Theorem negmod0 13828

Description: 𝐴 is divisible by 𝐵 iff its negative is. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Fan Zheng, 7-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negmod0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 mod 𝐵) = 0))

Proof of Theorem negmod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerpdivcl 12965	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2		recn 11119	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
3		znegclb 12555	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ↔ -(𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ↔ -(𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
5		recn 11119	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		rpcn 12944	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		rpne0 12950	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
11	6, 8, 10	divnegd 11935	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(𝐴 / 𝐵) = (-𝐴 / 𝐵))
12	11	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (-(𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ↔ (-𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
13	4, 12	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ↔ (-𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
14		mod0 13826	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
15		renegcl 11448	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
16		mod0 13826	. . 3 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((-𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
17	15, 16	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((-𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
18	13, 14, 17	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 mod 𝐵) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933   mod cmo 13819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fl 13742  df-mod 13820

This theorem is referenced by:  absmod0  15256  gausslemma2dlem0i  27341  pgnbgreunbgrlem2lem1  48602  pgnbgreunbgrlem2lem2  48603