Theorem elwwlks2s3 29714

Description: A walk of length 2 as word is a length 3 string. (Contributed by AV, 18-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
elwwlks2s3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
elwwlks2s3	⊢ (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem elwwlks2s3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknbp1 29607	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)))
2		elwwlks2s3.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	wrdeqi 14493	. . . . . 6 ⊢ Word 𝑉 = Word (Vtx‘𝐺)
4	3	eleq2i 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5		df-3 12280	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
6	5	eqeq2i 2739	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 ↔ (♯‘𝑊) = (2 + 1))
7	4, 6	anbi12i 626	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)))
8		wrdl3s3 14919	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
9	7, 8	sylbb1 236	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
10	9	3adant1 1127	. 2 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (2 + 1)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
11	1, 10	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113   + caddc 11115  2c2 12271  3c3 12272  ℕ₀cn0 12476  ♯chash 14295  Word cword 14470  ⟨“cs3 14799  Vtxcvtx 28764   WWalksN cwwlksn 29589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-wwlks 29593  df-wwlksn 29594

This theorem is referenced by:  midwwlks2s3  29715