Theorem fusgreg2wsp 30269

Description: In a finite simple graph, the set of all paths of length 2 is the union of all the paths of length 2 over the vertices which are in the middle of such a path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.) (Revised by AV, 18-May-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrhash2wsp.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgreg2wsp.m	⊢ 𝑀 = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑤 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑤‘1) = 𝑎})

Assertion

Ref	Expression
fusgreg2wsp	⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑎   𝑉,𝑎   𝑤,𝐺,𝑎,𝑥   𝑥,𝑉,𝑎   𝑥,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑤,𝑎)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem fusgreg2wsp

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wspthsswwlkn 29852	. . . . . . . 8 ⊢ (2 WSPathsN 𝐺) ⊆ (2 WWalksN 𝐺)
2	1	sseli 3975	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) → 𝑝 ∈ (2 WWalksN 𝐺))
3		frgrhash2wsp.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	midwwlks2s3 29886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥)
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥))
7	6	pm4.71rd 561	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺))))
8		ancom 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ ((𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)))
9	8	rexbii 3084	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)))
10		r19.41v 3179	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)))
11	9, 10	bitr2i 275	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥))
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ((∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥)))
13		fusgreg2wsp.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑤 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑤‘1) = 𝑎})
14	3, 13	fusgreg2wsplem 30266	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥) ↔ (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥)))
15	14	bicomd 222	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥)))
16	15	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥)))
17	16	rexbidva 3167	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥)))
18	7, 12, 17	3bitrd 304	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥)))
19		eliun 5005	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥))
20	18, 19	bitr4di 288	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘𝑥)))
21	20	eqrdv 2724	1 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3060  {crab 3419  ∪ ciun 5001   ↦ cmpt 5236  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  1c1 11159  2c2 12319  Vtxcvtx 28932  FinUSGraphcfusgr 29252   WWalksN cwwlksn 29760   WSPathsN cwwspthsn 29762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-concat 14579  df-s1 14604  df-s2 14857  df-s3 14858  df-wwlks 29764  df-wwlksn 29765  df-wspthsn 29767

This theorem is referenced by:  fusgreghash2wsp  30271