Theorem wwlks2onv 29931

Description: If a length 3 string represents a walk of length 2, its components are vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wwlks2onv.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlks2onv	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem wwlks2onv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlks2onv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	wwlksonvtx 29833	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		wwlknon 29835	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
6		wwlknbp1 29822	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (2 ∈ ℕ0 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)))
7		s3fv1 14799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑈 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
8	7	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
10	1	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Vtx‘𝐺) = 𝑉
11	10	wrdeqi 14444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
12	11	eleq2i 2823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
13	12	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
14		1ex 11108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ V
15	14	tpid2 4720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
16		s3len 14801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
17	16	oveq2i 7357	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = (0..^3)
18		fzo0to3tp 13652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
19	17, 18	eqtri 2754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = {0, 1, 2}
20	15, 19	eleqtrri 2830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))
21		wrdsymbcl 14434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
22	13, 20, 21	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
24	9, 23	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ 𝑉)
25	24	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
26	25	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
27	6, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
28	27	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
29	5, 28	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
30	29	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
31	30	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
32		simprr 772	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
33	4, 31, 32	3jca 1128	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
34	3, 33	mpdan 687	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {ctp 4577  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009  2c2 12180  3c3 12181  ℕ₀cn0 12381  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Word cword 14420  ⟨“cs3 14749  Vtxcvtx 28974   WWalksN cwwlksn 29804   WWalksNOn cwwlksnon 29805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14504  df-s2 14755  df-s3 14756  df-wwlks 29808  df-wwlksn 29809  df-wwlksnon 29810

This theorem is referenced by:  frgr2wwlkeqm  30311