823, 27mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด))
292, 2nnmulcld 12303 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„•)
30 nnltp1le 12656 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„• โˆง (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด) โ†” ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ‰ค (๐ด ยท ๐ด)))
314, 29, 30syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด) โ†” ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ‰ค (๐ด ยท ๐ด)))
3228, 31mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ‰ค (๐ด ยท ๐ด))
332nncnd 12266 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3433sqvald 14147 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
3532, 1, 343brtr4d 5184 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐ดโ†‘2))
3635adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐ดโ†‘2))
37 pockthg.5 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)))
3837adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)))
39 prmnn 16652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4039ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4140nncnd 12266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4241exp1d 14145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘1) = ๐‘)
43 nnge1 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด))
4443ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด))
45 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
462nnzd 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4746ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
48 1nn0 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 โˆˆ โ„•0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
50 pcdvdsb 16845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด) โ†” (๐‘โ†‘1) โˆฅ ๐ด))
5145, 47, 49, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด) โ†” (๐‘โ†‘1) โˆฅ ๐ด))
5244, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘1) โˆฅ ๐ด)
5342, 52eqbrtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐ด)
54 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐œ‘)
5554, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
5654, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
5754, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐ต < ๐ด)
5854, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ = ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
59 simpl2l 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„™)
60 simpl2r 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ž โˆฅ ๐‘)
61 simpl3l 1225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
62 simpl3r 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)
63 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
64 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1)
65 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)
6655, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65pockthlem 16881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))
6766rexlimdvaa 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
68673expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
6953, 68embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
7069expr 455 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))))
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
72 prmuz2 16674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ž โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
73 uz2m1nn 12945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ž โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7574ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
76 pccl 16825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
7771, 75, 76syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
7877nn0ge0d 12573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))
79 breq1 5155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ pCnt ๐ด) = 0 โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)) โ†” 0 โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
8078, 79syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) = 0 โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
8180a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) = 0 โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))))
82 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
832ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
8482, 83pccld 16826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0)
85 elnn0 12512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘ pCnt ๐ด) = 0))
8684, 85sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘ pCnt ๐ด) = 0))
8770, 81, 86mpjaod 858 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
8887ralimdva 3164 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
8938, 88mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))
9075nnzd 12623 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
91 pc2dvds 16855 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
9246, 90, 91syl2an2r 683 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
9389, 92mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1))
94 dvdsle 16294 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1)))
9546, 75, 94syl2an2r 683 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1)))
9693, 95mpd 15 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1))
972nnnn0d 12570 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
9820nnnn0d 12570 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•0)
99 nn0ltlem1 12660 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด < ๐‘ž โ†” ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1)))
10097, 98, 99syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ด < ๐‘ž โ†” ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1)))
10196, 100mpbird 256 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด < ๐‘ž)
10216adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10397nn0ge0d 12573 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
104103adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
10598nn0ge0d 12573 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ž)
106102, 21, 104, 105lt2sqd 14258 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ด < ๐‘ž โ†” (๐ดโ†‘2) < (๐‘žโ†‘2)))
107101, 106mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘2) < (๐‘žโ†‘2))
10815, 18, 22, 36, 107lelttrd 11410 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ < (๐‘žโ†‘2))
10915, 22ltnled 11399 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ < (๐‘žโ†‘2) โ†” ยฌ (๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
110108, 109mpbid 231 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ยฌ (๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘)
111110expr 455 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โ†’ ยฌ (๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
112111con2d 134 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ž โˆฅ ๐‘))
113112ralrimiva 3143 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ โ„™ ((๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ž โˆฅ ๐‘))
114 isprm5 16685 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ž โˆˆ โ„™ ((๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ž โˆฅ ๐‘)))
11512, 113, 114sylanbrc 581 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  2c2 12305  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  โ„คโ‰ฅcuz 12860   mod cmo 13874  โ†‘cexp 14066   โˆฅ cdvds 16238   gcd cgcd 16476  โ„™cprime 16649   pCnt cpc 16812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650  df-odz 16741  df-phi 16742  df-pc 16813
This theorem is referenced by:  pockthi  16883  proththd  46983
  Copyright terms: Public domain W3C validator