MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlks2onv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlks2onv 27737
Description: If a length 3 string represents a walk of length 2, its components are vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlks2onv.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlks2onv ((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))

Proof of Theorem wwlks2onv
StepHypRef Expression
1 wwlks2onv.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21wwlksonvtx 27639 . . 3 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴𝑉𝐶𝑉))
32adantl 485 . 2 ((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴𝑉𝐶𝑉))
4 simprl 770 . . 3 (((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
5 wwlknon 27641 . . . . . 6 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
6 wwlknbp1 27628 . . . . . . . 8 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (2 ∈ ℕ0 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)))
7 s3fv1 14245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝑈 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
87eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝑈𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
98adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵𝑈) → 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
101eqcomi 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Vtx‘𝐺) = 𝑉
1110wrdeqi 13880 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
1211eleq2i 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
1312biimpi 219 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
14 1ex 10626 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
1514tpid2 4680 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ {0, 1, 2}
16 s3len 14247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
1716oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = (0..^3)
18 fzo0to3tp 13118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^3) = {0, 1, 2}
1917, 18eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = {0, 1, 2}
2015, 19eleqtrri 2913 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))
21 wrdsymbcl 13870 . . . . . . . . . . . . 13 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
2213, 20, 21sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
2322adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵𝑈) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
249, 23eqeltrd 2914 . . . . . . . . . 10 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵𝑈) → 𝐵𝑉)
2524ex 416 . . . . . . . . 9 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝐵𝑈𝐵𝑉))
26253ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ0 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)) → (𝐵𝑈𝐵𝑉))
276, 26syl 17 . . . . . . 7 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (𝐵𝑈𝐵𝑉))
28273ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶) → (𝐵𝑈𝐵𝑉))
295, 28sylbi 220 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐵𝑈𝐵𝑉))
3029impcom 411 . . . 4 ((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → 𝐵𝑉)
3130adantr 484 . . 3 (((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐵𝑉)
32 simprr 772 . . 3 (((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
334, 31, 323jca 1125 . 2 (((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
343, 33mpdan 686 1 ((𝐵𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  {ctp 4543  cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  2c2 11680  3c3 11681  0cn0 11885  ..^cfzo 13028  chash 13686  Word cword 13857  ⟨“cs3 14195  Vtxcvtx 26787   WWalksN cwwlksn 27610   WWalksNOn cwwlksnon 27611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-wwlks 27614  df-wwlksn 27615  df-wwlksnon 27616
This theorem is referenced by:  frgr2wwlkeqm  28114
  Copyright terms: Public domain W3C validator