Theorem fusgreg2wsp 27807

Description: In a finite simple graph, the set of all paths of length 2 is the union of all the paths of length 2 over the vertices which are in the middle of such a path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.) (Revised by AV, 18-May-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrhash2wsp.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgreg2wsp.m	⊢ 𝑀 = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑤 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑤‘1) = 𝑎})

Assertion

Ref	Expression
fusgreg2wsp	⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑎   𝑉,𝑎   𝑤,𝐺,𝑎,𝑥   𝑥,𝑉,𝑎   𝑥,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑤,𝑎)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem fusgreg2wsp

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wspthsswwlkn 27384	. . . . . . . 8 ⊢ (2 WSPathsN 𝐺) ⊆ (2 WWalksN 𝐺)
2	1	sseli 3885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) → 𝑝 ∈ (2 WWalksN 𝐺))
3		frgrhash2wsp.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	midwwlks2s3 27418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥)
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥))
7	6	pm4.71rd 563	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺))))
8		ancom 461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ ((𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)))
9	8	rexbii 3211	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)))
10		r19.41v 3308	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)))
11	9, 10	bitr2i 277	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥))
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ((∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥)))
13		fusgreg2wsp.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑤 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑤‘1) = 𝑎})
14	3, 13	fusgreg2wsplem 27804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥) ↔ (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥)))
15	14	bicomd 224	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥)))
16	15	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥)))
17	16	rexbidva 3259	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥)))
18	7, 12, 17	3bitrd 306	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥)))
19		eliun 4829	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥))
20	18, 19	syl6bbr 290	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘𝑥)))
21	20	eqrdv 2793	1 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∃wrex 3106  {crab 3109  ∪ ciun 4825   ↦ cmpt 5041  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  1c1 10384  2c2 11540  Vtxcvtx 26464  FinUSGraphcfusgr 26781   WWalksN cwwlksn 27291   WSPathsN cwwspthsn 27293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-hash 13541  df-word 13708  df-concat 13769  df-s1 13794  df-s2 14046  df-s3 14047  df-wwlks 27295  df-wwlksn 27296  df-wspthsn 27298

This theorem is referenced by:  fusgreghash2wsp  27809