MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem4 26005
Description: Lemma for 2sqlem5 26006. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem4.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem4.4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem4.5 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2sqlem4.6 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
2sqlem4.7 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem4.8 (𝜑𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
Assertion
Ref Expression
2sqlem4 (𝜑𝑁𝑆)

Proof of Theorem 2sqlem4
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . . 3 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2 2sqlem5.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
32adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ ℕ)
4 2sqlem5.2 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
54adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
6 2sqlem4.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
76adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℤ)
8 2sqlem4.4 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
98adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
10 2sqlem4.5 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
1110adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
12 2sqlem4.6 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
1312adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
14 2sqlem4.7 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
1514adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
16 2sqlem4.8 . . . 4 (𝜑𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
1716adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
18 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))
191, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 182sqlem3 26004 . 2 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁𝑆)
202adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ ℕ)
214adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
226znegcld 12077 . . . 4 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
2322adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → -𝐴 ∈ ℤ)
248adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
2510adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
2612adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
276zcnd 12076 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
28 sqneg 13478 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
3029oveq1d 7150 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
3114, 30eqtr4d 2836 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
3231adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → (𝑁 · 𝑃) = ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
3316adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
3412zcnd 12076 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3527, 34mulneg1d 11082 . . . . . . 7 (𝜑 → (-𝐴 · 𝐷) = -(𝐴 · 𝐷))
3635oveq2d 7151 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) + -(𝐴 · 𝐷)))
3710, 8zmulcld 12081 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
3837zcnd 12076 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
396, 12zmulcld 12081 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℤ)
4039zcnd 12076 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
4138, 40negsubd 10992 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + -(𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))
4236, 41eqtrd 2833 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))
4342breq2d 5042 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
4443biimpar 481 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)))
451, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 32, 33, 442sqlem3 26004 . 2 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁𝑆)
46 prmz 16009 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
474, 46syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
48 zsqcl 13490 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
4910, 48syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
502nnzd 12074 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5149, 50zmulcld 12081 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶↑2) · 𝑁) ∈ ℤ)
52 zsqcl 13490 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
536, 52syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
5451, 53zsubcld 12080 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2)) ∈ ℤ)
55 dvdsmul1 15623 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
5647, 54, 55syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝑃 ∥ (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
5710, 6zmulcld 12081 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
5857zcnd 12076 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
5958sqcld 13504 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
6038sqcld 13504 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
6140sqcld 13504 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
6259, 60, 61pnpcand 11023 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)))
6310zcnd 12076 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6463, 27sqmuld 13518 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
658zcnd 12076 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
6663, 65sqmuld 13518 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))
6764, 66oveq12d 7153 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
6863sqcld 13504 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
6953zcnd 12076 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
7065sqcld 13504 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
7168, 69, 70adddid 10654 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
7267, 71eqtr4d 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
732nncnd 11641 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
7447zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
7573, 74mulcomd 10651 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = (𝑃 · 𝑁))
7614, 75eqtr3d 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝑃 · 𝑁))
7776oveq2d 7151 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐶↑2) · (𝑃 · 𝑁)))
7868, 74, 73mul12d 10838 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) · (𝑃 · 𝑁)) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
7977, 78eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
8072, 79eqtrd 2833 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
8127, 34sqmuld 13518 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)))
8234sqcld 13504 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
8369, 82mulcomd 10651 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
8481, 83eqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
8564, 84oveq12d 7153 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
8649zcnd 12076 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
8786, 82, 69adddird 10655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
8885, 87eqtr4d 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)))
8916oveq1d 7150 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)))
9088, 89eqtr4d 2836 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (𝑃 · (𝐴↑2)))
9180, 90oveq12d 7153 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = ((𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)) − (𝑃 · (𝐴↑2))))
9251zcnd 12076 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑2) · 𝑁) ∈ ℂ)
9374, 92, 69subdid 11085 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))) = ((𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)) − (𝑃 · (𝐴↑2))))
9491, 93eqtr4d 2836 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
9562, 94eqtr3d 2835 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
96 subsq 13568 . . . . . 6 (((𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
9738, 40, 96syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
9895, 97eqtr3d 2835 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
9956, 98breqtrd 5056 . . 3 (𝜑𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
10037, 39zaddcld 12079 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ)
10137, 39zsubcld 12080 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ)
102 euclemma 16047 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ ∧ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))))
1034, 100, 101, 102syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))))
10499, 103mpbid 235 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
10519, 45, 104mpjaodan 956 1 (𝜑𝑁𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  cmpt 5110  ran crn 5520  cfv 6324  (class class class)co 7135  cc 10524   + caddc 10529   · cmul 10531  cmin 10859  -cneg 10860  cn 11625  2c2 11680  cz 11969  cexp 13425  abscabs 14585  cdvds 15599  cprime 16005  ℤ[i]cgz 16255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-gz 16256
This theorem is referenced by:  2sqlem5  26006
  Copyright terms: Public domain W3C validator