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Theorem stirlinglem15 40874
Description: The Stirling's formula is proven using a number of local definitions. The main theorem stirling 40875 will use this final lemma, but it will not expose the local definitions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem15.1 𝑛𝜑
stirlinglem15.2 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlinglem15.3 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem15.4 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
stirlinglem15.5 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlinglem15.6 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
stirlinglem15.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
stirlinglem15.8 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
stirlinglem15.9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
stirlinglem15.10 (𝜑𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
stirlinglem15 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))) ⇝ 1)
Distinct variable group:   𝐶,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem15
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem15.1 . . 3 𝑛𝜑
2 nnnn0 11546 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
32adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4 2cnd 11350 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
5 picn 24503 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
74, 6mulcld 10314 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · π) ∈ ℂ)
8 nncn 11283 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
98adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
107, 9mulcld 10314 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · π) · 𝑛) ∈ ℂ)
1110sqrtcld 14463 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((2 · π) · 𝑛)) ∈ ℂ)
12 ere 15103 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ
1312recni 10308 . . . . . . . . . . 11 e ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
15 epos 15219 . . . . . . . . . . . 12 0 < e
1612, 15gt0ne0ii 10818 . . . . . . . . . . 11 e ≠ 0
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
188, 14, 17divcld 11055 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
1918, 2expcld 13215 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
2019adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
2111, 20mulcld 10314 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
22 stirlinglem15.2 . . . . . . 7 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
2322fvmpt2 6480 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ) → (𝑆𝑛) = ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
243, 21, 23syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆𝑛) = ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
2524oveq2d 6858 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛)) = ((!‘𝑛) / ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
266sqrtcld 14463 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘π) ∈ ℂ)
27 2cnd 11350 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
2827, 8mulcld 10314 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
2928sqrtcld 14463 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
3029adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
3126, 30, 20mulassd 10317 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘π) · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
32 stirlinglem15.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
33 nfmpt1 4906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
3432, 33nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝐹
35 stirlinglem15.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
36 nfmpt1 4906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
3735, 36nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝐻
38 stirlinglem15.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
39 nfmpt1 4906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
4038, 39nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑉
41 nnuz 11923 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ = (ℤ‘1)
42 1zzd 11655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
43 stirlinglem15.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
44 nfmpt1 4906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4543, 44nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝐴
46 stirlinglem15.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
47 nfmpt1 4906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
4846, 47nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝐷
49 faccl 13274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
502, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
5150nnrpd 12068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℝ+)
52 2rp 12033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℝ+
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
54 nnrp 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
5553, 54rpmulcld 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
5655rpsqrtcld 14437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+)
57 epr 15220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e ∈ ℝ+
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
5954, 58rpdivcld 12087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℝ+)
60 nnz 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
6159, 60rpexpcld 13239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℝ+)
6256, 61rpmulcld 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℝ+)
6351, 62rpdivcld 12087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℝ+)
6443, 63fmpti 6572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴:ℕ⟶ℝ+
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴:ℕ⟶ℝ+)
66 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4))
67 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2))
6864a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝐴:ℕ⟶ℝ+)
69 2nn 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℕ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
7270, 71nnmulcld 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
7368, 72ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+)
7446fvmpt2 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+) → (𝐷𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
7573, 74mpdan 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
7675, 73eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ∈ ℝ+)
7776adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ ℝ+)
78 stirlinglem15.9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
79 stirlinglem15.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴𝐶)
801, 45, 48, 46, 65, 32, 66, 67, 77, 78, 79stirlinglem8 40867 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ⇝ (𝐶↑2))
81 nnex 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℕ ∈ V
8281mptex 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V
8338, 82eqeltri 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 ∈ V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉 ∈ V)
85 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
86 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
87 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
8835, 85, 86, 87stirlinglem1 40860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 ⇝ (1 / 2)
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻 ⇝ (1 / 2))
9050nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
9129, 19mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
9255sqrtgt0d 14438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
9392gt0ne0d 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
94 nnne0 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
958, 14, 94, 17divne0d 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
9618, 95, 60expne0d 13221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
9729, 19, 93, 96mulne0d 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
9890, 91, 97divcld 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
9943fvmpt2 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
10098, 99mpdan 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
101100, 98eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
102 4nn0 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ∈ ℕ0
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℕ0)
104101, 103expcld 13215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℂ)
10576rpcnd 12072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ∈ ℂ)
106105sqcld 13213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷𝑛)↑2) ∈ ℂ)
10776rpne0d 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ≠ 0)
108 2z 11656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℤ
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
110105, 107, 109expne0d 13221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷𝑛)↑2) ≠ 0)
111104, 106, 110divcld 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ ℂ)
11232fvmpt2 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ ℂ) → (𝐹𝑛) = (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
113111, 112mpdan 678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹𝑛) = (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
114113, 111eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
115114adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
1168sqcld 13213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
117 1cnd 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
11828, 117addcld 10313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
1198, 118mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
12072nnred 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
121 1red 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
12272nngt0d 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑛))
123 0lt1 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 1
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 1)
125120, 121, 122, 124addgt0d 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
126125gt0ne0d 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
1278, 118, 94, 126mulne0d 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)) ≠ 0)
128116, 119, 127divcld 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
12935fvmpt2 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ) → (𝐻𝑛) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
130128, 129mpdan 678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐻𝑛) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
131130, 128eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐻𝑛) ∈ ℂ)
132131adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻𝑛) ∈ ℂ)
133111, 128mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ ℂ)
134 stirlinglem15.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
13543, 46, 134, 38stirlinglem3 40862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
136135fvmpt2 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ ℂ) → (𝑉𝑛) = ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
137133, 136mpdan 678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑉𝑛) = ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
138113, 130oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹𝑛) · (𝐻𝑛)) = ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
139137, 138eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑉𝑛) = ((𝐹𝑛) · (𝐻𝑛)))
140139adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑉𝑛) = ((𝐹𝑛) · (𝐻𝑛)))
1411, 34, 37, 40, 41, 42, 80, 84, 89, 115, 132, 140climmulf 40406 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉 ⇝ ((𝐶↑2) · (1 / 2)))
14238wallispi2 40859 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 ⇝ (π / 2)
143 climuni 14570 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑉 ⇝ ((𝐶↑2) · (1 / 2)) ∧ 𝑉 ⇝ (π / 2)) → ((𝐶↑2) · (1 / 2)) = (π / 2))
144141, 142, 143sylancl 580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶↑2) · (1 / 2)) = (π / 2))
145144oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐶↑2) · (1 / 2)) / (1 / 2)) = ((π / 2) / (1 / 2)))
14678rpcnd 12072 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
147146sqcld 13213 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
148 1cnd 10288 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
149148halfcld 11523 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
150 2cnd 11350 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
151 2pos 11382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 2)
153152gt0ne0d 10846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≠ 0)
154150, 153recne0d 11049 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ≠ 0)
155147, 149, 154divcan4d 11061 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐶↑2) · (1 / 2)) / (1 / 2)) = (𝐶↑2))
1565a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → π ∈ ℂ)
157123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 1)
158157gt0ne0d 10846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≠ 0)
159156, 148, 150, 158, 153divcan7d 11083 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((π / 2) / (1 / 2)) = (π / 1))
160156div1d 11047 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (π / 1) = π)
161159, 160eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((π / 2) / (1 / 2)) = π)
162145, 155, 1613eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) = π)
163162fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (√‘(𝐶↑2)) = (√‘π))
16478rprege0d 12077 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
165 sqrtsq 14297 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → (√‘(𝐶↑2)) = 𝐶)
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (√‘(𝐶↑2)) = 𝐶)
167163, 166eqtr3d 2801 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (√‘π) = 𝐶)
168167adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘π) = 𝐶)
169168oveq1d 6857 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘π) · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝐶 · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
170146adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
17191adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
172170, 171mulcomd 10315 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶))
17331, 169, 1723eqtrd 2803 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶))
174173oveq2d 6858 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑛) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶)))
175 2re 11346 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
176175a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
177 pire 24502 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ
178177a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
179176, 178remulcld 10324 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · π) ∈ ℝ)
180 0le2 11381 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
181180a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 2)
182 0re 10295 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
183 pipos 24504 . . . . . . . . . . . 12 0 < π
184182, 177, 183ltleii 10414 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ π
185184a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ π)
186176, 178, 181, 185mulge0d 10858 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (2 · π))
1873nn0red 11599 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
1883nn0ge0d 11601 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑛)
189179, 186, 187, 188sqrtmuld 14450 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((2 · π) · 𝑛)) = ((√‘(2 · π)) · (√‘𝑛)))
190176, 181, 178, 185sqrtmuld 14450 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · π)) = ((√‘2) · (√‘π)))
191190oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · π)) · (√‘𝑛)) = (((√‘2) · (√‘π)) · (√‘𝑛)))
1924sqrtcld 14463 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘2) ∈ ℂ)
1939sqrtcld 14463 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘𝑛) ∈ ℂ)
194192, 26, 193mulassd 10317 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((√‘2) · (√‘π)) · (√‘𝑛)) = ((√‘2) · ((√‘π) · (√‘𝑛))))
195192, 26, 193mul12d 10499 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘2) · ((√‘π) · (√‘𝑛))) = ((√‘π) · ((√‘2) · (√‘𝑛))))
196176, 181, 187, 188sqrtmuld 14450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · 𝑛)) = ((√‘2) · (√‘𝑛)))
197196eqcomd 2771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘2) · (√‘𝑛)) = (√‘(2 · 𝑛)))
198197oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘π) · ((√‘2) · (√‘𝑛))) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
199195, 198eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘2) · ((√‘π) · (√‘𝑛))) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
200191, 194, 1993eqtrd 2803 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · π)) · (√‘𝑛)) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
201189, 200eqtrd 2799 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((2 · π) · 𝑛)) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
202201oveq1d 6857 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
203202oveq2d 6858 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑛) / (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
20490adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
20593adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
20613a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → e ∈ ℂ)
20716a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → e ≠ 0)
2089, 206, 207divcld 11055 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
20994adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
2109, 206, 209, 207divne0d 11071 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 / e) ≠ 0)
21160adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
212208, 210, 211expne0d 13221 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
21330, 20, 205, 212mulne0d 10933 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
21478rpne0d 12075 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ≠ 0)
215214adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ≠ 0)
216204, 171, 170, 213, 215divdiv1d 11086 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) / 𝐶) = ((!‘𝑛) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶)))
217174, 203, 2163eqtr4d 2809 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) / 𝐶))
21898ancli 544 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ))
219218adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ))
220219, 99syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
221220eqcomd 2771 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝐴𝑛))
222221oveq1d 6857 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) / 𝐶) = ((𝐴𝑛) / 𝐶))
22325, 217, 2223eqtrd 2803 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛)) = ((𝐴𝑛) / 𝐶))
2241, 223mpteq2da 4902 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛) / 𝐶)))
225101adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
226225, 170, 215divrec2d 11059 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛) / 𝐶) = ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛)))
2271, 226mpteq2da 4902 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛) / 𝐶)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))))
228146, 214reccld 11048 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
22981mptex 6679 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))) ∈ V
230229a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))) ∈ V)
23143a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
232 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
233232fveq2d 6379 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
234232oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
235234fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
236232oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
237236, 232oveq12d 6860 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
238235, 237oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
239233, 238oveq12d 6860 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
240 id 22 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
241 nnnn0 11546 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
242 faccl 13274 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
243 nncn 11283 . . . . . . . . . 10 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
244241, 242, 2433syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
245 2cnd 11350 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
246 nncn 11283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
247245, 246mulcld 10314 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
248247sqrtcld 14463 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
24913a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
25016a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → e ≠ 0)
251246, 249, 250divcld 11055 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ∈ ℂ)
252251, 241expcld 13215 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ∈ ℂ)
253248, 252mulcld 10314 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ∈ ℂ)
25452a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
255 nnrp 12041 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
256254, 255rpmulcld 12086 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ+)
257256sqrtgt0d 14438 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑘)))
258257gt0ne0d 10846 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ≠ 0)
259 nnne0 11310 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
260246, 249, 259, 250divne0d 11071 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ≠ 0)
261 nnz 11646 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
262251, 260, 261expne0d 13221 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ≠ 0)
263248, 252, 258, 262mulne0d 10933 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ≠ 0)
264244, 253, 263divcld 11055 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ∈ ℂ)
265231, 239, 240, 264fvmptd 6477 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
266265, 264eqeltrd 2844 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
267266adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
268 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑘((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))
269 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑛1
270 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑛 /
271 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝐶
272269, 270, 271nfov 6872 . . . . . . . . . 10 𝑛(1 / 𝐶)
273 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛 ·
274 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑘
27545, 274nffv 6385 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝐴𝑘)
276272, 273, 275nfov 6872 . . . . . . . . 9 𝑛((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘))
277 fveq2 6375 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
278277oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛)) = ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))
279268, 276, 278cbvmpt 4908 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))
280279a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘))))
281280fveq1d 6377 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛)))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))‘𝑘))
282 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
283146adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
284214adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ≠ 0)
285283, 284reccld 11048 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
286285, 267mulcld 10314 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
287 eqid 2765 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))
288287fvmpt2 6480 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))‘𝑘) = ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))
289282, 286, 288syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))‘𝑘) = ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))
290281, 289eqtrd 2799 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛)))‘𝑘) = ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))
29141, 42, 79, 228, 230, 267, 290climmulc2 14654 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))) ⇝ ((1 / 𝐶) · 𝐶))
292146, 214recid2d 11051 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 𝐶) · 𝐶) = 1)
293291, 292breqtrd 4835 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))) ⇝ 1)
294227, 293eqbrtrd 4831 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛) / 𝐶)) ⇝ 1)
295224, 294eqbrtrd 4831 1 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))) ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wnf 1878  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350   class class class wbr 4809  cmpt 4888  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  4c4 11329  0cn0 11538  cz 11624  +crp 12028  cexp 13067  !cfa 13264  csqrt 14260  cli 14502  eceu 15077  πcpi 15081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-symdif 4005  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-ef 15082  df-e 15083  df-sin 15084  df-cos 15085  df-pi 15087  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-ovol 23522  df-vol 23523  df-mbf 23677  df-itg1 23678  df-itg2 23679  df-ibl 23680  df-itg 23681  df-0p 23728  df-limc 23921  df-dv 23922
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