Theorem absmod0 14657

Description: 𝐴 is divisible by 𝐵 iff its absolute value is. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
absmod0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0))

Proof of Theorem absmod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7157	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (abs‘𝐴) → (𝐴 mod 𝐵) = ((abs‘𝐴) mod 𝐵))
2	1	eqcoms 2829	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 mod 𝐵) = ((abs‘𝐴) mod 𝐵))
3	2	eqeq1d 2823	. . 3 ⊢ ((abs‘𝐴) = 𝐴 → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) = 𝐴 → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0)))
5		negmod0 13240	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 mod 𝐵) = 0))
6		oveq1 7157	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = (-𝐴 mod 𝐵))
7	6	eqeq1d 2823	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → (((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 mod 𝐵) = 0))
8	7	bibi2d 345	. . 3 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → (((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0) ↔ ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 mod 𝐵) = 0)))
9	5, 8	syl5ibrcom 249	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0)))
10		absor 14654	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴))
11	10	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴))
12	4, 9, 11	mpjaod 856	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  -cneg 10865  ℝ⁺crp 12383   mod cmo 13231  abscabs 14587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589

This theorem is referenced by:  pellexlem6  39424