MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlks2onv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlks2onv 27350
Description: If a length 3 string represents a walk of length 2, its components are vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlks2onv.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlks2onv ((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))

Proof of Theorem wwlks2onv
StepHypRef Expression
1 wwlks2onv.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21wwlksonvtx 27221 . . 3 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴𝑉𝐶𝑉))
32adantl 475 . 2 ((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴𝑉𝐶𝑉))
4 simprl 761 . . 3 (((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
5 wwlknon 27223 . . . . . 6 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
6 wwlknbp1 27210 . . . . . . . 8 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (2 ∈ ℕ0 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)))
7 s3fv1 14049 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝑈 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
87eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝑈𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
98adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵𝑈) → 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
101eqcomi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Vtx‘𝐺) = 𝑉
1110wrdeqi 13631 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
1211eleq2i 2851 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
1312biimpi 208 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
14 1ex 10374 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
1514tpid2 4537 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ {0, 1, 2}
16 s3len 14051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
1716oveq2i 6935 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = (0..^3)
18 fzo0to3tp 12878 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^3) = {0, 1, 2}
1917, 18eqtri 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = {0, 1, 2}
2015, 19eleqtrri 2858 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))
21 wrdsymbcl 13619 . . . . . . . . . . . . 13 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
2213, 20, 21sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
2322adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵𝑈) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
249, 23eqeltrd 2859 . . . . . . . . . 10 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵𝑈) → 𝐵𝑉)
2524ex 403 . . . . . . . . 9 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝐵𝑈𝐵𝑉))
26253ad2ant2 1125 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ0 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)) → (𝐵𝑈𝐵𝑉))
276, 26syl 17 . . . . . . 7 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (𝐵𝑈𝐵𝑉))
28273ad2ant1 1124 . . . . . 6 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶) → (𝐵𝑈𝐵𝑉))
295, 28sylbi 209 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐵𝑈𝐵𝑉))
3029impcom 398 . . . 4 ((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → 𝐵𝑉)
3130adantr 474 . . 3 (((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐵𝑉)
32 simprr 763 . . 3 (((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
334, 31, 323jca 1119 . 2 (((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
343, 33mpdan 677 1 ((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  {ctp 4402  cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277  2c2 11435  3c3 11436  0cn0 11647  ..^cfzo 12789  chash 13441  Word cword 13605  ⟨“cs3 13999  Vtxcvtx 26361   WWalksN cwwlksn 27192   WWalksNOn cwwlksnon 27193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-hash 13442  df-word 13606  df-concat 13667  df-s1 13692  df-s2 14005  df-s3 14006  df-wwlks 27196  df-wwlksn 27197  df-wwlksnon 27198
This theorem is referenced by:  frgr2wwlkeqm  27756
  Copyright terms: Public domain W3C validator