Theorem fusgreg2wsp 30355

Description: In a finite simple graph, the set of all paths of length 2 is the union of all the paths of length 2 over the vertices which are in the middle of such a path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.) (Revised by AV, 18-May-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrhash2wsp.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgreg2wsp.m	⊢ 𝑀 = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑤 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑤‘1) = 𝑎})

Assertion

Ref	Expression
fusgreg2wsp	⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑎   𝑉,𝑎   𝑤,𝐺,𝑎,𝑥   𝑥,𝑉,𝑎   𝑥,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑤,𝑎)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem fusgreg2wsp

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wspthsswwlkn 29938	. . . . . . . 8 ⊢ (2 WSPathsN 𝐺) ⊆ (2 WWalksN 𝐺)
2	1	sseli 3979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) → 𝑝 ∈ (2 WWalksN 𝐺))
3		frgrhash2wsp.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	midwwlks2s3 29972	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥)
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥))
7	6	pm4.71rd 562	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺))))
8		ancom 460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ ((𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)))
9	8	rexbii 3094	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)))
10		r19.41v 3189	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)))
11	9, 10	bitr2i 276	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥))
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ((∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥)))
13		fusgreg2wsp.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑤 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑤‘1) = 𝑎})
14	3, 13	fusgreg2wsplem 30352	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥) ↔ (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥)))
15	14	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥)))
16	15	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥)))
17	16	rexbidva 3177	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥)))
18	7, 12, 17	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥)))
19		eliun 4995	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥))
20	18, 19	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘𝑥)))
21	20	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  {crab 3436  ∪ ciun 4991   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156  2c2 12321  Vtxcvtx 29013  FinUSGraphcfusgr 29333   WWalksN cwwlksn 29846   WSPathsN cwwspthsn 29848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-wwlks 29850  df-wwlksn 29851  df-wspthsn 29853

This theorem is referenced by:  fusgreghash2wsp  30357