Theorem midwwlks2s3 29928

Description: There is a vertex between the endpoints of a walk of length 2 between two vertices as length 3 string. (Contributed by AV, 10-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
elwwlks2s3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
midwwlks2s3	⊢ (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊‘1) = 𝑏)

Distinct variable groups:   𝑉,𝑏   𝑊,𝑏

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑏)

Proof of Theorem midwwlks2s3

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elwwlks2s3.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	elwwlks2s3 29927	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
3		fveq1 6821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → (𝑊‘1) = (⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩‘1))
4		s3fv1 14796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩‘1) = 𝑏)
5	3, 4	sylan9eqr 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) → (𝑊‘1) = 𝑏)
6	5	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑉 → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → (𝑊‘1) = 𝑏))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → (𝑊‘1) = 𝑏))
8	7	rexlimdvw 3138	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → (𝑊‘1) = 𝑏))
9	8	reximdva 3145	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → (∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊‘1) = 𝑏))
10	9	rexlimiv 3126	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊‘1) = 𝑏)
11	2, 10	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊‘1) = 𝑏)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1c1 11004  2c2 12177  ⟨“cs3 14746  Vtxcvtx 28972   WWalksN cwwlksn 29802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-hash 14235  df-word 14418  df-concat 14475  df-s1 14501  df-s2 14752  df-s3 14753  df-wwlks 29806  df-wwlksn 29807

This theorem is referenced by:  fusgreg2wsp  30311