Theorem mopnuni 24467

Description: The union of all open sets in a metric space is its underlying set. (Contributed by NM, 4-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopnuni	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem mopnuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopntopon 24465	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		toponuni 22936	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∪ cuni 4912  ‘cfv 6563  ∞Metcxmet 21367  MetOpencmopn 21372  TopOnctopon 22932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969

This theorem is referenced by:  mopnfss  24469  setsmstopn  24506  neibl  24530  lpbl  24532  blcld  24534  met1stc  24550  met2ndci  24551  met2ndc  24552  metcnpi  24573  metcnpi2  24574  metcnpi3  24575  tngtopn  24687  recld2  24850  xmetdcn  24874  metnrmlem1a  24894  metnrmlem1  24895  metnrmlem2  24896  metnrmlem3  24897  lebnumlem1  25007  lebnumlem3  25009  lebnum  25010  metelcls  25353  metcld  25354  flimcfil  25362  metsscmetcld  25363  cmetss  25364  cmpcmet  25367  bcthlem2  25373  bcthlem4  25375  bcthlem5  25376  bcth3  25379  heicant  37642  heibor1lem  37796  heibor1  37797  heiborlem3  37800  heiborlem8  37805  heiborlem10  37807  heibor  37808