MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemk 26970
Description: Lemma for pnt 26978. Evaluate the naive part of the estimate. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntlem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntlem1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
pntlem1.l (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
pntlem1.d ๐ท = (๐ด + 1)
pntlem1.f ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
pntlem1.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
pntlem1.u2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
pntlem1.e ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
pntlem1.k ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
pntlem1.y (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
pntlem1.x (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
pntlem1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
pntlem1.w ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
pntlem1.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž))
pntlem1.m ๐‘€ = ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 1)
pntlem1.n ๐‘ = (โŒŠโ€˜(((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2))
pntlem1.U (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
pntlem1.K (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
Assertion
Ref Expression
pntlemk (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((๐‘ˆ / ๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›))) โ‰ค ((๐‘ˆ ยท ((logโ€˜๐‘) + 3)) ยท (logโ€˜๐‘)))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐ถ   ๐‘ฆ,๐‘›,๐‘ง,๐‘ข,๐ฟ   ๐‘›,๐พ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘›,๐‘€,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘›   ๐‘›,๐‘,๐‘ง   ๐‘…,๐‘›,๐‘ข,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ˆ,๐‘›,๐‘ง   ๐‘›,๐‘Š,๐‘ง   ๐‘›,๐‘‹,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘›,๐‘Œ,๐‘ง   ๐‘›,๐‘Ž,๐‘ข,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ธ   ๐‘›,๐‘,๐‘ข,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐ด(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ข,๐‘›,๐‘Ž)   ๐ต(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ข,๐‘›,๐‘Ž)   ๐ถ(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘›,๐‘Ž)   ๐ท(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ข,๐‘›,๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)   ๐‘ˆ(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐น(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ข,๐‘›,๐‘Ž)   ๐พ(๐‘ข,๐‘Ž)   ๐ฟ(๐‘Ž)   ๐‘€(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐‘(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐‘Š(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐‘‹(๐‘ข,๐‘Ž)   ๐‘Œ(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐‘(๐‘ฆ,๐‘Ž)

Proof of Theorem pntlemk
StepHypRef Expression
1 2re 12232 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
2 fzfid 13884 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) โˆˆ Fin)
3 elfznn 13476 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
43adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
54nnrpd 12960 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
65relogcld 25994 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
76, 4nndivred 12212 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
82, 7fsumrecl 15624 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
9 remulcl 11141 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
101, 8, 9sylancr 588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
11 pntlem1.r . . . . . . . . 9 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
12 pntlem1.a . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
13 pntlem1.b . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
14 pntlem1.l . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
15 pntlem1.d . . . . . . . . 9 ๐ท = (๐ด + 1)
16 pntlem1.f . . . . . . . . 9 ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
17 pntlem1.u . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
18 pntlem1.u2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
19 pntlem1.e . . . . . . . . 9 ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
20 pntlem1.k . . . . . . . . 9 ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
21 pntlem1.y . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
22 pntlem1.x . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
23 pntlem1.c . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
24 pntlem1.w . . . . . . . . 9 ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
25 pntlem1.z . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž))
2611, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25pntlemb 26961 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘ โˆง e โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘) โˆง (โˆšโ€˜๐‘) โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ)) โˆง ((4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)) โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘) โˆง (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + 2) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โˆง ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท ((๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)) / (32 ยท ๐ต))) ยท (logโ€˜๐‘)))))
2726simp1d 1143 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
2827relogcld 25994 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
29 peano2re 11333 . . . . . 6 ((logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ ((logโ€˜๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
3028, 29syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
3130resqcld 14036 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„)
32 3re 12238 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„
33 readdcl 11139 . . . . . 6 (((logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜๐‘) + 3) โˆˆ โ„)
3428, 32, 33sylancl 587 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘) + 3) โˆˆ โ„)
3534, 28remulcld 11190 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) + 3) ยท (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
3627rpred 12962 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3721simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„+)
3836, 37rerpdivcld 12993 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
39 1red 11161 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
4027rpsqrtcld 15302 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
4140rpred 12962 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
42 ere 15976 . . . . . . . . . . . . 13 e โˆˆ โ„
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ e โˆˆ โ„)
44 1re 11160 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„
45 1lt2 12329 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
46 egt2lt3 16093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 < e โˆง e < 3)
4746simpli 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 < e
4844, 1, 42lttri 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 < 2 โˆง 2 < e) โ†’ 1 < e)
4945, 47, 48mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < e
5044, 42, 49ltleii 11283 . . . . . . . . . . . . 13 1 โ‰ค e
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค e)
5226simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐‘ โˆง e โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘) โˆง (โˆšโ€˜๐‘) โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ)))
5352simp2d 1144 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ e โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘))
5439, 43, 41, 51, 53letrd 11317 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘))
5552simp3d 1145 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐‘) โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ))
5639, 41, 38, 54, 55letrd 11317 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ))
57 flge1nn 13732 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ / ๐‘Œ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โˆˆ โ„•)
5838, 56, 57syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โˆˆ โ„•)
5958nnrpd 12960 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โˆˆ โ„+)
6059relogcld 25994 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) โˆˆ โ„)
6160, 39readdcld 11189 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1) โˆˆ โ„)
6261resqcld 14036 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„)
63 logdivbnd 26920 . . . . . . 7 ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โ‰ค ((((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) / 2))
6458, 63syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โ‰ค ((((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) / 2))
651a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
66 2pos 12261 . . . . . . . 8 0 < 2
6766a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < 2)
68 lemuldiv2 12041 . . . . . . 7 ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง (((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โ‰ค ((((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) / 2)))
698, 62, 65, 67, 68syl112anc 1375 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โ‰ค ((((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) / 2)))
7064, 69mpbird 257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2))
71 reflcl 13707 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ / ๐‘Œ) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
7238, 71syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
73 flle 13710 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ / ๐‘Œ) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ))
7438, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ))
7521simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘Œ)
76 1rp 12924 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„+
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
7877, 37, 27lediv2d 12986 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 โ‰ค ๐‘Œ โ†” (๐‘ / ๐‘Œ) โ‰ค (๐‘ / 1)))
7975, 78mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘Œ) โ‰ค (๐‘ / 1))
8036recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
8180div1d 11928 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / 1) = ๐‘)
8279, 81breqtrd 5132 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘Œ) โ‰ค ๐‘)
8372, 38, 36, 74, 82letrd 11317 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โ‰ค ๐‘)
8459, 27logled 25998 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โ‰ค ๐‘ โ†” (logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) โ‰ค (logโ€˜๐‘)))
8583, 84mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) โ‰ค (logโ€˜๐‘))
8660, 28, 39, 85leadd1dd 11774 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1) โ‰ค ((logโ€˜๐‘) + 1))
87 0red 11163 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
88 log1 25957 . . . . . . . . 9 (logโ€˜1) = 0
8958nnge1d 12206 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))
90 logleb 25974 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โˆˆ โ„+) โ†’ (1 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))))
9176, 59, 90sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))))
9289, 91mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))))
9388, 92eqbrtrrid 5142 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))))
9460lep1d 12091 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) โ‰ค ((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1))
9587, 60, 61, 93, 94letrd 11317 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1))
9687, 61, 30, 95, 86letrd 11317 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((logโ€˜๐‘) + 1))
9761, 30, 95, 96le2sqd 14166 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1) โ‰ค ((logโ€˜๐‘) + 1) โ†” (((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2)))
9886, 97mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2))
9910, 62, 31, 70, 98letrd 11317 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2))
10028resqcld 14036 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„)
10165, 28remulcld 11190 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
102100, 101readdcld 11189 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (logโ€˜๐‘))) โˆˆ โ„)
103 loge 25958 . . . . . . 7 (logโ€˜e) = 1
10440rpge0d 12966 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘))
10541, 41, 104, 54lemulge12d 12098 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐‘) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐‘) ยท (โˆšโ€˜๐‘)))
10627rprege0d 12969 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘))
107 remsqsqrt 15147 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘) ยท (โˆšโ€˜๐‘)) = ๐‘)
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘) ยท (โˆšโ€˜๐‘)) = ๐‘)
109105, 108breqtrd 5132 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐‘) โ‰ค ๐‘)
11043, 41, 36, 53, 109letrd 11317 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ e โ‰ค ๐‘)
111 epr 16095 . . . . . . . . 9 e โˆˆ โ„+
112 logleb 25974 . . . . . . . . 9 ((e โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (e โ‰ค ๐‘ โ†” (logโ€˜e) โ‰ค (logโ€˜๐‘)))
113111, 27, 112sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (e โ‰ค ๐‘ โ†” (logโ€˜e) โ‰ค (logโ€˜๐‘)))
114110, 113mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜e) โ‰ค (logโ€˜๐‘))
115103, 114eqbrtrrid 5142 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (logโ€˜๐‘))
11639, 28, 102, 115leadd2dd 11775 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((logโ€˜๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (logโ€˜๐‘))) + 1) โ‰ค ((((logโ€˜๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (logโ€˜๐‘))) + (logโ€˜๐‘)))
11728recnd 11188 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
118 binom21 14128 . . . . . 6 ((logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2) = ((((logโ€˜๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (logโ€˜๐‘))) + 1))
119117, 118syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2) = ((((logโ€˜๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (logโ€˜๐‘))) + 1))
120117sqvald 14054 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘)โ†‘2) = ((logโ€˜๐‘) ยท (logโ€˜๐‘)))
121 df-3 12222 . . . . . . . . . 10 3 = (2 + 1)
122121oveq1i 7368 . . . . . . . . 9 (3 ยท (logโ€˜๐‘)) = ((2 + 1) ยท (logโ€˜๐‘))
123 2cnd 12236 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
124 1cnd 11155 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
125123, 124, 117adddird 11185 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 + 1) ยท (logโ€˜๐‘)) = ((2 ยท (logโ€˜๐‘)) + (1 ยท (logโ€˜๐‘))))
126122, 125eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท (logโ€˜๐‘)) = ((2 ยท (logโ€˜๐‘)) + (1 ยท (logโ€˜๐‘))))
127117mulid2d 11178 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (logโ€˜๐‘)) = (logโ€˜๐‘))
128127oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘)) + (1 ยท (logโ€˜๐‘))) = ((2 ยท (logโ€˜๐‘)) + (logโ€˜๐‘)))
129126, 128eqtr2d 2774 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘)) + (logโ€˜๐‘)) = (3 ยท (logโ€˜๐‘)))
130120, 129oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((2 ยท (logโ€˜๐‘)) + (logโ€˜๐‘))) = (((logโ€˜๐‘) ยท (logโ€˜๐‘)) + (3 ยท (logโ€˜๐‘))))
131117sqcld 14055 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
132 2cn 12233 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
133 mulcl 11140 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
134132, 117, 133sylancr 588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
135131, 134, 117addassd 11182 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((logโ€˜๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (logโ€˜๐‘))) + (logโ€˜๐‘)) = (((logโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((2 ยท (logโ€˜๐‘)) + (logโ€˜๐‘))))
136 3cn 12239 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„‚
137136a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
138117, 137, 117adddird 11185 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) + 3) ยท (logโ€˜๐‘)) = (((logโ€˜๐‘) ยท (logโ€˜๐‘)) + (3 ยท (logโ€˜๐‘))))
139130, 135, 1383eqtr4rd 2784 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) + 3) ยท (logโ€˜๐‘)) = ((((logโ€˜๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (logโ€˜๐‘))) + (logโ€˜๐‘)))
140116, 119, 1393brtr4d 5138 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) + 3) ยท (logโ€˜๐‘)))
14110, 31, 35, 99, 140letrd 11317 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) + 3) ยท (logโ€˜๐‘)))
14210, 35, 17lemul2d 13006 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) + 3) ยท (logโ€˜๐‘)) โ†” (๐‘ˆ ยท (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›))) โ‰ค (๐‘ˆ ยท (((logโ€˜๐‘) + 3) ยท (logโ€˜๐‘)))))
143141, 142mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ ยท (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›))) โ‰ค (๐‘ˆ ยท (((logโ€˜๐‘) + 3) ยท (logโ€˜๐‘))))
14417rpred 12962 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„)
145144adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„)
146145recnd 11188 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
1476recnd 11188 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
1485rpcnne0d 12971 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0))
149 div23 11837 . . . . . . . 8 ((๐‘ˆ โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ˆ ยท (logโ€˜๐‘›)) / ๐‘›) = ((๐‘ˆ / ๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)))
150 divass 11836 . . . . . . . 8 ((๐‘ˆ โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ˆ ยท (logโ€˜๐‘›)) / ๐‘›) = (๐‘ˆ ยท ((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
151149, 150eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((๐‘ˆ โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ˆ / ๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) = (๐‘ˆ ยท ((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
152146, 147, 148, 151syl3anc 1372 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ ((๐‘ˆ / ๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) = (๐‘ˆ ยท ((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
153152sumeq2dv 15593 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((๐‘ˆ / ๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))(๐‘ˆ ยท ((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
154144recnd 11188 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
1557recnd 11188 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
1562, 154, 155fsummulc2 15674 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))(๐‘ˆ ยท ((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
157153, 156eqtr4d 2776 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((๐‘ˆ / ๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) = (๐‘ˆ ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
158157oveq2d 7374 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((๐‘ˆ / ๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›))) = (2 ยท (๐‘ˆ ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›))))
1598recnd 11188 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
160123, 154, 159mul12d 11369 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘ˆ ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›))) = (๐‘ˆ ยท (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›))))
161158, 160eqtrd 2773 . 2 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((๐‘ˆ / ๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›))) = (๐‘ˆ ยท (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›))))
16234recnd 11188 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘) + 3) โˆˆ โ„‚)
163154, 162, 117mulassd 11183 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ ยท ((logโ€˜๐‘) + 3)) ยท (logโ€˜๐‘)) = (๐‘ˆ ยท (((logโ€˜๐‘) + 3) ยท (logโ€˜๐‘))))
164143, 161, 1633brtr4d 5138 1 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((๐‘ˆ / ๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›))) โ‰ค ((๐‘ˆ ยท ((logโ€˜๐‘) + 3)) ยท (logโ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061  +โˆžcpnf 11191   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  3c3 12214  4c4 12215  cdc 12623  โ„+crp 12920  (,)cioo 13270  [,)cico 13272  [,]cicc 13273  ...cfz 13430  โŒŠcfl 13701  โ†‘cexp 13973  โˆšcsqrt 15124  abscabs 15125  ฮฃcsu 15576  expce 15949  eceu 15950  logclog 25926  ฯˆcchp 26458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-e 15956  df-sin 15957  df-cos 15958  df-tan 15959  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752  df-log 25928  df-atan 26233  df-em 26358
This theorem is referenced by:  pntlemo  26971
  Copyright terms: Public domain W3C validator