MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem4 27160
Description: Lemma for 2sqlem5 27161. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
2sqlem5.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2sqlem5.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2sqlem4.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2sqlem4.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2sqlem4.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
2sqlem4.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
2sqlem4.7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
2sqlem4.8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
Assertion
Ref Expression
2sqlem4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)

Proof of Theorem 2sqlem4
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . . 3 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
2 2sqlem5.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
32adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4 2sqlem5.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
54adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
6 2sqlem4.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
76adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
8 2sqlem4.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
98adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
10 2sqlem4.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
1110adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
12 2sqlem4.6 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
1312adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
14 2sqlem4.7 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
1514adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
16 2sqlem4.8 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
1716adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ƒ = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
18 simpr 483 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)))
191, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 182sqlem3 27159 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)
202adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
214adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
226znegcld 12672 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„ค)
2322adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„ค)
248adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2510adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
2612adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
276zcnd 12671 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
28 sqneg 14085 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐ดโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-๐ดโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
3029oveq1d 7426 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
3114, 30eqtr4d 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((-๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
3231adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((-๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
3316adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ƒ = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
3412zcnd 12671 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3527, 34mulneg1d 11671 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-๐ด ยท ๐ท) = -(๐ด ยท ๐ท))
3635oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) + (-๐ด ยท ๐ท)) = ((๐ถ ยท ๐ต) + -(๐ด ยท ๐ท)))
3710, 8zmulcld 12676 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค)
3837zcnd 12671 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
396, 12zmulcld 12676 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„ค)
4039zcnd 12671 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
4138, 40negsubd 11581 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) + -(๐ด ยท ๐ท)) = ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท)))
4236, 41eqtrd 2770 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) + (-๐ด ยท ๐ท)) = ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท)))
4342breq2d 5159 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (-๐ด ยท ๐ท)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))))
4443biimpar 476 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (-๐ด ยท ๐ท)))
451, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 32, 33, 442sqlem3 27159 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)
46 prmz 16616 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
474, 46syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
48 zsqcl 14098 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
4910, 48syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
502nnzd 12589 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
5149, 50zmulcld 12676 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
52 zsqcl 14098 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
536, 52syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
5451, 53zsubcld 12675 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
55 dvdsmul1 16225 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ ยท (((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
5647, 54, 55syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ ยท (((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
5710, 6zmulcld 12676 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)
5857zcnd 12671 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5958sqcld 14113 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6038sqcld 14113 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6140sqcld 14113 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6259, 60, 61pnpcand 11612 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2)) โˆ’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2))) = (((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2)))
6310zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
6463, 27sqmuld 14127 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) = ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
658zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6663, 65sqmuld 14127 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2) = ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
6764, 66oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2)) = (((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
6863sqcld 14113 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6953zcnd 12671 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7065sqcld 14113 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7168, 69, 70adddid 11242 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) = (((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
7267, 71eqtr4d 2773 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))))
732nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7447zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
7573, 74mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ ยท ๐‘))
7614, 75eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐‘ƒ ยท ๐‘))
7776oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) = ((๐ถโ†‘2) ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘)))
7868, 74, 73mul12d 11427 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘)) = (๐‘ƒ ยท ((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘)))
7977, 78eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) = (๐‘ƒ ยท ((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘)))
8072, 79eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2)) = (๐‘ƒ ยท ((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘)))
8127, 34sqmuld 14127 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ทโ†‘2)))
8234sqcld 14113 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8369, 82mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ทโ†‘2)) = ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
8481, 83eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2) = ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
8564, 84oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2)) = (((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))))
8649zcnd 12671 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8786, 82, 69adddird 11243 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท (๐ดโ†‘2)) = (((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))))
8885, 87eqtr4d 2773 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2)) = (((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท (๐ดโ†‘2)))
8916oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐ดโ†‘2)) = (((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท (๐ดโ†‘2)))
9088, 89eqtr4d 2773 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2)) = (๐‘ƒ ยท (๐ดโ†‘2)))
9180, 90oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2)) โˆ’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2))) = ((๐‘ƒ ยท ((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ดโ†‘2))))
9251zcnd 12671 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
9374, 92, 69subdid 11674 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท (((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘2))) = ((๐‘ƒ ยท ((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ดโ†‘2))))
9491, 93eqtr4d 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2)) โˆ’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2))) = (๐‘ƒ ยท (((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
9562, 94eqtr3d 2772 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2)) = (๐‘ƒ ยท (((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
96 subsq 14178 . . . . . 6 (((๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2)) = (((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) ยท ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))))
9738, 40, 96syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2)) = (((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) ยท ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))))
9895, 97eqtr3d 2772 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท (((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘2))) = (((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) ยท ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))))
9956, 98breqtrd 5173 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) ยท ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))))
10037, 39zaddcld 12674 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
10137, 39zsubcld 12675 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
102 euclemma 16654 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) ยท ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท)))))
1034, 100, 101, 102syl3anc 1369 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) ยท ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท)))))
10499, 103mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))))
10519, 45, 104mpjaodan 955 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  ran crn 5676  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„คcz 12562  โ†‘cexp 14031  abscabs 15185   โˆฅ cdvds 16201  โ„™cprime 16612  โ„ค[i]cgz 16866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-gz 16867
This theorem is referenced by:  2sqlem5  27161
  Copyright terms: Public domain W3C validator