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Theorem stirlinglem15 46044
Description: The Stirling's formula is proven using a number of local definitions. The main theorem stirling 46045 will use this final lemma, but it will not expose the local definitions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem15.1 𝑛𝜑
stirlinglem15.2 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlinglem15.3 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem15.4 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
stirlinglem15.5 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlinglem15.6 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
stirlinglem15.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
stirlinglem15.8 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
stirlinglem15.9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
stirlinglem15.10 (𝜑𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
stirlinglem15 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))) ⇝ 1)
Distinct variable group:   𝐶,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem15
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem15.1 . . 3 𝑛𝜑
2 nnnn0 12531 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
32adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4 2cnd 12342 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
5 picn 26516 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
74, 6mulcld 11279 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · π) ∈ ℂ)
8 nncn 12272 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
107, 9mulcld 11279 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · π) · 𝑛) ∈ ℂ)
1110sqrtcld 15473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((2 · π) · 𝑛)) ∈ ℂ)
12 ere 16122 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ
1312recni 11273 . . . . . . . . . . 11 e ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
15 epos 16240 . . . . . . . . . . . 12 0 < e
1612, 15gt0ne0ii 11797 . . . . . . . . . . 11 e ≠ 0
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
188, 14, 17divcld 12041 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
1918, 2expcld 14183 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
2019adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
2111, 20mulcld 11279 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
22 stirlinglem15.2 . . . . . . 7 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
2322fvmpt2 7027 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ) → (𝑆𝑛) = ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
243, 21, 23syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆𝑛) = ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
2524oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛)) = ((!‘𝑛) / ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
266sqrtcld 15473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘π) ∈ ℂ)
27 2cnd 12342 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
2827, 8mulcld 11279 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
2928sqrtcld 15473 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
3029adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
3126, 30, 20mulassd 11282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘π) · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
32 stirlinglem15.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
33 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
3432, 33nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝐹
35 stirlinglem15.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
36 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
3735, 36nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝐻
38 stirlinglem15.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
39 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
4038, 39nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑉
41 nnuz 12919 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ = (ℤ‘1)
42 1zzd 12646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
43 stirlinglem15.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
44 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4543, 44nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝐴
46 stirlinglem15.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
47 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
4846, 47nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝐷
49 faccl 14319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
502, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
5150nnrpd 13073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℝ+)
52 2rp 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℝ+
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
54 nnrp 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
5553, 54rpmulcld 13091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
5655rpsqrtcld 15447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+)
57 epr 16241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e ∈ ℝ+
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
5954, 58rpdivcld 13092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℝ+)
60 nnz 12632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
6159, 60rpexpcld 14283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℝ+)
6256, 61rpmulcld 13091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℝ+)
6351, 62rpdivcld 13092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℝ+)
6443, 63fmpti 7132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴:ℕ⟶ℝ+
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴:ℕ⟶ℝ+)
66 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4))
67 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2))
6864a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝐴:ℕ⟶ℝ+)
69 2nn 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℕ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
7270, 71nnmulcld 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
7368, 72ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+)
7446fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+) → (𝐷𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
7573, 74mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
7675, 73eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ∈ ℝ+)
7776adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ ℝ+)
78 stirlinglem15.9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
79 stirlinglem15.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴𝐶)
801, 45, 48, 46, 65, 32, 66, 67, 77, 78, 79stirlinglem8 46037 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ⇝ (𝐶↑2))
81 nnex 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℕ ∈ V
8281mptex 7243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V
8338, 82eqeltri 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 ∈ V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉 ∈ V)
85 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
86 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
87 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
8835, 85, 86, 87stirlinglem1 46030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 ⇝ (1 / 2)
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻 ⇝ (1 / 2))
9050nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
9129, 19mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
9255sqrtgt0d 15448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
9392gt0ne0d 11825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
94 nnne0 12298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
958, 14, 94, 17divne0d 12057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
9618, 95, 60expne0d 14189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
9729, 19, 93, 96mulne0d 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
9890, 91, 97divcld 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
9943fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
10098, 99mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
101100, 98eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
102 4nn0 12543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ∈ ℕ0
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℕ0)
104101, 103expcld 14183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℂ)
10576rpcnd 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ∈ ℂ)
106105sqcld 14181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷𝑛)↑2) ∈ ℂ)
10776rpne0d 13080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ≠ 0)
108 2z 12647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℤ
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
110105, 107, 109expne0d 14189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷𝑛)↑2) ≠ 0)
111104, 106, 110divcld 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ ℂ)
11232fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ ℂ) → (𝐹𝑛) = (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
113111, 112mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹𝑛) = (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
114113, 111eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
115114adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
1168sqcld 14181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
117 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
11828, 117addcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
1198, 118mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
12072nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
121 1red 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
12272nngt0d 12313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑛))
123 0lt1 11783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 1
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 1)
125120, 121, 122, 124addgt0d 11836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
126125gt0ne0d 11825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
1278, 118, 94, 126mulne0d 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)) ≠ 0)
128116, 119, 127divcld 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
12935fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ) → (𝐻𝑛) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
130128, 129mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐻𝑛) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
131130, 128eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐻𝑛) ∈ ℂ)
132131adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻𝑛) ∈ ℂ)
133111, 128mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ ℂ)
134 stirlinglem15.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
13543, 46, 134, 38stirlinglem3 46032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
136135fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ ℂ) → (𝑉𝑛) = ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
137133, 136mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑉𝑛) = ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
138113, 130oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹𝑛) · (𝐻𝑛)) = ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
139137, 138eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑉𝑛) = ((𝐹𝑛) · (𝐻𝑛)))
140139adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑉𝑛) = ((𝐹𝑛) · (𝐻𝑛)))
1411, 34, 37, 40, 41, 42, 80, 84, 89, 115, 132, 140climmulf 45560 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉 ⇝ ((𝐶↑2) · (1 / 2)))
14238wallispi2 46029 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 ⇝ (π / 2)
143 climuni 15585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑉 ⇝ ((𝐶↑2) · (1 / 2)) ∧ 𝑉 ⇝ (π / 2)) → ((𝐶↑2) · (1 / 2)) = (π / 2))
144141, 142, 143sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶↑2) · (1 / 2)) = (π / 2))
145144oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐶↑2) · (1 / 2)) / (1 / 2)) = ((π / 2) / (1 / 2)))
14678rpcnd 13077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
147146sqcld 14181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
148 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
149148halfcld 12509 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
150 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
151 2pos 12367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 2)
153152gt0ne0d 11825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≠ 0)
154150, 153recne0d 12035 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ≠ 0)
155147, 149, 154divcan4d 12047 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐶↑2) · (1 / 2)) / (1 / 2)) = (𝐶↑2))
1565a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → π ∈ ℂ)
157123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 1)
158157gt0ne0d 11825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≠ 0)
159156, 148, 150, 158, 153divcan7d 12069 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((π / 2) / (1 / 2)) = (π / 1))
160156div1d 12033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (π / 1) = π)
161159, 160eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((π / 2) / (1 / 2)) = π)
162145, 155, 1613eqtr3d 2783 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) = π)
163162fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (√‘(𝐶↑2)) = (√‘π))
16478rprege0d 13082 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
165 sqrtsq 15305 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → (√‘(𝐶↑2)) = 𝐶)
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (√‘(𝐶↑2)) = 𝐶)
167163, 166eqtr3d 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (√‘π) = 𝐶)
168167adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘π) = 𝐶)
169168oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘π) · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝐶 · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
170146adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
17191adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
172170, 171mulcomd 11280 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶))
17331, 169, 1723eqtrd 2779 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶))
174173oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑛) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶)))
175 2re 12338 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
176175a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
177 pire 26515 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ
178177a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
179176, 178remulcld 11289 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · π) ∈ ℝ)
180 0le2 12366 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
181180a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 2)
182 0re 11261 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
183 pipos 26517 . . . . . . . . . . . 12 0 < π
184182, 177, 183ltleii 11382 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ π
185184a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ π)
186176, 178, 181, 185mulge0d 11838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (2 · π))
1873nn0red 12586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
1883nn0ge0d 12588 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑛)
189179, 186, 187, 188sqrtmuld 15460 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((2 · π) · 𝑛)) = ((√‘(2 · π)) · (√‘𝑛)))
190176, 181, 178, 185sqrtmuld 15460 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · π)) = ((√‘2) · (√‘π)))
191190oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · π)) · (√‘𝑛)) = (((√‘2) · (√‘π)) · (√‘𝑛)))
1924sqrtcld 15473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘2) ∈ ℂ)
1939sqrtcld 15473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘𝑛) ∈ ℂ)
194192, 26, 193mulassd 11282 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((√‘2) · (√‘π)) · (√‘𝑛)) = ((√‘2) · ((√‘π) · (√‘𝑛))))
195192, 26, 193mul12d 11468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘2) · ((√‘π) · (√‘𝑛))) = ((√‘π) · ((√‘2) · (√‘𝑛))))
196176, 181, 187, 188sqrtmuld 15460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · 𝑛)) = ((√‘2) · (√‘𝑛)))
197196eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘2) · (√‘𝑛)) = (√‘(2 · 𝑛)))
198197oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘π) · ((√‘2) · (√‘𝑛))) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
199195, 198eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘2) · ((√‘π) · (√‘𝑛))) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
200191, 194, 1993eqtrd 2779 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · π)) · (√‘𝑛)) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
201189, 200eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((2 · π) · 𝑛)) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
202201oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
203202oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑛) / (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
20490adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
20593adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
20613a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → e ∈ ℂ)
20716a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → e ≠ 0)
2089, 206, 207divcld 12041 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
20994adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
2109, 206, 209, 207divne0d 12057 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 / e) ≠ 0)
21160adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
212208, 210, 211expne0d 14189 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
21330, 20, 205, 212mulne0d 11913 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
21478rpne0d 13080 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ≠ 0)
215214adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ≠ 0)
216204, 171, 170, 213, 215divdiv1d 12072 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) / 𝐶) = ((!‘𝑛) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶)))
217174, 203, 2163eqtr4d 2785 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) / 𝐶))
21898ancli 548 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ))
219218adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ))
220219, 99syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
221220eqcomd 2741 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝐴𝑛))
222221oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) / 𝐶) = ((𝐴𝑛) / 𝐶))
22325, 217, 2223eqtrd 2779 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛)) = ((𝐴𝑛) / 𝐶))
2241, 223mpteq2da 5246 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛) / 𝐶)))
225101adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
226225, 170, 215divrec2d 12045 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛) / 𝐶) = ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛)))
2271, 226mpteq2da 5246 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛) / 𝐶)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))))
228146, 214reccld 12034 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
22981mptex 7243 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))) ∈ V
230229a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))) ∈ V)
23143a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
232 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
233232fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
234232oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
235234fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
236232oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
237236, 232oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
238235, 237oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
239233, 238oveq12d 7449 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
240 id 22 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
241 nnnn0 12531 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
242 faccl 14319 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
243 nncn 12272 . . . . . . . . . 10 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
244241, 242, 2433syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
245 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
246 nncn 12272 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
247245, 246mulcld 11279 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
248247sqrtcld 15473 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
24913a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
25016a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → e ≠ 0)
251246, 249, 250divcld 12041 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ∈ ℂ)
252251, 241expcld 14183 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ∈ ℂ)
253248, 252mulcld 11279 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ∈ ℂ)
25452a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
255 nnrp 13044 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
256254, 255rpmulcld 13091 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ+)
257256sqrtgt0d 15448 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑘)))
258257gt0ne0d 11825 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ≠ 0)
259 nnne0 12298 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
260246, 249, 259, 250divne0d 12057 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ≠ 0)
261 nnz 12632 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
262251, 260, 261expne0d 14189 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ≠ 0)
263248, 252, 258, 262mulne0d 11913 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ≠ 0)
264244, 253, 263divcld 12041 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ∈ ℂ)
265231, 239, 240, 264fvmptd 7023 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
266265, 264eqeltrd 2839 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
267266adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
268 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑘((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))
269 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑛1
270 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑛 /
271 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝐶
272269, 270, 271nfov 7461 . . . . . . . . . 10 𝑛(1 / 𝐶)
273 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 𝑛 ·
274 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑘
27545, 274nffv 6917 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝐴𝑘)
276272, 273, 275nfov 7461 . . . . . . . . 9 𝑛((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘))
277 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
278277oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛)) = ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))
279268, 276, 278cbvmpt 5259 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))
280279a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘))))
281280fveq1d 6909 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛)))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))‘𝑘))
282 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
283146adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
284214adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ≠ 0)
285283, 284reccld 12034 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
286285, 267mulcld 11279 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
287 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))
288287fvmpt2 7027 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))‘𝑘) = ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))
289282, 286, 288syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))‘𝑘) = ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))
290281, 289eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛)))‘𝑘) = ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))
29141, 42, 79, 228, 230, 267, 290climmulc2 15670 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))) ⇝ ((1 / 𝐶) · 𝐶))
292146, 214recid2d 12037 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 𝐶) · 𝐶) = 1)
293291, 292breqtrd 5174 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))) ⇝ 1)
294227, 293eqbrtrd 5170 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛) / 𝐶)) ⇝ 1)
295224, 294eqbrtrd 5170 1 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))) ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  4c4 12321  0cn0 12524  cz 12611  +crp 13032  cexp 14099  !cfa 14309  csqrt 15269  cli 15517  eceu 16095  πcpi 16099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-symdif 4259  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-e 16101  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669  df-itg2 25670  df-ibl 25671  df-itg 25672  df-0p 25719  df-limc 25916  df-dv 25917
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