stirlinglem15 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem15 42730

Description: The Stirling's formula is proven using a number of local definitions. The main theorem stirling 42731 will use this final lemma, but it will not expose the local definitions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem15.1	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
stirlinglem15.2	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlinglem15.3	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem15.4	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
stirlinglem15.5	⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlinglem15.6	⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
stirlinglem15.7	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)))
stirlinglem15.8	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
stirlinglem15.9	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
stirlinglem15.10	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⇝ 𝐶)

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem15	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) ⇝ 1)

Distinct variable group: 𝐶,𝑛 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑛) 𝐴(𝑛) 𝐷(𝑛) 𝑆(𝑛) 𝐸(𝑛) 𝐹(𝑛) 𝐻(𝑛) 𝑉(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem15 Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stirlinglem15.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		nnnn0 11892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ₀)
3	2	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
4		2cnd 11703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
5		picn 25052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
7	4, 6	mulcld 10650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · π) ∈ ℂ)
8		nncn 11633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
9	8	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 10650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · π) · 𝑛) ∈ ℂ)
11	10	sqrtcld 14789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((2 · π) · 𝑛)) ∈ ℂ)
12		ere 15434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ
13	12	recni 10644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ e ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
15		epos 15552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < e
16	12, 15	gt0ne0ii 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ e ≠ 0
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
18	8, 14, 17	divcld 11405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
19	18, 2	expcld 13506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
20	19	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
21	11, 20	mulcld 10650	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
22		stirlinglem15.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
23	22	fvmpt2 6756	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ₀ ∧ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ) → (𝑆‘𝑛) = ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
24	3, 21, 23	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑛) = ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
25	24	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛)) = ((!‘𝑛) / ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
26	6	sqrtcld 14789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘π) ∈ ℂ)
27		2cnd 11703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
28	27, 8	mulcld 10650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
29	28	sqrtcld 14789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
30	29	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
31	26, 30, 20	mulassd 10653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘π) · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
32		stirlinglem15.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)))
33		nfmpt1 5128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)))
34	32, 33	nfcxfr 2953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
35		stirlinglem15.8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
36		nfmpt1 5128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
37	35, 36	nfcxfr 2953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛𝐻
38		stirlinglem15.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
39		nfmpt1 5128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
40	38, 39	nfcxfr 2953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛𝑉
41		nnuz 12269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
42		1zzd 12001	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
43		stirlinglem15.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
44		nfmpt1 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
45	43, 44	nfcxfr 2953	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
46		stirlinglem15.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
47		nfmpt1 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
48	46, 47	nfcxfr 2953	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛𝐷
49		faccl 13639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
50	2, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
51	50	nnrpd 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℝ⁺)
52		2rp 12382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
54		nnrp 12388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
55	53, 54	rpmulcld 12435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ⁺)
56	55	rpsqrtcld 14763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺)
57		epr 15553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ e ∈ ℝ⁺
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℝ⁺)
59	54, 58	rpdivcld 12436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℝ⁺)
60		nnz 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
61	59, 60	rpexpcld 13604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℝ⁺)
62	56, 61	rpmulcld 12435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℝ⁺)
63	51, 62	rpdivcld 12436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℝ⁺)
64	43, 63	fmpti 6853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐴:ℕ⟶ℝ⁺
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ⟶ℝ⁺)
66		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴‘𝑛)↑4)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴‘𝑛)↑4))
67		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷‘𝑛)↑2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷‘𝑛)↑2))
68	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝐴:ℕ⟶ℝ⁺)
69		2nn 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℕ
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
71		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
72	70, 71	nnmulcld 11678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
73	68, 72	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺)
74	46	fvmpt2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺) → (𝐷‘𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
75	73, 74	mpdan 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
76	75, 73	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ∈ ℝ⁺)
77	76	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑛) ∈ ℝ⁺)
78		stirlinglem15.9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
79		stirlinglem15.10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⇝ 𝐶)
80	1, 45, 48, 46, 65, 32, 66, 67, 77, 78, 79	stirlinglem8 42723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (𝐶↑2))
81		nnex 11631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ ∈ V
82	81	mptex 6963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V
83	38, 82	eqeltri 2886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑉 ∈ V
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
85		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
86		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
87		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
88	35, 85, 86, 87	stirlinglem1 42716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 ⇝ (1 / 2)
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 2))
90	50	nncnd 11641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
91	29, 19	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
92	55	sqrtgt0d 14764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
93	92	gt0ne0d 11193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
94		nnne0 11659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
95	8, 14, 94, 17	divne0d 11421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
96	18, 95, 60	expne0d 13512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
97	29, 19, 93, 96	mulne0d 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
98	90, 91, 97	divcld 11405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
99	43	fvmpt2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
100	98, 99	mpdan 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
101	100, 98	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
102		4nn0 11904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℕ₀)
104	101, 103	expcld 13506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴‘𝑛)↑4) ∈ ℂ)
105	76	rpcnd 12421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ∈ ℂ)
106	105	sqcld 13504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷‘𝑛)↑2) ∈ ℂ)
107	76	rpne0d 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ≠ 0)
108		2z 12002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℤ
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
110	105, 107, 109	expne0d 13512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷‘𝑛)↑2) ≠ 0)
111	104, 106, 110	divcld 11405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) ∈ ℂ)
112	32	fvmpt2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑛) = (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)))
113	111, 112	mpdan 686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑛) = (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)))
114	113, 111	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
115	114	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
116	8	sqcld 13504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
117		1cnd 10625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
118	28, 117	addcld 10649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
119	8, 118	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
120	72	nnred 11640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
121		1red 10631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
122	72	nngt0d 11674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑛))
123		0lt1 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 1
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 1)
125	120, 121, 122, 124	addgt0d 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
126	125	gt0ne0d 11193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
127	8, 118, 94, 126	mulne0d 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)) ≠ 0)
128	116, 119, 127	divcld 11405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
129	35	fvmpt2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ) → (𝐻‘𝑛) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
130	128, 129	mpdan 686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑛) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
131	130, 128	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑛) ∈ ℂ)
132	131	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑛) ∈ ℂ)
133	111, 128	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ ℂ)
134		stirlinglem15.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
135	43, 46, 134, 38	stirlinglem3 42718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
136	135	fvmpt2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ ℂ) → (𝑉‘𝑛) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
137	133, 136	mpdan 686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑉‘𝑛) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
138	113, 130	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑛) · (𝐻‘𝑛)) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
139	137, 138	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑉‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) · (𝐻‘𝑛)))
140	139	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑉‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) · (𝐻‘𝑛)))
141	1, 34, 37, 40, 41, 42, 80, 84, 89, 115, 132, 140	climmulf 42246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⇝ ((𝐶↑2) · (1 / 2)))
142	38	wallispi2 42715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 ⇝ (π / 2)
143		climuni 14901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑉 ⇝ ((𝐶↑2) · (1 / 2)) ∧ 𝑉 ⇝ (π / 2)) → ((𝐶↑2) · (1 / 2)) = (π / 2))
144	141, 142, 143	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · (1 / 2)) = (π / 2))
145	144	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) · (1 / 2)) / (1 / 2)) = ((π / 2) / (1 / 2)))
146	78	rpcnd 12421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
147	146	sqcld 13504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
148		1cnd 10625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
149	148	halfcld 11870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
150		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
151		2pos 11728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 2
152	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
153	152	gt0ne0d 11193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
154	150, 153	recne0d 11399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ≠ 0)
155	147, 149, 154	divcan4d 11411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) · (1 / 2)) / (1 / 2)) = (𝐶↑2))
156	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
157	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
158	157	gt0ne0d 11193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
159	156, 148, 150, 158, 153	divcan7d 11433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((π / 2) / (1 / 2)) = (π / 1))
160	156	div1d 11397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (π / 1) = π)
161	159, 160	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((π / 2) / (1 / 2)) = π)
162	145, 155, 161	3eqtr3d 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = π)
163	162	fveq2d 6649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐶↑2)) = (√‘π))
164	78	rprege0d 12426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
165		sqrtsq 14621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → (√‘(𝐶↑2)) = 𝐶)
166	164, 165	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐶↑2)) = 𝐶)
167	163, 166	eqtr3d 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (√‘π) = 𝐶)
168	167	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘π) = 𝐶)
169	168	oveq1d 7150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘π) · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝐶 · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
170	146	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
171	91	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
172	170, 171	mulcomd 10651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶))
173	31, 169, 172	3eqtrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶))
174	173	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑛) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶)))
175		2re 11699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
176	175	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
177		pire 25051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
179	176, 178	remulcld 10660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · π) ∈ ℝ)
180		0le2 11727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
181	180	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 2)
182		0re 10632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
183		pipos 25053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < π
184	182, 177, 183	ltleii 10752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ π
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ π)
186	176, 178, 181, 185	mulge0d 11206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (2 · π))
187	3	nn0red 11944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
188	3	nn0ge0d 11946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑛)
189	179, 186, 187, 188	sqrtmuld 14776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((2 · π) · 𝑛)) = ((√‘(2 · π)) · (√‘𝑛)))
190	176, 181, 178, 185	sqrtmuld 14776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · π)) = ((√‘2) · (√‘π)))
191	190	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · π)) · (√‘𝑛)) = (((√‘2) · (√‘π)) · (√‘𝑛)))
192	4	sqrtcld 14789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘2) ∈ ℂ)
193	9	sqrtcld 14789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘𝑛) ∈ ℂ)
194	192, 26, 193	mulassd 10653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((√‘2) · (√‘π)) · (√‘𝑛)) = ((√‘2) · ((√‘π) · (√‘𝑛))))
195	192, 26, 193	mul12d 10838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘2) · ((√‘π) · (√‘𝑛))) = ((√‘π) · ((√‘2) · (√‘𝑛))))
196	176, 181, 187, 188	sqrtmuld 14776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · 𝑛)) = ((√‘2) · (√‘𝑛)))
197	196	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘2) · (√‘𝑛)) = (√‘(2 · 𝑛)))
198	197	oveq2d 7151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘π) · ((√‘2) · (√‘𝑛))) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
199	195, 198	eqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘2) · ((√‘π) · (√‘𝑛))) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
200	191, 194, 199	3eqtrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · π)) · (√‘𝑛)) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
201	189, 200	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((2 · π) · 𝑛)) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
202	201	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
203	202	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑛) / (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
204	90	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
205	93	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
206	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → e ∈ ℂ)
207	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → e ≠ 0)
208	9, 206, 207	divcld 11405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
209	94	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
210	9, 206, 209, 207	divne0d 11421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 / e) ≠ 0)
211	60	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
212	208, 210, 211	expne0d 13512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
213	30, 20, 205, 212	mulne0d 11281	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
214	78	rpne0d 12424	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
215	214	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ≠ 0)
216	204, 171, 170, 213, 215	divdiv1d 11436	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) / 𝐶) = ((!‘𝑛) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶)))
217	174, 203, 216	3eqtr4d 2843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) / 𝐶))
218	98	ancli 552	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ))
219	218	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ))
220	219, 99	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
221	220	eqcomd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝐴‘𝑛))
222	221	oveq1d 7150	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) / 𝐶) = ((𝐴‘𝑛) / 𝐶))
223	25, 217, 222	3eqtrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) / 𝐶))
224	1, 223	mpteq2da 5124	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴‘𝑛) / 𝐶)))
225	101	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
226	225, 170, 215	divrec2d 11409	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑛) / 𝐶) = ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛)))
227	1, 226	mpteq2da 5124	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴‘𝑛) / 𝐶)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))))
228	146, 214	reccld 11398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
229	81	mptex 6963	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))) ∈ V
230	229	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))) ∈ V)
231	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
232		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
233	232	fveq2d 6649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
234	232	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
235	234	fveq2d 6649	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
236	232	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
237	236, 232	oveq12d 7153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
238	235, 237	oveq12d 7153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
239	233, 238	oveq12d 7153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
240		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
241		nnnn0 11892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ₀)
242		faccl 13639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
243		nncn 11633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
244	241, 242, 243	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
245		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
246		nncn 11633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
247	245, 246	mulcld 10650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
248	247	sqrtcld 14789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
249	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
250	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → e ≠ 0)
251	246, 249, 250	divcld 11405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ∈ ℂ)
252	251, 241	expcld 13506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ∈ ℂ)
253	248, 252	mulcld 10650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ∈ ℂ)
254	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
255		nnrp 12388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ⁺)
256	254, 255	rpmulcld 12435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ⁺)
257	256	sqrtgt0d 14764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑘)))
258	257	gt0ne0d 11193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ≠ 0)
259		nnne0 11659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
260	246, 249, 259, 250	divne0d 11421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ≠ 0)
261		nnz 11992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
262	251, 260, 261	expne0d 13512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ≠ 0)
263	248, 252, 258, 262	mulne0d 11281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ≠ 0)
264	244, 253, 263	divcld 11405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ∈ ℂ)
265	231, 239, 240, 264	fvmptd 6752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
266	265, 264	eqeltrd 2890	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
267	266	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
268		nfcv 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))
269		nfcv 2955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛1
270		nfcv 2955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 /
271		nfcv 2955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝐶
272	269, 270, 271	nfov 7165	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(1 / 𝐶)
273		nfcv 2955	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ·
274		nfcv 2955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
275	45, 274	nffv 6655	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑘)
276	272, 273, 275	nfov 7165	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘))
277		fveq2 6645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑘))
278	277	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛)) = ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))
279	268, 276, 278	cbvmpt 5131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))
280	279	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘))))
281	280	fveq1d 6647	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))‘𝑘))
282		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
283	146	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
284	214	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ≠ 0)
285	283, 284	reccld 11398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
286	285, 267	mulcld 10650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
287		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))
288	287	fvmpt2 6756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))‘𝑘) = ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))
289	282, 286, 288	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))‘𝑘) = ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))
290	281, 289	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛)))‘𝑘) = ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))
291	41, 42, 79, 228, 230, 267, 290	climmulc2 14985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))) ⇝ ((1 / 𝐶) · 𝐶))
292	146, 214	recid2d 11401	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐶) · 𝐶) = 1)
293	291, 292	breqtrd 5056	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))) ⇝ 1)
294	227, 293	eqbrtrd 5052	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴‘𝑛) / 𝐶)) ⇝ 1)
295	224, 294	eqbrtrd 5052	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) ⇝ 1)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 = wceq 1538 Ⅎwnf 1785 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2987 Vcvv 3441 class class class wbr 5030 ↦ cmpt 5110 ⟶wf 6320 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 ℂcc 10524 ℝcr 10525 0cc0 10526 1c1 10527 + caddc 10529 · cmul 10531 < clt 10664 ≤ cle 10665 − cmin 10859 / cdiv 11286 ℕcn 11625 2c2 11680 4c4 11682 ℕ₀cn0 11885 ℤcz 11969 ℝ⁺crp 12377 ↑cexp 13425 !cfa 13629 √csqrt 14584 ⇝ cli 14833 eceu 15408 πcpi 15412

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-rep 5154 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-inf2 9088 ax-cc 9846 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603 ax-pre-sup 10604 ax-addf 10605 ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-fal 1551 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-symdif 4169 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-int 4839 df-iun 4883 df-iin 4884 df-disj 4996 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-se 5479 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-isom 6333 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-of 7389 df-ofr 7390 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-supp 7814 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-1o 8085 df-2o 8086 df-oadd 8089 df-omul 8090 df-er 8272 df-map 8391 df-pm 8392 df-ixp 8445 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-fin 8496 df-fsupp 8818 df-fi 8859 df-sup 8890 df-inf 8891 df-oi 8958 df-dju 9314 df-card 9352 df-acn 9355 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-div 11287 df-nn 11626 df-2 11688 df-3 11689 df-4 11690 df-5 11691 df-6 11692 df-7 11693 df-8 11694 df-9 11695 df-n0 11886 df-z 11970 df-dec 12087 df-uz 12232 df-q 12337 df-rp 12378 df-xneg 12495 df-xadd 12496 df-xmul 12497 df-ioo 12730 df-ioc 12731 df-ico 12732 df-icc 12733 df-fz 12886 df-fzo 13029 df-fl 13157 df-mod 13233 df-seq 13365 df-exp 13426 df-fac 13630 df-bc 13659 df-hash 13687 df-shft 14418 df-cj 14450 df-re 14451 df-im 14452 df-sqrt 14586 df-abs 14587 df-limsup 14820 df-clim 14837 df-rlim 14838 df-sum 15035 df-ef 15413 df-e 15414 df-sin 15415 df-cos 15416 df-pi 15418 df-struct 16477 df-ndx 16478 df-slot 16479 df-base 16481 df-sets 16482 df-ress 16483 df-plusg 16570 df-mulr 16571 df-starv 16572 df-sca 16573 df-vsca 16574 df-ip 16575 df-tset 16576 df-ple 16577 df-ds 16579 df-unif 16580 df-hom 16581 df-cco 16582 df-rest 16688 df-topn 16689 df-0g 16707 df-gsum 16708 df-topgen 16709 df-pt 16710 df-prds 16713 df-xrs 16767 df-qtop 16772 df-imas 16773 df-xps 16775 df-mre 16849 df-mrc 16850 df-acs 16852 df-mgm 17844 df-sgrp 17893 df-mnd 17904 df-submnd 17949 df-mulg 18217 df-cntz 18439 df-cmn 18900 df-psmet 20083 df-xmet 20084 df-met 20085 df-bl 20086 df-mopn 20087 df-fbas 20088 df-fg 20089 df-cnfld 20092 df-top 21499 df-topon 21516 df-topsp 21538 df-bases 21551 df-cld 21624 df-ntr 21625 df-cls 21626 df-nei 21703 df-lp 21741 df-perf 21742 df-cn 21832 df-cnp 21833 df-haus 21920 df-cmp 21992 df-tx 22167 df-hmeo 22360 df-fil 22451 df-fm 22543 df-flim 22544 df-flf 22545 df-xms 22927 df-ms 22928 df-tms 22929 df-cncf 23483 df-ovol 24068 df-vol 24069 df-mbf 24223 df-itg1 24224 df-itg2 24225 df-ibl 24226 df-itg 24227 df-0p 24274 df-limc 24469 df-dv 24470

This theorem is referenced by: stirling 42731

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