Theorem absmod0 15246

Description: 𝐴 is divisible by 𝐵 iff its absolute value is. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
absmod0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0))

Proof of Theorem absmod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7408	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (abs‘𝐴) → (𝐴 mod 𝐵) = ((abs‘𝐴) mod 𝐵))
2	1	eqcoms 2732	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 mod 𝐵) = ((abs‘𝐴) mod 𝐵))
3	2	eqeq1d 2726	. . 3 ⊢ ((abs‘𝐴) = 𝐴 → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) = 𝐴 → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0)))
5		negmod0 13839	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 mod 𝐵) = 0))
6		oveq1 7408	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = (-𝐴 mod 𝐵))
7	6	eqeq1d 2726	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → (((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 mod 𝐵) = 0))
8	7	bibi2d 342	. . 3 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → (((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0) ↔ ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 mod 𝐵) = 0)))
9	5, 8	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0)))
10		absor 15243	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴))
11	10	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴))
12	4, 9, 11	mpjaod 857	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℝcr 11104  0cc0 11105  -cneg 11441  ℝ⁺crp 12970   mod cmo 13830  abscabs 15177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179

This theorem is referenced by:  pellexlem6  42027