stirlinglem15 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem15 47371

Description: The Stirling's formula is proven using a number of local definitions. The main theorem stirling 47372 will use this final lemma, but it will not expose the local definitions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem15.1	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
stirlinglem15.2	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlinglem15.3	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem15.4	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
stirlinglem15.5	⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlinglem15.6	⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
stirlinglem15.7	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)))
stirlinglem15.8	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
stirlinglem15.9	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
stirlinglem15.10	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⇝ 𝐶)

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem15	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) ⇝ 1)

Distinct variable group: 𝐶,𝑛 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑛) 𝐴(𝑛) 𝐷(𝑛) 𝑆(𝑛) 𝐸(𝑛) 𝐹(𝑛) 𝐻(𝑛) 𝑉(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem15 Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stirlinglem15.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		nnnn0 12653	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ₀)
3	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
4		2cnd 12461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
5		picn 26842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
7	4, 6	mulcld 11368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · π) ∈ ℂ)
8		nncn 12383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 11368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · π) · 𝑛) ∈ ℂ)
11	10	sqrtcld 15651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((2 · π) · 𝑛)) ∈ ℂ)
12		ere 16299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ
13	12	recni 11362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ e ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
15		epos 16419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < e
16	12, 15	gt0ne0ii 11892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ e ≠ 0
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
18	8, 14, 17	divcld 12133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
19	18, 2	expcld 14329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
20	19	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
21	11, 20	mulcld 11368	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
22		stirlinglem15.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
23	22	fvmpt2 7036	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ₀ ∧ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ) → (𝑆‘𝑛) = ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
24	3, 21, 23	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑛) = ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
25	24	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛)) = ((!‘𝑛) / ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
26	6	sqrtcld 15651	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘π) ∈ ℂ)
27		2cnd 12461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
28	27, 8	mulcld 11368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
29	28	sqrtcld 15651	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
30	29	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
31	26, 30, 20	mulassd 11371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘π) · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
32		stirlinglem15.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)))
33		nfmpt1 5210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)))
34	32, 33	nfcxfr 2924	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
35		stirlinglem15.8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
36		nfmpt1 5210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
37	35, 36	nfcxfr 2924	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛𝐻
38		stirlinglem15.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
39		nfmpt1 5210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
40	38, 39	nfcxfr 2924	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛𝑉
41		nnuz 13044	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
42		1zzd 12767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
43		stirlinglem15.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
44		nfmpt1 5210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
45	43, 44	nfcxfr 2924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
46		stirlinglem15.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
47		nfmpt1 5210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
48	46, 47	nfcxfr 2924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛𝐷
49		faccl 14468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
50	2, 49	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
51	50	nnrpd 13202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℝ⁺)
52		2rp 13165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
54		nnrp 13172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
55	53, 54	rpmulcld 13220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ⁺)
56	55	rpsqrtcld 15623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺)
57		epr 16420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ e ∈ ℝ⁺
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℝ⁺)
59	54, 58	rpdivcld 13221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℝ⁺)
60		nnz 12754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
61	59, 60	rpexpcld 14432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℝ⁺)
62	56, 61	rpmulcld 13220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℝ⁺)
63	51, 62	rpdivcld 13221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℝ⁺)
64	43, 63	fmpti 7144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐴:ℕ⟶ℝ⁺
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ⟶ℝ⁺)
66		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴‘𝑛)↑4)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴‘𝑛)↑4))
67		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷‘𝑛)↑2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷‘𝑛)↑2))
68	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝐴:ℕ⟶ℝ⁺)
69		2nn 12456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℕ
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
71		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
72	70, 71	nnmulcld 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
73	68, 72	ffvelcdmd 7117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺)
74	46	fvmpt2 7036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺) → (𝐷‘𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
75	73, 74	mpdan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
76	75, 73	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ∈ ℝ⁺)
77	76	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑛) ∈ ℝ⁺)
78		stirlinglem15.9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
79		stirlinglem15.10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⇝ 𝐶)
80	1, 45, 48, 46, 65, 32, 66, 67, 77, 78, 79	stirlinglem8 47364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (𝐶↑2))
81		nnex 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ ∈ V
82	81	mptex 7260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V
83	38, 82	eqeltri 2860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑉 ∈ V
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
85		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
86		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
87		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
88	35, 85, 86, 87	stirlinglem1 47357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 ⇝ (1 / 2)
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 2))
90	50	nncnd 12391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
91	29, 19	mulcld 11368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
92	55	sqrtgt0d 15624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
93	92	gt0ne0d 11920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
94		nnne0 12412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
95	8, 14, 94, 17	divne0d 12149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
96	18, 95, 60	expne0d 14335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
97	29, 19, 93, 96	mulne0d 12008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
98	90, 91, 97	divcld 12133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
99	43	fvmpt2 7036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
100	98, 99	mpdan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
101	100, 98	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
102		4nn0 12665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℕ₀)
104	101, 103	expcld 14329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴‘𝑛)↑4) ∈ ℂ)
105	76	rpcnd 13206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ∈ ℂ)
106	105	sqcld 14327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷‘𝑛)↑2) ∈ ℂ)
107	76	rpne0d 13209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ≠ 0)
108		2z 12768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℤ
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
110	105, 107, 109	expne0d 14335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷‘𝑛)↑2) ≠ 0)
111	104, 106, 110	divcld 12133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) ∈ ℂ)
112	32	fvmpt2 7036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑛) = (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)))
113	111, 112	mpdan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑛) = (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)))
114	113, 111	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
115	114	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
116	8	sqcld 14327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
117		1cnd 11341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
118	28, 117	addcld 11367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
119	8, 118	mulcld 11368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
120	72	nnred 12390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
121		1red 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
122	72	nngt0d 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑛))
123		0lt1 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 1
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 1)
125	120, 121, 122, 124	addgt0d 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
126	125	gt0ne0d 11920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
127	8, 118, 94, 126	mulne0d 12008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)) ≠ 0)
128	116, 119, 127	divcld 12133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
129	35	fvmpt2 7036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ) → (𝐻‘𝑛) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
130	128, 129	mpdan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑛) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
131	130, 128	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑛) ∈ ℂ)
132	131	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑛) ∈ ℂ)
133	111, 128	mulcld 11368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ ℂ)
134		stirlinglem15.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
135	43, 46, 134, 38	stirlinglem3 47359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
136	135	fvmpt2 7036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ ℂ) → (𝑉‘𝑛) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
137	133, 136	mpdan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑉‘𝑛) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
138	113, 130	oveq12d 7469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑛) · (𝐻‘𝑛)) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
139	137, 138	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑉‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) · (𝐻‘𝑛)))
140	139	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑉‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) · (𝐻‘𝑛)))
141	1, 34, 37, 40, 41, 42, 80, 84, 89, 115, 132, 140	climmulf 46889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⇝ ((𝐶↑2) · (1 / 2)))
142	38	wallispi2 47356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 ⇝ (π / 2)
143		climuni 15763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑉 ⇝ ((𝐶↑2) · (1 / 2)) ∧ 𝑉 ⇝ (π / 2)) → ((𝐶↑2) · (1 / 2)) = (π / 2))
144	141, 142, 143	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · (1 / 2)) = (π / 2))
145	144	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) · (1 / 2)) / (1 / 2)) = ((π / 2) / (1 / 2)))
146	78	rpcnd 13206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
147	146	sqcld 14327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
148		1cnd 11341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
149	148	halfcld 12631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
150		2cnd 12461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
151		2pos 12487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 2
152	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
153	152	gt0ne0d 11920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
154	150, 153	recne0d 12127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ≠ 0)
155	147, 149, 154	divcan4d 12139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) · (1 / 2)) / (1 / 2)) = (𝐶↑2))
156	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
157	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
158	157	gt0ne0d 11920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
159	156, 148, 150, 158, 153	divcan7d 12161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((π / 2) / (1 / 2)) = (π / 1))
160	156	div1d 12125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (π / 1) = π)
161	159, 160	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((π / 2) / (1 / 2)) = π)
162	145, 155, 161	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = π)
163	162	fveq2d 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐶↑2)) = (√‘π))
164	78	rprege0d 13211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
165		sqrtsq 15479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → (√‘(𝐶↑2)) = 𝐶)
166	164, 165	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐶↑2)) = 𝐶)
167	163, 166	eqtr3d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (√‘π) = 𝐶)
168	167	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘π) = 𝐶)
169	168	oveq1d 7466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘π) · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝐶 · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
170	146	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
171	91	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
172	170, 171	mulcomd 11369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶))
173	31, 169, 172	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶))
174	173	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑛) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶)))
175		2re 12457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
176	175	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
177		pire 26840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
179	176, 178	remulcld 11378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · π) ∈ ℝ)
180		0le2 12485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
181	180	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 2)
182		pige0 26845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ π
183	182	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ π)
184	176, 178, 181, 183	mulge0d 11933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (2 · π))
185	3	nn0red 12708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
186	3	nn0ge0d 12710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑛)
187	179, 184, 185, 186	sqrtmuld 15636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((2 · π) · 𝑛)) = ((√‘(2 · π)) · (√‘𝑛)))
188	176, 181, 178, 183	sqrtmuld 15636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · π)) = ((√‘2) · (√‘π)))
189	188	oveq1d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · π)) · (√‘𝑛)) = (((√‘2) · (√‘π)) · (√‘𝑛)))
190	4	sqrtcld 15651	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘2) ∈ ℂ)
191	9	sqrtcld 15651	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘𝑛) ∈ ℂ)
192	190, 26, 191	mulassd 11371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((√‘2) · (√‘π)) · (√‘𝑛)) = ((√‘2) · ((√‘π) · (√‘𝑛))))
193	190, 26, 191	mul12d 11558	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘2) · ((√‘π) · (√‘𝑛))) = ((√‘π) · ((√‘2) · (√‘𝑛))))
194	176, 181, 185, 186	sqrtmuld 15636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · 𝑛)) = ((√‘2) · (√‘𝑛)))
195	194	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘2) · (√‘𝑛)) = (√‘(2 · 𝑛)))
196	195	oveq2d 7467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘π) · ((√‘2) · (√‘𝑛))) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
197	193, 196	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘2) · ((√‘π) · (√‘𝑛))) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
198	189, 192, 197	3eqtrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · π)) · (√‘𝑛)) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
199	187, 198	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((2 · π) · 𝑛)) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
200	199	oveq1d 7466	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
201	200	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑛) / (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
202	90	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
203	93	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
204	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → e ∈ ℂ)
205	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → e ≠ 0)
206	9, 204, 205	divcld 12133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
207	94	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
208	9, 204, 207, 205	divne0d 12149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 / e) ≠ 0)
209	60	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
210	206, 208, 209	expne0d 14335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
211	30, 20, 203, 210	mulne0d 12008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
212	78	rpne0d 13209	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
213	212	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ≠ 0)
214	202, 171, 170, 211, 213	divdiv1d 12164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) / 𝐶) = ((!‘𝑛) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶)))
215	174, 201, 214	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) / 𝐶))
216	98	ancli 558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ))
217	216	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ))
218	217, 99	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
219	218	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝐴‘𝑛))
220	219	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) / 𝐶) = ((𝐴‘𝑛) / 𝐶))
221	25, 215, 220	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) / 𝐶))
222	1, 221	mpteq2da 5203	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴‘𝑛) / 𝐶)))
223	101	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
224	223, 170, 213	divrec2d 12137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑛) / 𝐶) = ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛)))
225	1, 224	mpteq2da 5203	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴‘𝑛) / 𝐶)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))))
226	146, 212	reccld 12126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
227	81	mptex 7260	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))) ∈ V
228	227	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))) ∈ V)
229	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
230		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
231	230	fveq2d 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
232	230	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
233	232	fveq2d 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
234	230	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
235	234, 230	oveq12d 7469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
236	233, 235	oveq12d 7469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
237	231, 236	oveq12d 7469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
238		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
239		nnnn0 12653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ₀)
240		faccl 14468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
241		nncn 12383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
242	239, 240, 241	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
243		2cnd 12461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
244		nncn 12383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
245	243, 244	mulcld 11368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
246	245	sqrtcld 15651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
247	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
248	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → e ≠ 0)
249	244, 247, 248	divcld 12133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ∈ ℂ)
250	249, 239	expcld 14329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ∈ ℂ)
251	246, 250	mulcld 11368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ∈ ℂ)
252	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
253		nnrp 13172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ⁺)
254	252, 253	rpmulcld 13220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ⁺)
255	254	sqrtgt0d 15624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑘)))
256	255	gt0ne0d 11920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ≠ 0)
257		nnne0 12412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
258	244, 247, 257, 248	divne0d 12149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ≠ 0)
259		nnz 12754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
260	249, 258, 259	expne0d 14335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ≠ 0)
261	246, 250, 256, 260	mulne0d 12008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ≠ 0)
262	242, 251, 261	divcld 12133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ∈ ℂ)
263	229, 237, 238, 262	fvmptd 7032	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
264	263, 262	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
265	264	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
266		nfcv 2926	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))
267		nfcv 2926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛1
268		nfcv 2926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 /
269		nfcv 2926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝐶
270	267, 268, 269	nfov 7481	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(1 / 𝐶)
271		nfcv 2926	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ·
272		nfcv 2926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
273	45, 272	nffv 6926	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑘)
274	270, 271, 273	nfov 7481	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘))
275		fveq2 6916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑘))
276	275	oveq2d 7467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛)) = ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))
277	266, 274, 276	cbvmpt 5213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))
278	277	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘))))
279	278	fveq1d 6918	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))‘𝑘))
280		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
281	146	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
282	212	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ≠ 0)
283	281, 282	reccld 12126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
284	283, 265	mulcld 11368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
285		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))
286	285	fvmpt2 7036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))‘𝑘) = ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))
287	280, 284, 286	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))‘𝑘) = ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))
288	279, 287	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛)))‘𝑘) = ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))
289	41, 42, 79, 226, 228, 265, 288	climmulc2 15848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))) ⇝ ((1 / 𝐶) · 𝐶))
290	146, 212	recid2d 12129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐶) · 𝐶) = 1)
291	289, 290	breqtrd 5137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))) ⇝ 1)
292	225, 291	eqbrtrd 5133	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴‘𝑛) / 𝐶)) ⇝ 1)
293	222, 292	eqbrtrd 5133	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) ⇝ 1)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 = wceq 1570 Ⅎwnf 1816 ∈ wcel 2147 ≠ wne 2959 Vcvv 3454 class class class wbr 5108 ↦ cmpt 5192 ⟶wf 6562 ‘cfv 6566 (class class class)co 7451 ℂcc 11237 ℝcr 11238 0cc0 11239 1c1 11240 + caddc 11242 · cmul 11244 < clt 11382 ≤ cle 11383 − cmin 11580 / cdiv 12013 ℕcn 12375 2c2 12437 4c4 12439 ℕ₀cn0 12646 ℤcz 12733 ℝ⁺crp 13160 ↑cexp 14244 !cfa 14458 √csqrt 15443 ⇝ cli 15695 eceu 16272 πcpi 16276

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-rep 5238 ax-sep 5255 ax-nul 5266 ax-pow 5334 ax-pr 5398 ax-un 7783 ax-inf2 9679 ax-cc 10552 ax-cnex 11295 ax-resscn 11296 ax-1cn 11297 ax-icn 11298 ax-addcl 11299 ax-addrcl 11300 ax-mulcl 11301 ax-mulrcl 11302 ax-mulcom 11303 ax-addass 11304 ax-mulass 11305 ax-distr 11306 ax-i2m1 11307 ax-1ne0 11308 ax-1rid 11309 ax-rnegex 11310 ax-rrecex 11311 ax-cnre 11312 ax-pre-lttri 11313 ax-pre-lttrn 11314 ax-pre-ltadd 11315 ax-pre-mulgt0 11316 ax-pre-sup 11317 ax-addf 11318

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-symdif 4201 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-tp 4593 df-op 4841 df-uni 4873 df-int 4913 df-iun 4958 df-iin 4959 df-disj 5076 df-br 5109 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-se 5612 df-we 5613 df-xp 5664 df-rel 5665 df-cnv 5666 df-co 5667 df-dm 5668 df-rn 5669 df-res 5670 df-ima 5671 df-pred 6330 df-ord 6391 df-on 6392 df-lim 6393 df-suc 6394 df-iota 6520 df-fun 6568 df-fn 6569 df-f 6570 df-f1 6571 df-fo 6572 df-f1o 6573 df-fv 6574 df-isom 6575 df-riota 7408 df-ov 7454 df-oprab 7455 df-mpo 7456 df-of 7725 df-ofr 7726 df-om 7912 df-1st 8035 df-2nd 8036 df-supp 8215 df-frecs 8337 df-wrecs 8368 df-recs 8417 df-rdg 8456 df-1o 8514 df-2o 8515 df-oadd 8518 df-omul 8519 df-er 8755 df-map 8887 df-pm 8888 df-ixp 8964 df-en 9012 df-dom 9013 df-sdom 9014 df-fin 9015 df-fsupp 9392 df-fi 9440 df-sup 9471 df-inf 9472 df-oi 9541 df-dju 10019 df-card 10057 df-acn 10060 df-pnf 11384 df-mnf 11385 df-xr 11386 df-ltxr 11387 df-le 11388 df-sub 11582 df-neg 11583 df-div 12014 df-nn 12376 df-2 12445 df-3 12446 df-4 12447 df-5 12448 df-6 12449 df-7 12450 df-8 12451 df-9 12452 df-n0 12647 df-z 12734 df-dec 12855 df-uz 13006 df-q 13116 df-rp 13161 df-xneg 13281 df-xadd 13282 df-xmul 13283 df-ioo 13520 df-ioc 13521 df-ico 13522 df-icc 13523 df-fz 13680 df-fzo 13829 df-fl 13972 df-mod 14050 df-seq 14185 df-exp 14245 df-fac 14459 df-bc 14488 df-hash 14516 df-shft 15263 df-cj 15309 df-re 15310 df-im 15311 df-sqrt 15445 df-abs 15446 df-limsup 15682 df-clim 15699 df-rlim 15700 df-sum 15898 df-ef 16277 df-e 16278 df-sin 16279 df-cos 16280 df-pi 16282 df-struct 17369 df-sets 17386 df-slot 17404 df-ndx 17416 df-base 17432 df-ress 17453 df-plusg 17486 df-mulr 17487 df-starv 17488 df-sca 17489 df-vsca 17490 df-ip 17491 df-tset 17492 df-ple 17493 df-ds 17495 df-unif 17496 df-hom 17497 df-cco 17498 df-euf 17499 df-rest 17643 df-topn 17644 df-0g 17662 df-gsum 17663 df-topgen 17664 df-pt 17665 df-prds 17668 df-xrs 17724 df-qtop 17729 df-imas 17730 df-xps 17732 df-mre 17806 df-mrc 17807 df-acs 17809 df-mgm 18866 df-sgrp 18958 df-mnd 18974 df-submnd 19029 df-mulg 19328 df-cntz 19582 df-cmn 20047 df-psmet 21721 df-xmet 21722 df-met 21723 df-bl 21724 df-mopn 21725 df-fbas 21726 df-fg 21727 df-cnfld 21730 df-top 23267 df-topon 23284 df-topsp 23306 df-bases 23319 df-cld 23392 df-ntr 23393 df-cls 23394 df-nei 23471 df-lp 23509 df-perf 23510 df-cn 23600 df-cnp 23601 df-haus 23688 df-cmp 23760 df-tx 23936 df-hmeo 24129 df-fil 24220 df-fm 24312 df-flim 24313 df-flf 24314 df-xms 24694 df-ms 24695 df-tms 24696 df-cncf 25254 df-ovol 25840 df-vol 25841 df-mbf 25995 df-itg1 25996 df-itg2 25997 df-ibl 25998 df-itg 25999 df-0p 26046 df-limc 26241 df-dv 26242

This theorem is used by: stirling 47372

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