Theorem wwlks2onv 29983

Description: If a length 3 string represents a walk of length 2, its components are vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wwlks2onv.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlks2onv	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem wwlks2onv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlks2onv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	wwlksonvtx 29885	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		simprl 771	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		wwlknon 29887	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
6		wwlknbp1 29874	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (2 ∈ ℕ0 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)))
7		s3fv1 14928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑈 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
8	7	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
10	1	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Vtx‘𝐺) = 𝑉
11	10	wrdeqi 14572	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
12	11	eleq2i 2831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
13	12	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
14		1ex 11255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ V
15	14	tpid2 4775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
16		s3len 14930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
17	16	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = (0..^3)
18		fzo0to3tp 13788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
19	17, 18	eqtri 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = {0, 1, 2}
20	15, 19	eleqtrri 2838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))
21		wrdsymbcl 14562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
22	13, 20, 21	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∈ 𝑉)
24	9, 23	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ 𝑉)
25	24	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
26	25	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
27	6, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
28	27	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
29	5, 28	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → (𝐵 ∈ 𝑈 → 𝐵 ∈ 𝑉))
30	29	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
31	30	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
32		simprr 773	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
33	4, 31, 32	3jca 1127	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
34	3, 33	mpdan 687	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {ctp 4635  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  2c2 12319  3c3 12320  ℕ₀cn0 12524  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549  ⟨“cs3 14878  Vtxcvtx 29028   WWalksN cwwlksn 29856   WWalksNOn cwwlksnon 29857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-wwlks 29860  df-wwlksn 29861  df-wwlksnon 29862

This theorem is referenced by:  frgr2wwlkeqm  30360