MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopnuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mopnuni 22966
Description: The union of all open sets in a metric space is its underlying set. (Contributed by NM, 4-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
mopnuni (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)

Proof of Theorem mopnuni
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopntopon 22964 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 toponuni 21438 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
42, 3syl 17 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107   cuni 4837  cfv 6352  ∞Metcxmet 20446  MetOpencmopn 20451  TopOnctopon 21434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-topgen 16707  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-top 21418  df-topon 21435  df-bases 21470
This theorem is referenced by:  mopnfss  22968  setsmstopn  23003  neibl  23026  lpbl  23028  blcld  23030  met1stc  23046  met2ndci  23047  met2ndc  23048  metcnpi  23069  metcnpi2  23070  metcnpi3  23071  tngtopn  23174  recld2  23337  xmetdcn  23361  metnrmlem1a  23381  metnrmlem1  23382  metnrmlem2  23383  metnrmlem3  23384  lebnumlem1  23480  lebnumlem3  23482  lebnum  23483  metelcls  23823  metcld  23824  flimcfil  23832  metsscmetcld  23833  cmetss  23834  cmpcmet  23837  bcthlem2  23843  bcthlem4  23845  bcthlem5  23846  bcth3  23849  heicant  34794  heibor1lem  34955  heibor1  34956  heiborlem3  34959  heiborlem8  34964  heiborlem10  34966  heibor  34967
  Copyright terms: Public domain W3C validator