Theorem mopnfss 23875

Description: The family of open sets of a metric space is a collection of subsets of the base set. (Contributed by NM, 3-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopnfss	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem mopnfss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwuni 4941	. 2 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐽
2		mopnval.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3	2	mopnuni 23873	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	pweqd 4612	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝒫 𝑋 = 𝒫 ∪ 𝐽)
5	1, 4	sseqtrrid 4030	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3943  𝒫 cpw 4595  ∪ cuni 4900  ‘cfv 6531  ∞Metcxmet 20860  MetOpencmopn 20865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168  ax-pre-sup 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4991  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7838  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-er 8685  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11853  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12454  df-z 12540  df-uz 12804  df-q 12914  df-rp 12956  df-xneg 13073  df-xadd 13074  df-xmul 13075  df-topgen 17370  df-psmet 20867  df-xmet 20868  df-bl 20870  df-mopn 20871  df-top 22322  df-topon 22339  df-bases 22375

This theorem is referenced by: (None)