MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem4 26772
Description: Lemma for 2sqlem5 26773. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
2sqlem5.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2sqlem5.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2sqlem4.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2sqlem4.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2sqlem4.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
2sqlem4.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
2sqlem4.7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
2sqlem4.8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
Assertion
Ref Expression
2sqlem4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)

Proof of Theorem 2sqlem4
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . . 3 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
2 2sqlem5.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
32adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4 2sqlem5.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
54adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
6 2sqlem4.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
76adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
8 2sqlem4.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
98adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
10 2sqlem4.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
1110adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
12 2sqlem4.6 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
1312adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
14 2sqlem4.7 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
1514adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
16 2sqlem4.8 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
1716adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ƒ = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
18 simpr 486 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)))
191, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 182sqlem3 26771 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)
202adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
214adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
226znegcld 12610 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„ค)
2322adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„ค)
248adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2510adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
2612adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
276zcnd 12609 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
28 sqneg 14022 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐ดโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-๐ดโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
3029oveq1d 7373 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
3114, 30eqtr4d 2780 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((-๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
3231adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((-๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
3316adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ƒ = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
3412zcnd 12609 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3527, 34mulneg1d 11609 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-๐ด ยท ๐ท) = -(๐ด ยท ๐ท))
3635oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) + (-๐ด ยท ๐ท)) = ((๐ถ ยท ๐ต) + -(๐ด ยท ๐ท)))
3710, 8zmulcld 12614 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค)
3837zcnd 12609 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
396, 12zmulcld 12614 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„ค)
4039zcnd 12609 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
4138, 40negsubd 11519 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) + -(๐ด ยท ๐ท)) = ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท)))
4236, 41eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) + (-๐ด ยท ๐ท)) = ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท)))
4342breq2d 5118 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (-๐ด ยท ๐ท)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))))
4443biimpar 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (-๐ด ยท ๐ท)))
451, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 32, 33, 442sqlem3 26771 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)
46 prmz 16552 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
474, 46syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
48 zsqcl 14035 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
4910, 48syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
502nnzd 12527 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
5149, 50zmulcld 12614 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
52 zsqcl 14035 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
536, 52syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
5451, 53zsubcld 12613 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
55 dvdsmul1 16161 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ ยท (((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
5647, 54, 55syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ ยท (((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
5710, 6zmulcld 12614 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)
5857zcnd 12609 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5958sqcld 14050 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6038sqcld 14050 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6140sqcld 14050 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6259, 60, 61pnpcand 11550 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2)) โˆ’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2))) = (((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2)))
6310zcnd 12609 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
6463, 27sqmuld 14064 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) = ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
658zcnd 12609 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6663, 65sqmuld 14064 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2) = ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
6764, 66oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2)) = (((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
6863sqcld 14050 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6953zcnd 12609 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7065sqcld 14050 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7168, 69, 70adddid 11180 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) = (((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
7267, 71eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))))
732nncnd 12170 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7447zcnd 12609 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
7573, 74mulcomd 11177 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ ยท ๐‘))
7614, 75eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐‘ƒ ยท ๐‘))
7776oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) = ((๐ถโ†‘2) ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘)))
7868, 74, 73mul12d 11365 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘)) = (๐‘ƒ ยท ((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘)))
7977, 78eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) = (๐‘ƒ ยท ((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘)))
8072, 79eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2)) = (๐‘ƒ ยท ((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘)))
8127, 34sqmuld 14064 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ทโ†‘2)))
8234sqcld 14050 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8369, 82mulcomd 11177 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ทโ†‘2)) = ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
8481, 83eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2) = ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
8564, 84oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2)) = (((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))))
8649zcnd 12609 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8786, 82, 69adddird 11181 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท (๐ดโ†‘2)) = (((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))))
8885, 87eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2)) = (((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท (๐ดโ†‘2)))
8916oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐ดโ†‘2)) = (((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท (๐ดโ†‘2)))
9088, 89eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2)) = (๐‘ƒ ยท (๐ดโ†‘2)))
9180, 90oveq12d 7376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2)) โˆ’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2))) = ((๐‘ƒ ยท ((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ดโ†‘2))))
9251zcnd 12609 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
9374, 92, 69subdid 11612 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท (((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘2))) = ((๐‘ƒ ยท ((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ดโ†‘2))))
9491, 93eqtr4d 2780 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2)) โˆ’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2))) = (๐‘ƒ ยท (((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
9562, 94eqtr3d 2779 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2)) = (๐‘ƒ ยท (((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
96 subsq 14115 . . . . . 6 (((๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2)) = (((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) ยท ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))))
9738, 40, 96syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2)) = (((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) ยท ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))))
9895, 97eqtr3d 2779 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท (((๐ถโ†‘2) ยท ๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘2))) = (((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) ยท ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))))
9956, 98breqtrd 5132 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) ยท ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))))
10037, 39zaddcld 12612 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
10137, 39zsubcld 12613 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท)) โˆˆ โ„ค)
102 euclemma 16590 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) ยท ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท)))))
1034, 100, 101, 102syl3anc 1372 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) ยท ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท)))))
10499, 103mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ท)) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))))
10519, 45, 104mpjaodan 958 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  ran crn 5635  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050   + caddc 11055   ยท cmul 11057   โˆ’ cmin 11386  -cneg 11387  โ„•cn 12154  2c2 12209  โ„คcz 12500  โ†‘cexp 13968  abscabs 15120   โˆฅ cdvds 16137  โ„™cprime 16548  โ„ค[i]cgz 16802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-gz 16803
This theorem is referenced by:  2sqlem5  26773
  Copyright terms: Public domain W3C validator