Theorem wwlks2onv 28605

Description: If a length 3 string represents a walk of length 2, its components are vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wwlks2onv.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlks2onv	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem wwlks2onv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlks2onv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	wwlksonvtx 28507	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
3	2	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		simprl 769	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		wwlknon 28509	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
6		wwlknbp1 28496	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (2 ∈ ℕ0 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)))
7		s3fv1 14704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑈 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
8	7	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
9	8	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
10	1	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Vtx‘𝐺) = 𝑉
11	10	wrdeqi 14344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
12	11	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
13	12	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
14		1ex 11076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ V
15	14	tpid2 4722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
16		s3len 14706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
17	16	oveq2i 7352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = (0..^3)
18		fzo0to3tp 13578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
19	17, 18	eqtri 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = {0, 1, 2}
20	15, 19	eleqtrri 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))
21		wrdsymbcl 14334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
22	13, 20, 21	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
23	22	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
24	9, 23	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ 𝑉)
25	24	ex 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
26	25	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
27	6, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
28	27	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
29	5, 28	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
30	29	impcom 409	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
31	30	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
32		simprr 771	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
33	4, 31, 32	3jca 1128	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
34	3, 33	mpdan 685	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {ctp 4581  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  0cc0 10976  1c1 10977   + caddc 10979  2c2 12133  3c3 12134  ℕ₀cn0 12338  ..^cfzo 13487  ♯chash 14149  Word cword 14321  ⟨“cs3 14654  Vtxcvtx 27654   WWalksN cwwlksn 28478   WWalksNOn cwwlksnon 28479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-er 8573  df-map 8692  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-hash 14150  df-word 14322  df-concat 14378  df-s1 14403  df-s2 14660  df-s3 14661  df-wwlks 28482  df-wwlksn 28483  df-wwlksnon 28484

This theorem is referenced by:  frgr2wwlkeqm  28982