Theorem negmod0 13881

Description: 𝐴 is divisible by 𝐵 iff its negative is. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Fan Zheng, 7-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negmod0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 mod 𝐵) = 0))

Proof of Theorem negmod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerpdivcl 13018	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2		recn 11156	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
3		znegclb 12601	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ↔ -(𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ↔ -(𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
5		recn 11156	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		rpcn 12997	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		rpne0 13003	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
10	9	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
11	6, 8, 10	divnegd 11973	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(𝐴 / 𝐵) = (-𝐴 / 𝐵))
12	11	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-(𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ↔ (-𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
13	4, 12	bitrd 281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ↔ (-𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
14		mod0 13879	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
15		renegcl 11487	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
16		mod0 13879	. . 3 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((-𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
17	15, 16	sylan 589	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((-𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
18	13, 14, 17	3bitr4d 313	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 mod 𝐵) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7390  ℂcc 11064  ℝcr 11065  0cc0 11066  -cneg 11408   / cdiv 11837  ℤcz 12561  ℝ⁺crp 12986   mod cmo 13872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9381  df-inf 9382  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-rp 12987  df-fl 13795  df-mod 13873

This theorem is referenced by:  absmod0  15320  gausslemma2dlem0i  27415  pgnbgreunbgrlem2lem1  48696  pgnbgreunbgrlem2lem2  48697