Theorem wwlks2onv 28219

Description: If a length 3 string represents a walk of length 2, its components are vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wwlks2onv.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlks2onv	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem wwlks2onv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlks2onv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	wwlksonvtx 28121	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		simprl 767	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		wwlknon 28123	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
6		wwlknbp1 28110	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (2 ∈ ℕ0 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)))
7		s3fv1 14533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑈 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
8	7	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
10	1	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Vtx‘𝐺) = 𝑉
11	10	wrdeqi 14168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
12	11	eleq2i 2830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
13	12	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
14		1ex 10902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ V
15	14	tpid2 4703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
16		s3len 14535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
17	16	oveq2i 7266	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = (0..^3)
18		fzo0to3tp 13401	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
19	17, 18	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = {0, 1, 2}
20	15, 19	eleqtrri 2838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))
21		wrdsymbcl 14158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
22	13, 20, 21	sylancl 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
24	9, 23	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ 𝑉)
25	24	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
26	25	3ad2ant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
27	6, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
28	27	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
29	5, 28	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
30	29	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
31	30	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
32		simprr 769	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
33	4, 31, 32	3jca 1126	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
34	3, 33	mpdan 683	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {ctp 4562  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  2c2 11958  3c3 11959  ℕ₀cn0 12163  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145  ⟨“cs3 14483  Vtxcvtx 27269   WWalksN cwwlksn 28092   WWalksNOn cwwlksnon 28093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-wwlks 28096  df-wwlksn 28097  df-wwlksnon 28098

This theorem is referenced by:  frgr2wwlkeqm  28596