MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fusgreg2wsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fusgreg2wsp 29322
Description: In a finite simple graph, the set of all paths of length 2 is the union of all the paths of length 2 over the vertices which are in the middle of such a path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.) (Revised by AV, 18-May-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrhash2wsp.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgreg2wsp.m 𝑀 = (𝑎 ∈ 𝑉 ↩ {𝑀 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑀‘1) = 𝑎})
Assertion
Ref Expression
fusgreg2wsp (𝐺 ∈ FinUSGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘𝑥))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑎   𝑉,𝑎   𝑀,𝐺,𝑎,𝑥   𝑥,𝑉,𝑎   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑀,𝑎)   𝑉(𝑀)

Proof of Theorem fusgreg2wsp
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wspthsswwlkn 28905 . . . . . . . 8 (2 WSPathsN 𝐺) ⊆ (2 WWalksN 𝐺)
21sseli 3945 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) → 𝑝 ∈ (2 WWalksN 𝐺))
3 frgrhash2wsp.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43midwwlks2s3 28939 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥)
65a1i 11 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥))
76pm4.71rd 564 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺))))
8 ancom 462 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ ((𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)))
98rexbii 3098 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)))
10 r19.41v 3186 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)))
119, 10bitr2i 276 . . . . 5 ((∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥))
1211a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph → ((∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥 ∧ 𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥)))
13 fusgreg2wsp.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑎 ∈ 𝑉 ↩ {𝑀 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑀‘1) = 𝑎})
143, 13fusgreg2wsplem 29319 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥) ↔ (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥)))
1514bicomd 222 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝑉 → ((𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥)))
1615adantl 483 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥)))
1716rexbidva 3174 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥)))
187, 12, 173bitrd 305 . . 3 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥)))
19 eliun 4963 . . 3 (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑥))
2018, 19bitr4di 289 . 2 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘𝑥)))
2120eqrdv 2735 1 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  âˆƒwrex 3074  {crab 3410  âˆª ciun 4959   ↩ cmpt 5193  â€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1c1 11059  2c2 12215  Vtxcvtx 27989  FinUSGraphcfusgr 28306   WWalksN cwwlksn 28813   WSPathsN cwwspthsn 28815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-s2 14744  df-s3 14745  df-wwlks 28817  df-wwlksn 28818  df-wspthsn 28820
This theorem is referenced by:  fusgreghash2wsp  29324
  Copyright terms: Public domain W3C validator