Theorem nbupgrel 29321

Description: A neighbor of a vertex in a pseudograph. (Contributed by AV, 5-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbuhgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbuhgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbupgrel	⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝐾)) → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem nbupgrel

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbuhgr.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		nbuhgr.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbupgr 29320	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = {𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸})
4	3	eleq2d 2817	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸}))
5		preq2 4687	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝐾, 𝑛} = {𝐾, 𝑁})
6	5	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ({𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
7	6	elrab 3647	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ 𝐸} ↔ (𝑁 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}) ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸))
8	4, 7	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ (𝑁 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}) ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝐾)) → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ (𝑁 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}) ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
10		eldifsn 4738	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝐾))
11	10	biimpri 228	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝐾) → 𝑁 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}))
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝐾)) → 𝑁 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}))
13	12	biantrurd 532	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝐾)) → ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ (𝑁 ∈ (𝑉 ∖ {𝐾}) ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸)))
14		prcom 4685	. . . 4 ⊢ {𝐾, 𝑁} = {𝑁, 𝐾}
15	14	eleq1i 2822	. . 3 ⊢ ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸)
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝐾)) → ({𝐾, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸))
17	9, 13, 16	3bitr2d 307	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝑉) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝐾)) → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {crab 3395   ∖ cdif 3899  {csn 4576  {cpr 4578  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Vtxcvtx 28972  Edgcedg 29023  UPGraphcupgr 29056   NeighbVtx cnbgr 29308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9791  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-n0 12379  df-xnn0 12452  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-hash 14235  df-edg 29024  df-upgr 29058  df-nbgr 29309

This theorem is referenced by:  nbupgrres  29340  cplgr3v  29411