MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem4 25679
Description: Lemma for 2sqlem5 25680. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem4.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem4.4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem4.5 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2sqlem4.6 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
2sqlem4.7 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem4.8 (𝜑𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
Assertion
Ref Expression
2sqlem4 (𝜑𝑁𝑆)

Proof of Theorem 2sqlem4
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . . 3 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2 2sqlem5.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
32adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ ℕ)
4 2sqlem5.2 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
54adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
6 2sqlem4.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
76adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℤ)
8 2sqlem4.4 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
10 2sqlem4.5 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
1110adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
12 2sqlem4.6 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
1312adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
14 2sqlem4.7 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
1514adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
16 2sqlem4.8 . . . 4 (𝜑𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
1716adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
18 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))
191, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 182sqlem3 25678 . 2 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁𝑆)
202adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ ℕ)
214adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
226znegcld 11938 . . . 4 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
2322adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → -𝐴 ∈ ℤ)
248adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
2510adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
2612adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
276zcnd 11937 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
28 sqneg 13332 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
3029oveq1d 7031 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
3114, 30eqtr4d 2834 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
3231adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → (𝑁 · 𝑃) = ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
3316adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
3412zcnd 11937 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3527, 34mulneg1d 10941 . . . . . . 7 (𝜑 → (-𝐴 · 𝐷) = -(𝐴 · 𝐷))
3635oveq2d 7032 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) + -(𝐴 · 𝐷)))
3710, 8zmulcld 11942 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
3837zcnd 11937 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
396, 12zmulcld 11942 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℤ)
4039zcnd 11937 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
4138, 40negsubd 10851 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + -(𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))
4236, 41eqtrd 2831 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))
4342breq2d 4974 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
4443biimpar 478 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)))
451, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 32, 33, 442sqlem3 25678 . 2 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁𝑆)
46 prmz 15848 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
474, 46syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
48 zsqcl 13344 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
4910, 48syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
502nnzd 11935 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5149, 50zmulcld 11942 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶↑2) · 𝑁) ∈ ℤ)
52 zsqcl 13344 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
536, 52syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
5451, 53zsubcld 11941 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2)) ∈ ℤ)
55 dvdsmul1 15464 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
5647, 54, 55syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝑃 ∥ (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
5710, 6zmulcld 11942 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
5857zcnd 11937 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
5958sqcld 13358 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
6038sqcld 13358 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
6140sqcld 13358 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
6259, 60, 61pnpcand 10882 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)))
6310zcnd 11937 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6463, 27sqmuld 13372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
658zcnd 11937 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
6663, 65sqmuld 13372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))
6764, 66oveq12d 7034 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
6863sqcld 13358 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
6953zcnd 11937 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
7065sqcld 13358 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
7168, 69, 70adddid 10511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
7267, 71eqtr4d 2834 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
732nncnd 11502 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
7447zcnd 11937 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
7573, 74mulcomd 10508 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = (𝑃 · 𝑁))
7614, 75eqtr3d 2833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝑃 · 𝑁))
7776oveq2d 7032 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐶↑2) · (𝑃 · 𝑁)))
7868, 74, 73mul12d 10696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) · (𝑃 · 𝑁)) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
7977, 78eqtrd 2831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
8072, 79eqtrd 2831 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
8127, 34sqmuld 13372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)))
8234sqcld 13358 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
8369, 82mulcomd 10508 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
8481, 83eqtrd 2831 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
8564, 84oveq12d 7034 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
8649zcnd 11937 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
8786, 82, 69adddird 10512 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
8885, 87eqtr4d 2834 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)))
8916oveq1d 7031 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)))
9088, 89eqtr4d 2834 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (𝑃 · (𝐴↑2)))
9180, 90oveq12d 7034 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = ((𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)) − (𝑃 · (𝐴↑2))))
9251zcnd 11937 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑2) · 𝑁) ∈ ℂ)
9374, 92, 69subdid 10944 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))) = ((𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)) − (𝑃 · (𝐴↑2))))
9491, 93eqtr4d 2834 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
9562, 94eqtr3d 2833 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
96 subsq 13422 . . . . . 6 (((𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
9738, 40, 96syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
9895, 97eqtr3d 2833 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
9956, 98breqtrd 4988 . . 3 (𝜑𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
10037, 39zaddcld 11940 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ)
10137, 39zsubcld 11941 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ)
102 euclemma 15886 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ ∧ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))))
1034, 100, 101, 102syl3anc 1364 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))))
10499, 103mpbid 233 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
10519, 45, 104mpjaodan 953 1 (𝜑𝑁𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842   = wceq 1522  wcel 2081   class class class wbr 4962  cmpt 5041  ran crn 5444  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381   + caddc 10386   · cmul 10388  cmin 10717  -cneg 10718  cn 11486  2c2 11540  cz 11829  cexp 13279  abscabs 14427  cdvds 15440  cprime 15844  ℤ[i]cgz 16094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-gcd 15677  df-prm 15845  df-gz 16095
This theorem is referenced by:  2sqlem5  25680
  Copyright terms: Public domain W3C validator