stirlinglem15 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem15 46342

Description: The Stirling's formula is proven using a number of local definitions. The main theorem stirling 46343 will use this final lemma, but it will not expose the local definitions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem15.1	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
stirlinglem15.2	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlinglem15.3	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem15.4	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
stirlinglem15.5	⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlinglem15.6	⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
stirlinglem15.7	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)))
stirlinglem15.8	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
stirlinglem15.9	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
stirlinglem15.10	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⇝ 𝐶)

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem15	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) ⇝ 1)

Distinct variable group: 𝐶,𝑛 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑛) 𝐴(𝑛) 𝐷(𝑛) 𝑆(𝑛) 𝐸(𝑛) 𝐹(𝑛) 𝐻(𝑛) 𝑉(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem15 Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stirlinglem15.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		nnnn0 12408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ₀)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
4		2cnd 12223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
5		picn 26423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
7	4, 6	mulcld 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · π) ∈ ℂ)
8		nncn 12153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 11152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · π) · 𝑛) ∈ ℂ)
11	10	sqrtcld 15363	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((2 · π) · 𝑛)) ∈ ℂ)
12		ere 16012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ
13	12	recni 11146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ e ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
15		epos 16132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < e
16	12, 15	gt0ne0ii 11673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ e ≠ 0
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
18	8, 14, 17	divcld 11917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
19	18, 2	expcld 14069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
20	19	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
21	11, 20	mulcld 11152	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
22		stirlinglem15.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
23	22	fvmpt2 6952	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ₀ ∧ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ) → (𝑆‘𝑛) = ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
24	3, 21, 23	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑛) = ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
25	24	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛)) = ((!‘𝑛) / ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
26	6	sqrtcld 15363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘π) ∈ ℂ)
27		2cnd 12223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
28	27, 8	mulcld 11152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
29	28	sqrtcld 15363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
30	29	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
31	26, 30, 20	mulassd 11155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘π) · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
32		stirlinglem15.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)))
33		nfmpt1 5197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)))
34	32, 33	nfcxfr 2896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
35		stirlinglem15.8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
36		nfmpt1 5197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
37	35, 36	nfcxfr 2896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛𝐻
38		stirlinglem15.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
39		nfmpt1 5197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
40	38, 39	nfcxfr 2896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛𝑉
41		nnuz 12790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
42		1zzd 12522	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
43		stirlinglem15.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
44		nfmpt1 5197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
45	43, 44	nfcxfr 2896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
46		stirlinglem15.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
47		nfmpt1 5197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
48	46, 47	nfcxfr 2896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛𝐷
49		faccl 14206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
50	2, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
51	50	nnrpd 12947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℝ⁺)
52		2rp 12910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
54		nnrp 12917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
55	53, 54	rpmulcld 12965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ⁺)
56	55	rpsqrtcld 15335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺)
57		epr 16133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ e ∈ ℝ⁺
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℝ⁺)
59	54, 58	rpdivcld 12966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℝ⁺)
60		nnz 12509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
61	59, 60	rpexpcld 14170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℝ⁺)
62	56, 61	rpmulcld 12965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℝ⁺)
63	51, 62	rpdivcld 12966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℝ⁺)
64	43, 63	fmpti 7057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐴:ℕ⟶ℝ⁺
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ⟶ℝ⁺)
66		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴‘𝑛)↑4)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴‘𝑛)↑4))
67		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷‘𝑛)↑2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷‘𝑛)↑2))
68	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝐴:ℕ⟶ℝ⁺)
69		2nn 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℕ
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
71		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
72	70, 71	nnmulcld 12198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
73	68, 72	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺)
74	46	fvmpt2 6952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺) → (𝐷‘𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
75	73, 74	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
76	75, 73	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ∈ ℝ⁺)
77	76	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑛) ∈ ℝ⁺)
78		stirlinglem15.9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
79		stirlinglem15.10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⇝ 𝐶)
80	1, 45, 48, 46, 65, 32, 66, 67, 77, 78, 79	stirlinglem8 46335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (𝐶↑2))
81		nnex 12151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ ∈ V
82	81	mptex 7169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V
83	38, 82	eqeltri 2832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑉 ∈ V
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
85		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
86		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
87		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
88	35, 85, 86, 87	stirlinglem1 46328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 ⇝ (1 / 2)
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 2))
90	50	nncnd 12161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
91	29, 19	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
92	55	sqrtgt0d 15336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
93	92	gt0ne0d 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
94		nnne0 12179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
95	8, 14, 94, 17	divne0d 11933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
96	18, 95, 60	expne0d 14075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
97	29, 19, 93, 96	mulne0d 11789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
98	90, 91, 97	divcld 11917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
99	43	fvmpt2 6952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
100	98, 99	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
101	100, 98	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
102		4nn0 12420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℕ₀)
104	101, 103	expcld 14069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴‘𝑛)↑4) ∈ ℂ)
105	76	rpcnd 12951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ∈ ℂ)
106	105	sqcld 14067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷‘𝑛)↑2) ∈ ℂ)
107	76	rpne0d 12954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ≠ 0)
108		2z 12523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℤ
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
110	105, 107, 109	expne0d 14075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷‘𝑛)↑2) ≠ 0)
111	104, 106, 110	divcld 11917	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) ∈ ℂ)
112	32	fvmpt2 6952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑛) = (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)))
113	111, 112	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑛) = (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)))
114	113, 111	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
115	114	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
116	8	sqcld 14067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
117		1cnd 11127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
118	28, 117	addcld 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
119	8, 118	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
120	72	nnred 12160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
121		1red 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
122	72	nngt0d 12194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑛))
123		0lt1 11659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 1
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 1)
125	120, 121, 122, 124	addgt0d 11712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
126	125	gt0ne0d 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
127	8, 118, 94, 126	mulne0d 11789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)) ≠ 0)
128	116, 119, 127	divcld 11917	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
129	35	fvmpt2 6952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ) → (𝐻‘𝑛) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
130	128, 129	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑛) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
131	130, 128	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑛) ∈ ℂ)
132	131	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑛) ∈ ℂ)
133	111, 128	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ ℂ)
134		stirlinglem15.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
135	43, 46, 134, 38	stirlinglem3 46330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
136	135	fvmpt2 6952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ ℂ) → (𝑉‘𝑛) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
137	133, 136	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑉‘𝑛) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
138	113, 130	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑛) · (𝐻‘𝑛)) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
139	137, 138	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑉‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) · (𝐻‘𝑛)))
140	139	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑉‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) · (𝐻‘𝑛)))
141	1, 34, 37, 40, 41, 42, 80, 84, 89, 115, 132, 140	climmulf 45860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⇝ ((𝐶↑2) · (1 / 2)))
142	38	wallispi2 46327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 ⇝ (π / 2)
143		climuni 15475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑉 ⇝ ((𝐶↑2) · (1 / 2)) ∧ 𝑉 ⇝ (π / 2)) → ((𝐶↑2) · (1 / 2)) = (π / 2))
144	141, 142, 143	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · (1 / 2)) = (π / 2))
145	144	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) · (1 / 2)) / (1 / 2)) = ((π / 2) / (1 / 2)))
146	78	rpcnd 12951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
147	146	sqcld 14067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
148		1cnd 11127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
149	148	halfcld 12386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
150		2cnd 12223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
151		2pos 12248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 2
152	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
153	152	gt0ne0d 11701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
154	150, 153	recne0d 11911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ≠ 0)
155	147, 149, 154	divcan4d 11923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) · (1 / 2)) / (1 / 2)) = (𝐶↑2))
156	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
157	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
158	157	gt0ne0d 11701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
159	156, 148, 150, 158, 153	divcan7d 11945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((π / 2) / (1 / 2)) = (π / 1))
160	156	div1d 11909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (π / 1) = π)
161	159, 160	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((π / 2) / (1 / 2)) = π)
162	145, 155, 161	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = π)
163	162	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐶↑2)) = (√‘π))
164	78	rprege0d 12956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
165		sqrtsq 15192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → (√‘(𝐶↑2)) = 𝐶)
166	164, 165	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐶↑2)) = 𝐶)
167	163, 166	eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (√‘π) = 𝐶)
168	167	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘π) = 𝐶)
169	168	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘π) · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝐶 · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
170	146	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
171	91	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
172	170, 171	mulcomd 11153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶))
173	31, 169, 172	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶))
174	173	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑛) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶)))
175		2re 12219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
176	175	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
177		pire 26422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
179	176, 178	remulcld 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · π) ∈ ℝ)
180		0le2 12247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
181	180	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 2)
182		0re 11134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
183		pipos 26424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < π
184	182, 177, 183	ltleii 11256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ π
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ π)
186	176, 178, 181, 185	mulge0d 11714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (2 · π))
187	3	nn0red 12463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
188	3	nn0ge0d 12465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑛)
189	179, 186, 187, 188	sqrtmuld 15348	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((2 · π) · 𝑛)) = ((√‘(2 · π)) · (√‘𝑛)))
190	176, 181, 178, 185	sqrtmuld 15348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · π)) = ((√‘2) · (√‘π)))
191	190	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · π)) · (√‘𝑛)) = (((√‘2) · (√‘π)) · (√‘𝑛)))
192	4	sqrtcld 15363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘2) ∈ ℂ)
193	9	sqrtcld 15363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘𝑛) ∈ ℂ)
194	192, 26, 193	mulassd 11155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((√‘2) · (√‘π)) · (√‘𝑛)) = ((√‘2) · ((√‘π) · (√‘𝑛))))
195	192, 26, 193	mul12d 11342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘2) · ((√‘π) · (√‘𝑛))) = ((√‘π) · ((√‘2) · (√‘𝑛))))
196	176, 181, 187, 188	sqrtmuld 15348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · 𝑛)) = ((√‘2) · (√‘𝑛)))
197	196	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘2) · (√‘𝑛)) = (√‘(2 · 𝑛)))
198	197	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘π) · ((√‘2) · (√‘𝑛))) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
199	195, 198	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘2) · ((√‘π) · (√‘𝑛))) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
200	191, 194, 199	3eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · π)) · (√‘𝑛)) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
201	189, 200	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((2 · π) · 𝑛)) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
202	201	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
203	202	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑛) / (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
204	90	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
205	93	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
206	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → e ∈ ℂ)
207	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → e ≠ 0)
208	9, 206, 207	divcld 11917	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
209	94	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
210	9, 206, 209, 207	divne0d 11933	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 / e) ≠ 0)
211	60	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
212	208, 210, 211	expne0d 14075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
213	30, 20, 205, 212	mulne0d 11789	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
214	78	rpne0d 12954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
215	214	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ≠ 0)
216	204, 171, 170, 213, 215	divdiv1d 11948	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) / 𝐶) = ((!‘𝑛) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶)))
217	174, 203, 216	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) / 𝐶))
218	98	ancli 548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ))
219	218	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ))
220	219, 99	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
221	220	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝐴‘𝑛))
222	221	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) / 𝐶) = ((𝐴‘𝑛) / 𝐶))
223	25, 217, 222	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) / 𝐶))
224	1, 223	mpteq2da 5190	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴‘𝑛) / 𝐶)))
225	101	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
226	225, 170, 215	divrec2d 11921	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴‘𝑛) / 𝐶) = ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛)))
227	1, 226	mpteq2da 5190	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴‘𝑛) / 𝐶)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))))
228	146, 214	reccld 11910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
229	81	mptex 7169	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))) ∈ V
230	229	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))) ∈ V)
231	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
232		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
233	232	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
234	232	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
235	234	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
236	232	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
237	236, 232	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
238	235, 237	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
239	233, 238	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
240		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
241		nnnn0 12408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ₀)
242		faccl 14206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
243		nncn 12153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
244	241, 242, 243	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
245		2cnd 12223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
246		nncn 12153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
247	245, 246	mulcld 11152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
248	247	sqrtcld 15363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
249	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
250	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → e ≠ 0)
251	246, 249, 250	divcld 11917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ∈ ℂ)
252	251, 241	expcld 14069	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ∈ ℂ)
253	248, 252	mulcld 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ∈ ℂ)
254	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
255		nnrp 12917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ⁺)
256	254, 255	rpmulcld 12965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ⁺)
257	256	sqrtgt0d 15336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑘)))
258	257	gt0ne0d 11701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ≠ 0)
259		nnne0 12179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
260	246, 249, 259, 250	divne0d 11933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ≠ 0)
261		nnz 12509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
262	251, 260, 261	expne0d 14075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ≠ 0)
263	248, 252, 258, 262	mulne0d 11789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ≠ 0)
264	244, 253, 263	divcld 11917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ∈ ℂ)
265	231, 239, 240, 264	fvmptd 6948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
266	265, 264	eqeltrd 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
267	266	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
268		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))
269		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛1
270		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 /
271		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝐶
272	269, 270, 271	nfov 7388	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(1 / 𝐶)
273		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ·
274		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
275	45, 274	nffv 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑘)
276	272, 273, 275	nfov 7388	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘))
277		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑘))
278	277	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛)) = ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))
279	268, 276, 278	cbvmpt 5200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))
280	279	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘))))
281	280	fveq1d 6836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))‘𝑘))
282		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
283	146	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
284	214	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ≠ 0)
285	283, 284	reccld 11910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
286	285, 267	mulcld 11152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
287		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))
288	287	fvmpt2 6952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))‘𝑘) = ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))
289	282, 286, 288	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))‘𝑘) = ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))
290	281, 289	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛)))‘𝑘) = ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑘)))
291	41, 42, 79, 228, 230, 267, 290	climmulc2 15560	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))) ⇝ ((1 / 𝐶) · 𝐶))
292	146, 214	recid2d 11913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐶) · 𝐶) = 1)
293	291, 292	breqtrd 5124	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴‘𝑛))) ⇝ 1)
294	227, 293	eqbrtrd 5120	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴‘𝑛) / 𝐶)) ⇝ 1)
295	224, 294	eqbrtrd 5120	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) ⇝ 1)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1541 Ⅎwnf 1784 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2932 Vcvv 3440 class class class wbr 5098 ↦ cmpt 5179 ⟶wf 6488 ‘cfv 6492 (class class class)co 7358 ℂcc 11024 ℝcr 11025 0cc0 11026 1c1 11027 + caddc 11029 · cmul 11031 < clt 11166 ≤ cle 11167 − cmin 11364 / cdiv 11794 ℕcn 12145 2c2 12200 4c4 12202 ℕ₀cn0 12401 ℤcz 12488 ℝ⁺crp 12905 ↑cexp 13984 !cfa 14196 √csqrt 15156 ⇝ cli 15407 eceu 15985 πcpi 15989

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-rep 5224 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-inf2 9550 ax-cc 10345 ax-cnex 11082 ax-resscn 11083 ax-1cn 11084 ax-icn 11085 ax-addcl 11086 ax-addrcl 11087 ax-mulcl 11088 ax-mulrcl 11089 ax-mulcom 11090 ax-addass 11091 ax-mulass 11092 ax-distr 11093 ax-i2m1 11094 ax-1ne0 11095 ax-1rid 11096 ax-rnegex 11097 ax-rrecex 11098 ax-cnre 11099 ax-pre-lttri 11100 ax-pre-lttrn 11101 ax-pre-ltadd 11102 ax-pre-mulgt0 11103 ax-pre-sup 11104 ax-addf 11105

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-symdif 4205 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-tp 4585 df-op 4587 df-uni 4864 df-int 4903 df-iun 4948 df-iin 4949 df-disj 5066 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-se 5578 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-of 7622 df-ofr 7623 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-supp 8103 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-1o 8397 df-2o 8398 df-oadd 8401 df-omul 8402 df-er 8635 df-map 8765 df-pm 8766 df-ixp 8836 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-fsupp 9265 df-fi 9314 df-sup 9345 df-inf 9346 df-oi 9415 df-dju 9813 df-card 9851 df-acn 9854 df-pnf 11168 df-mnf 11169 df-xr 11170 df-ltxr 11171 df-le 11172 df-sub 11366 df-neg 11367 df-div 11795 df-nn 12146 df-2 12208 df-3 12209 df-4 12210 df-5 12211 df-6 12212 df-7 12213 df-8 12214 df-9 12215 df-n0 12402 df-z 12489 df-dec 12608 df-uz 12752 df-q 12862 df-rp 12906 df-xneg 13026 df-xadd 13027 df-xmul 13028 df-ioo 13265 df-ioc 13266 df-ico 13267 df-icc 13268 df-fz 13424 df-fzo 13571 df-fl 13712 df-mod 13790 df-seq 13925 df-exp 13985 df-fac 14197 df-bc 14226 df-hash 14254 df-shft 14990 df-cj 15022 df-re 15023 df-im 15024 df-sqrt 15158 df-abs 15159 df-limsup 15394 df-clim 15411 df-rlim 15412 df-sum 15610 df-ef 15990 df-e 15991 df-sin 15992 df-cos 15993 df-pi 15995 df-struct 17074 df-sets 17091 df-slot 17109 df-ndx 17121 df-base 17137 df-ress 17158 df-plusg 17190 df-mulr 17191 df-starv 17192 df-sca 17193 df-vsca 17194 df-ip 17195 df-tset 17196 df-ple 17197 df-ds 17199 df-unif 17200 df-hom 17201 df-cco 17202 df-rest 17342 df-topn 17343 df-0g 17361 df-gsum 17362 df-topgen 17363 df-pt 17364 df-prds 17367 df-xrs 17423 df-qtop 17428 df-imas 17429 df-xps 17431 df-mre 17505 df-mrc 17506 df-acs 17508 df-mgm 18565 df-sgrp 18644 df-mnd 18660 df-submnd 18709 df-mulg 18998 df-cntz 19246 df-cmn 19711 df-psmet 21301 df-xmet 21302 df-met 21303 df-bl 21304 df-mopn 21305 df-fbas 21306 df-fg 21307 df-cnfld 21310 df-top 22838 df-topon 22855 df-topsp 22877 df-bases 22890 df-cld 22963 df-ntr 22964 df-cls 22965 df-nei 23042 df-lp 23080 df-perf 23081 df-cn 23171 df-cnp 23172 df-haus 23259 df-cmp 23331 df-tx 23506 df-hmeo 23699 df-fil 23790 df-fm 23882 df-flim 23883 df-flf 23884 df-xms 24264 df-ms 24265 df-tms 24266 df-cncf 24827 df-ovol 25421 df-vol 25422 df-mbf 25576 df-itg1 25577 df-itg2 25578 df-ibl 25579 df-itg 25580 df-0p 25627 df-limc 25823 df-dv 25824

This theorem is referenced by: stirling 46343

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