2sqlem4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 2sqlem4 27748

Description: Lemma for 2sqlem5 27749. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem4.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2sqlem4.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
2sqlem4.7	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem4.8	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

**Proof of Theorem 2sqlem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2		2sqlem5.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		2sqlem5.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
6		2sqlem4.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		2sqlem4.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		2sqlem4.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
12		2sqlem4.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
14		2sqlem4.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
16		2sqlem4.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
17	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
18		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))
19	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	2sqlem3 27747	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ 𝑆)
20	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ ℕ)
21	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
22	6	znegcld 12805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
23	22	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → -𝐴 ∈ ℤ)
24	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
25	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
26	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
27	6	zcnd 12804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28		sqneg 14258	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴↑2) = (𝐴↑2))
29	27, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -𝐴↑2) = (𝐴↑2))
30	29	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( -𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
31	14, 30	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = (( -𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
32	31	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → (𝑁 · 𝑃) = (( -𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
33	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
34	12	zcnd 12804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
35	27, 34	mulneg1d 11769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( -𝐴 · 𝐷) = -(𝐴 · 𝐷))
36	35	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + ( -𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) + -(𝐴 · 𝐷)))
37	10, 8	zmulcld 12809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 12804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
39	6, 12	zmulcld 12809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℤ)
40	39	zcnd 12804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
41	38, 40	negsubd 11675	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + -(𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))
42	36, 41	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + ( -𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))
43	42	breq2d 5115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + ( -𝐴 · 𝐷)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
44	43	biimpar 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + ( -𝐴 · 𝐷)))
45	1, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 32, 33, 44	2sqlem3 27747	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ 𝑆)
46		prmz 16850	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
47	4, 46	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
48		zsqcl 14272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
49	10, 48	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
50	2	nnzd 12719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
51	49, 50	zmulcld 12809	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · 𝑁) ∈ ℤ)
52		zsqcl 14272	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
53	6, 52	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
54	51, 53	zsubcld 12808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2)) ∈ ℤ)
55		dvdsmul1 16447	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
56	47, 54, 55	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
57	10, 6	zmulcld 12809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
58	57	zcnd 12804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
59	58	sqcld 14287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
60	38	sqcld 14287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
61	40	sqcld 14287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
62	59, 60, 61	pnpcand 11706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)))
63	10	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
64	63, 27	sqmuld 14301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
65	8	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
66	63, 65	sqmuld 14301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))
67	64, 66	oveq12d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
68	63	sqcld 14287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
69	53	zcnd 12804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
70	65	sqcld 14287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
71	68, 69, 70	adddid 11333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
72	67, 71	eqtr4d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
73	2	nncnd 12351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
74	47	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
75	73, 74	mulcomd 11330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = (𝑃 · 𝑁))
76	14, 75	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝑃 · 𝑁))
77	76	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐶↑2) · (𝑃 · 𝑁)))
78	68, 74, 73	mul12d 11519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · (𝑃 · 𝑁)) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
79	77, 78	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
80	72, 79	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
81	27, 34	sqmuld 14301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)))
82	34	sqcld 14287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
83	69, 82	mulcomd 11330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
84	81, 83	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
85	64, 84	oveq12d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
86	49	zcnd 12804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
87	86, 82, 69	adddird 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
88	85, 87	eqtr4d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)))
89	16	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)))
90	88, 89	eqtr4d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (𝑃 · (𝐴↑2)))
91	80, 90	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = ((𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)) − (𝑃 · (𝐴↑2))))
92	51	zcnd 12804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · 𝑁) ∈ ℂ)
93	74, 92, 69	subdid 11772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))) = ((𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)) − (𝑃 · (𝐴↑2))))
94	91, 93	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
95	62, 94	eqtr3d 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
96		subsq 14354	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
97	38, 40, 96	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
98	95, 97	eqtr3d 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
99	56, 98	breqtrd 5131	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
100	37, 39	zaddcld 12807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ)
101	37, 39	zsubcld 12808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ)
102		euclemma 16889	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ ∧ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))))
103	4, 100, 101, 102	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))))
104	99, 103	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
105	19, 45, 104	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 class class class wbr 5103 ↦ cmpt 5186 ran crn 5652 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 ℂcc 11198 + caddc 11203 · cmul 11205 − cmin 11541 -cneg 11542 ℕcn 12335 2c2 12397 ℤcz 12693 ↑cexp 14204 abscabs 15401 ∥ cdvds 16422 ℙcprime 16846 ℤ[i]cgz 17107

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7751 ax-cnex 11256 ax-resscn 11257 ax-1cn 11258 ax-icn 11259 ax-addcl 11260 ax-addrcl 11261 ax-mulcl 11262 ax-mulrcl 11263 ax-mulcom 11264 ax-addass 11265 ax-mulass 11266 ax-distr 11267 ax-i2m1 11268 ax-1ne0 11269 ax-1rid 11270 ax-rnegex 11271 ax-rrecex 11272 ax-cnre 11273 ax-pre-lttri 11274 ax-pre-lttrn 11275 ax-pre-ltadd 11276 ax-pre-mulgt0 11277 ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-2nd 8002 df-frecs 8299 df-wrecs 8330 df-recs 8379 df-rdg 8418 df-1o 8476 df-2o 8477 df-er 8717 df-en 8974 df-dom 8975 df-sdom 8976 df-fin 8977 df-sup 9434 df-inf 9435 df-pnf 11345 df-mnf 11346 df-xr 11347 df-ltxr 11348 df-le 11349 df-sub 11543 df-neg 11544 df-div 11974 df-nn 12336 df-2 12405 df-3 12406 df-n0 12607 df-z 12694 df-uz 12966 df-rp 13121 df-fl 13932 df-mod 14010 df-seq 14145 df-exp 14205 df-cj 15266 df-re 15267 df-im 15268 df-sqrt 15402 df-abs 15403 df-dvds 16423 df-gcd 16665 df-prm 16847 df-gz 17108

This theorem is used by: 2sqlem5 27749

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