MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemk 27109
Description: Lemma for pnt 27117. Evaluate the naive part of the estimate. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntlem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntlem1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
pntlem1.l (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
pntlem1.d ๐ท = (๐ด + 1)
pntlem1.f ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
pntlem1.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
pntlem1.u2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
pntlem1.e ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
pntlem1.k ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
pntlem1.y (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
pntlem1.x (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
pntlem1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
pntlem1.w ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
pntlem1.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž))
pntlem1.m ๐‘€ = ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 1)
pntlem1.n ๐‘ = (โŒŠโ€˜(((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2))
pntlem1.U (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
pntlem1.K (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
Assertion
Ref Expression
pntlemk (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((๐‘ˆ / ๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›))) โ‰ค ((๐‘ˆ ยท ((logโ€˜๐‘) + 3)) ยท (logโ€˜๐‘)))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐ถ   ๐‘ฆ,๐‘›,๐‘ง,๐‘ข,๐ฟ   ๐‘›,๐พ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘›,๐‘€,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘›   ๐‘›,๐‘,๐‘ง   ๐‘…,๐‘›,๐‘ข,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ˆ,๐‘›,๐‘ง   ๐‘›,๐‘Š,๐‘ง   ๐‘›,๐‘‹,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘›,๐‘Œ,๐‘ง   ๐‘›,๐‘Ž,๐‘ข,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ธ   ๐‘›,๐‘,๐‘ข,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐ด(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ข,๐‘›,๐‘Ž)   ๐ต(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ข,๐‘›,๐‘Ž)   ๐ถ(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘›,๐‘Ž)   ๐ท(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ข,๐‘›,๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)   ๐‘ˆ(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐น(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ข,๐‘›,๐‘Ž)   ๐พ(๐‘ข,๐‘Ž)   ๐ฟ(๐‘Ž)   ๐‘€(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐‘(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐‘Š(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐‘‹(๐‘ข,๐‘Ž)   ๐‘Œ(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐‘(๐‘ฆ,๐‘Ž)

Proof of Theorem pntlemk
StepHypRef Expression
1 2re 12286 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
2 fzfid 13938 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) โˆˆ Fin)
3 elfznn 13530 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
43adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
54nnrpd 13014 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
65relogcld 26131 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
76, 4nndivred 12266 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
82, 7fsumrecl 15680 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
9 remulcl 11195 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
101, 8, 9sylancr 588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
11 pntlem1.r . . . . . . . . 9 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
12 pntlem1.a . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
13 pntlem1.b . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
14 pntlem1.l . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
15 pntlem1.d . . . . . . . . 9 ๐ท = (๐ด + 1)
16 pntlem1.f . . . . . . . . 9 ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
17 pntlem1.u . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
18 pntlem1.u2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
19 pntlem1.e . . . . . . . . 9 ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
20 pntlem1.k . . . . . . . . 9 ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
21 pntlem1.y . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
22 pntlem1.x . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
23 pntlem1.c . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
24 pntlem1.w . . . . . . . . 9 ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
25 pntlem1.z . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž))
2611, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25pntlemb 27100 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘ โˆง e โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘) โˆง (โˆšโ€˜๐‘) โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ)) โˆง ((4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)) โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘) โˆง (((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ)) + 2) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 4) โˆง ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ) โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท ((๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)) / (32 ยท ๐ต))) ยท (logโ€˜๐‘)))))
2726simp1d 1143 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
2827relogcld 26131 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
29 peano2re 11387 . . . . . 6 ((logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ ((logโ€˜๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
3028, 29syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
3130resqcld 14090 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„)
32 3re 12292 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„
33 readdcl 11193 . . . . . 6 (((logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜๐‘) + 3) โˆˆ โ„)
3428, 32, 33sylancl 587 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘) + 3) โˆˆ โ„)
3534, 28remulcld 11244 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) + 3) ยท (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
3627rpred 13016 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3721simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„+)
3836, 37rerpdivcld 13047 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
39 1red 11215 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
4027rpsqrtcld 15358 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
4140rpred 13016 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
42 ere 16032 . . . . . . . . . . . . 13 e โˆˆ โ„
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ e โˆˆ โ„)
44 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„
45 1lt2 12383 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
46 egt2lt3 16149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 < e โˆง e < 3)
4746simpli 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 < e
4844, 1, 42lttri 11340 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 < 2 โˆง 2 < e) โ†’ 1 < e)
4945, 47, 48mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < e
5044, 42, 49ltleii 11337 . . . . . . . . . . . . 13 1 โ‰ค e
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค e)
5226simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐‘ โˆง e โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘) โˆง (โˆšโ€˜๐‘) โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ)))
5352simp2d 1144 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ e โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘))
5439, 43, 41, 51, 53letrd 11371 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘))
5552simp3d 1145 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐‘) โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ))
5639, 41, 38, 54, 55letrd 11371 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ))
57 flge1nn 13786 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ / ๐‘Œ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โˆˆ โ„•)
5838, 56, 57syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โˆˆ โ„•)
5958nnrpd 13014 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โˆˆ โ„+)
6059relogcld 26131 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) โˆˆ โ„)
6160, 39readdcld 11243 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1) โˆˆ โ„)
6261resqcld 14090 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„)
63 logdivbnd 27059 . . . . . . 7 ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โ‰ค ((((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) / 2))
6458, 63syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โ‰ค ((((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) / 2))
651a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
66 2pos 12315 . . . . . . . 8 0 < 2
6766a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < 2)
68 lemuldiv2 12095 . . . . . . 7 ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง (((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โ‰ค ((((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) / 2)))
698, 62, 65, 67, 68syl112anc 1375 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โ‰ค ((((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) / 2)))
7064, 69mpbird 257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2))
71 reflcl 13761 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ / ๐‘Œ) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
7238, 71syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
73 flle 13764 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ / ๐‘Œ) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ))
7438, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โ‰ค (๐‘ / ๐‘Œ))
7521simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘Œ)
76 1rp 12978 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„+
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
7877, 37, 27lediv2d 13040 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 โ‰ค ๐‘Œ โ†” (๐‘ / ๐‘Œ) โ‰ค (๐‘ / 1)))
7975, 78mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘Œ) โ‰ค (๐‘ / 1))
8036recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
8180div1d 11982 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / 1) = ๐‘)
8279, 81breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘Œ) โ‰ค ๐‘)
8372, 38, 36, 74, 82letrd 11371 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โ‰ค ๐‘)
8459, 27logled 26135 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โ‰ค ๐‘ โ†” (logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) โ‰ค (logโ€˜๐‘)))
8583, 84mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) โ‰ค (logโ€˜๐‘))
8660, 28, 39, 85leadd1dd 11828 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1) โ‰ค ((logโ€˜๐‘) + 1))
87 0red 11217 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
88 log1 26094 . . . . . . . . 9 (logโ€˜1) = 0
8958nnge1d 12260 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))
90 logleb 26111 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โˆˆ โ„+) โ†’ (1 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))))
9176, 59, 90sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)) โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))))
9289, 91mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))))
9388, 92eqbrtrrid 5185 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))))
9460lep1d 12145 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) โ‰ค ((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1))
9587, 60, 61, 93, 94letrd 11371 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1))
9687, 61, 30, 95, 86letrd 11371 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((logโ€˜๐‘) + 1))
9761, 30, 95, 96le2sqd 14220 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1) โ‰ค ((logโ€˜๐‘) + 1) โ†” (((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2)))
9886, 97mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ))) + 1)โ†‘2) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2))
9910, 62, 31, 70, 98letrd 11371 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2))
10028resqcld 14090 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„)
10165, 28remulcld 11244 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
102100, 101readdcld 11243 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (logโ€˜๐‘))) โˆˆ โ„)
103 loge 26095 . . . . . . 7 (logโ€˜e) = 1
10440rpge0d 13020 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘))
10541, 41, 104, 54lemulge12d 12152 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐‘) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐‘) ยท (โˆšโ€˜๐‘)))
10627rprege0d 13023 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘))
107 remsqsqrt 15203 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘) ยท (โˆšโ€˜๐‘)) = ๐‘)
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘) ยท (โˆšโ€˜๐‘)) = ๐‘)
109105, 108breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐‘) โ‰ค ๐‘)
11043, 41, 36, 53, 109letrd 11371 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ e โ‰ค ๐‘)
111 epr 16151 . . . . . . . . 9 e โˆˆ โ„+
112 logleb 26111 . . . . . . . . 9 ((e โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (e โ‰ค ๐‘ โ†” (logโ€˜e) โ‰ค (logโ€˜๐‘)))
113111, 27, 112sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (e โ‰ค ๐‘ โ†” (logโ€˜e) โ‰ค (logโ€˜๐‘)))
114110, 113mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜e) โ‰ค (logโ€˜๐‘))
115103, 114eqbrtrrid 5185 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (logโ€˜๐‘))
11639, 28, 102, 115leadd2dd 11829 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((logโ€˜๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (logโ€˜๐‘))) + 1) โ‰ค ((((logโ€˜๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (logโ€˜๐‘))) + (logโ€˜๐‘)))
11728recnd 11242 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
118 binom21 14182 . . . . . 6 ((logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2) = ((((logโ€˜๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (logโ€˜๐‘))) + 1))
119117, 118syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2) = ((((logโ€˜๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (logโ€˜๐‘))) + 1))
120117sqvald 14108 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘)โ†‘2) = ((logโ€˜๐‘) ยท (logโ€˜๐‘)))
121 df-3 12276 . . . . . . . . . 10 3 = (2 + 1)
122121oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 (3 ยท (logโ€˜๐‘)) = ((2 + 1) ยท (logโ€˜๐‘))
123 2cnd 12290 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
124 1cnd 11209 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
125123, 124, 117adddird 11239 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 + 1) ยท (logโ€˜๐‘)) = ((2 ยท (logโ€˜๐‘)) + (1 ยท (logโ€˜๐‘))))
126122, 125eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท (logโ€˜๐‘)) = ((2 ยท (logโ€˜๐‘)) + (1 ยท (logโ€˜๐‘))))
127117mullidd 11232 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (logโ€˜๐‘)) = (logโ€˜๐‘))
128127oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘)) + (1 ยท (logโ€˜๐‘))) = ((2 ยท (logโ€˜๐‘)) + (logโ€˜๐‘)))
129126, 128eqtr2d 2774 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘)) + (logโ€˜๐‘)) = (3 ยท (logโ€˜๐‘)))
130120, 129oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((2 ยท (logโ€˜๐‘)) + (logโ€˜๐‘))) = (((logโ€˜๐‘) ยท (logโ€˜๐‘)) + (3 ยท (logโ€˜๐‘))))
131117sqcld 14109 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
132 2cn 12287 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
133 mulcl 11194 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
134132, 117, 133sylancr 588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
135131, 134, 117addassd 11236 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((logโ€˜๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (logโ€˜๐‘))) + (logโ€˜๐‘)) = (((logโ€˜๐‘)โ†‘2) + ((2 ยท (logโ€˜๐‘)) + (logโ€˜๐‘))))
136 3cn 12293 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„‚
137136a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
138117, 137, 117adddird 11239 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) + 3) ยท (logโ€˜๐‘)) = (((logโ€˜๐‘) ยท (logโ€˜๐‘)) + (3 ยท (logโ€˜๐‘))))
139130, 135, 1383eqtr4rd 2784 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) + 3) ยท (logโ€˜๐‘)) = ((((logโ€˜๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (logโ€˜๐‘))) + (logโ€˜๐‘)))
140116, 119, 1393brtr4d 5181 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((logโ€˜๐‘) + 1)โ†‘2) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) + 3) ยท (logโ€˜๐‘)))
14110, 31, 35, 99, 140letrd 11371 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) + 3) ยท (logโ€˜๐‘)))
14210, 35, 17lemul2d 13060 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘) + 3) ยท (logโ€˜๐‘)) โ†” (๐‘ˆ ยท (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›))) โ‰ค (๐‘ˆ ยท (((logโ€˜๐‘) + 3) ยท (logโ€˜๐‘)))))
143141, 142mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ ยท (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›))) โ‰ค (๐‘ˆ ยท (((logโ€˜๐‘) + 3) ยท (logโ€˜๐‘))))
14417rpred 13016 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„)
145144adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„)
146145recnd 11242 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
1476recnd 11242 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
1485rpcnne0d 13025 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0))
149 div23 11891 . . . . . . . 8 ((๐‘ˆ โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ˆ ยท (logโ€˜๐‘›)) / ๐‘›) = ((๐‘ˆ / ๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)))
150 divass 11890 . . . . . . . 8 ((๐‘ˆ โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ˆ ยท (logโ€˜๐‘›)) / ๐‘›) = (๐‘ˆ ยท ((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
151149, 150eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((๐‘ˆ โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ˆ / ๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) = (๐‘ˆ ยท ((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
152146, 147, 148, 151syl3anc 1372 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ ((๐‘ˆ / ๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) = (๐‘ˆ ยท ((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
153152sumeq2dv 15649 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((๐‘ˆ / ๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))(๐‘ˆ ยท ((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
154144recnd 11242 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
1557recnd 11242 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
1562, 154, 155fsummulc2 15730 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))(๐‘ˆ ยท ((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
157153, 156eqtr4d 2776 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((๐‘ˆ / ๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) = (๐‘ˆ ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
158157oveq2d 7425 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((๐‘ˆ / ๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›))) = (2 ยท (๐‘ˆ ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›))))
1598recnd 11242 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
160123, 154, 159mul12d 11423 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘ˆ ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›))) = (๐‘ˆ ยท (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›))))
161158, 160eqtrd 2773 . 2 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((๐‘ˆ / ๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›))) = (๐‘ˆ ยท (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((logโ€˜๐‘›) / ๐‘›))))
16234recnd 11242 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐‘) + 3) โˆˆ โ„‚)
163154, 162, 117mulassd 11237 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ ยท ((logโ€˜๐‘) + 3)) ยท (logโ€˜๐‘)) = (๐‘ˆ ยท (((logโ€˜๐‘) + 3) ยท (logโ€˜๐‘))))
164143, 161, 1633brtr4d 5181 1 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘Œ)))((๐‘ˆ / ๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›))) โ‰ค ((๐‘ˆ ยท ((logโ€˜๐‘) + 3)) ยท (logโ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  +โˆžcpnf 11245   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  cdc 12677  โ„+crp 12974  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  โŒŠcfl 13755  โ†‘cexp 14027  โˆšcsqrt 15180  abscabs 15181  ฮฃcsu 15632  expce 16005  eceu 16006  logclog 26063  ฯˆcchp 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ulm 25889  df-log 26065  df-atan 26372  df-em 26497
This theorem is referenced by:  pntlemo  27110
  Copyright terms: Public domain W3C validator