2sqlem4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 2sqlem4 27805

Description: Lemma for 2sqlem5 27806. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem4.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2sqlem4.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
2sqlem4.7	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem4.8	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

**Proof of Theorem 2sqlem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2		2sqlem5.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		2sqlem5.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
6		2sqlem4.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		2sqlem4.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		2sqlem4.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
12		2sqlem4.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
14		2sqlem4.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
16		2sqlem4.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
17	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
18		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))
19	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	2sqlem3 27804	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ 𝑆)
20	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ ℕ)
21	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
22	6	znegcld 12845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
23	22	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → -𝐴 ∈ ℤ)
24	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
25	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
26	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
27	6	zcnd 12844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28		sqneg 14298	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴↑2) = (𝐴↑2))
29	27, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -𝐴↑2) = (𝐴↑2))
30	29	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( -𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
31	14, 30	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = (( -𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
32	31	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → (𝑁 · 𝑃) = (( -𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
33	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
34	12	zcnd 12844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
35	27, 34	mulneg1d 11808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( -𝐴 · 𝐷) = -(𝐴 · 𝐷))
36	35	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + ( -𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) + -(𝐴 · 𝐷)))
37	10, 8	zmulcld 12849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 12844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
39	6, 12	zmulcld 12849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℤ)
40	39	zcnd 12844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
41	38, 40	negsubd 11714	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + -(𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))
42	36, 41	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + ( -𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))
43	42	breq2d 5120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + ( -𝐴 · 𝐷)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
44	43	biimpar 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + ( -𝐴 · 𝐷)))
45	1, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 32, 33, 44	2sqlem3 27804	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ 𝑆)
46		prmz 16894	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
47	4, 46	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
48		zsqcl 14312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
49	10, 48	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
50	2	nnzd 12759	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
51	49, 50	zmulcld 12849	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · 𝑁) ∈ ℤ)
52		zsqcl 14312	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
53	6, 52	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
54	51, 53	zsubcld 12848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2)) ∈ ℤ)
55		dvdsmul1 16491	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
56	47, 54, 55	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
57	10, 6	zmulcld 12849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
58	57	zcnd 12844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
59	58	sqcld 14327	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
60	38	sqcld 14327	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
61	40	sqcld 14327	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
62	59, 60, 61	pnpcand 11745	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)))
63	10	zcnd 12844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
64	63, 27	sqmuld 14341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
65	8	zcnd 12844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
66	63, 65	sqmuld 14341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))
67	64, 66	oveq12d 7469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
68	63	sqcld 14327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
69	53	zcnd 12844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
70	65	sqcld 14327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
71	68, 69, 70	adddid 11372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
72	67, 71	eqtr4d 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
73	2	nncnd 12391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
74	47	zcnd 12844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
75	73, 74	mulcomd 11369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = (𝑃 · 𝑁))
76	14, 75	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝑃 · 𝑁))
77	76	oveq2d 7467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐶↑2) · (𝑃 · 𝑁)))
78	68, 74, 73	mul12d 11558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · (𝑃 · 𝑁)) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
79	77, 78	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
80	72, 79	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
81	27, 34	sqmuld 14341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)))
82	34	sqcld 14327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
83	69, 82	mulcomd 11369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
84	81, 83	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
85	64, 84	oveq12d 7469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
86	49	zcnd 12844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
87	86, 82, 69	adddird 11373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
88	85, 87	eqtr4d 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)))
89	16	oveq1d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)))
90	88, 89	eqtr4d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (𝑃 · (𝐴↑2)))
91	80, 90	oveq12d 7469	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = ((𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)) − (𝑃 · (𝐴↑2))))
92	51	zcnd 12844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · 𝑁) ∈ ℂ)
93	74, 92, 69	subdid 11811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))) = ((𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)) − (𝑃 · (𝐴↑2))))
94	91, 93	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
95	62, 94	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
96		subsq 14394	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
97	38, 40, 96	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
98	95, 97	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
99	56, 98	breqtrd 5137	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
100	37, 39	zaddcld 12847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ)
101	37, 39	zsubcld 12848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ)
102		euclemma 16933	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ ∧ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))))
103	4, 100, 101, 102	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))))
104	99, 103	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
105	19, 45, 104	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 class class class wbr 5108 ↦ cmpt 5192 ran crn 5659 ‘cfv 6566 (class class class)co 7451 ℂcc 11237 + caddc 11242 · cmul 11244 − cmin 11580 -cneg 11581 ℕcn 12375 2c2 12437 ℤcz 12733 ↑cexp 14244 abscabs 15444 ∥ cdvds 16466 ℙcprime 16890 ℤ[i]cgz 17151

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-sep 5255 ax-nul 5266 ax-pow 5334 ax-pr 5398 ax-un 7783 ax-cnex 11295 ax-resscn 11296 ax-1cn 11297 ax-icn 11298 ax-addcl 11299 ax-addrcl 11300 ax-mulcl 11301 ax-mulrcl 11302 ax-mulcom 11303 ax-addass 11304 ax-mulass 11305 ax-distr 11306 ax-i2m1 11307 ax-1ne0 11308 ax-1rid 11309 ax-rnegex 11310 ax-rrecex 11311 ax-cnre 11312 ax-pre-lttri 11313 ax-pre-lttrn 11314 ax-pre-ltadd 11315 ax-pre-mulgt0 11316 ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4841 df-uni 4873 df-iun 4958 df-br 5109 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-we 5613 df-xp 5664 df-rel 5665 df-cnv 5666 df-co 5667 df-dm 5668 df-rn 5669 df-res 5670 df-ima 5671 df-pred 6330 df-ord 6391 df-on 6392 df-lim 6393 df-suc 6394 df-iota 6520 df-fun 6568 df-fn 6569 df-f 6570 df-f1 6571 df-fo 6572 df-f1o 6573 df-fv 6574 df-riota 7408 df-ov 7454 df-oprab 7455 df-mpo 7456 df-om 7912 df-2nd 8036 df-frecs 8337 df-wrecs 8368 df-recs 8417 df-rdg 8456 df-1o 8514 df-2o 8515 df-er 8755 df-en 9012 df-dom 9013 df-sdom 9014 df-fin 9015 df-sup 9471 df-inf 9472 df-pnf 11384 df-mnf 11385 df-xr 11386 df-ltxr 11387 df-le 11388 df-sub 11582 df-neg 11583 df-div 12014 df-nn 12376 df-2 12445 df-3 12446 df-n0 12647 df-z 12734 df-uz 13006 df-rp 13161 df-fl 13972 df-mod 14050 df-seq 14185 df-exp 14245 df-cj 15309 df-re 15310 df-im 15311 df-sqrt 15445 df-abs 15446 df-dvds 16467 df-gcd 16709 df-prm 16891 df-gz 17152

This theorem is used by: 2sqlem5 27806

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