Theorem absmod0 15311

Description: 𝐴 is divisible by 𝐵 iff its absolute value is. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
absmod0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0))

Proof of Theorem absmod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7397	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (abs‘𝐴) → (𝐴 mod 𝐵) = ((abs‘𝐴) mod 𝐵))
2	1	eqcoms 2769	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 mod 𝐵) = ((abs‘𝐴) mod 𝐵))
3	2	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ ((abs‘𝐴) = 𝐴 → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) = 𝐴 → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0)))
5		negmod0 13883	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 mod 𝐵) = 0))
6		oveq1 7397	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = (-𝐴 mod 𝐵))
7	6	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → (((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 mod 𝐵) = 0))
8	7	bibi2d 344	. . 3 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → (((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0) ↔ ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 mod 𝐵) = 0)))
9	5, 8	syl5ibrcom 249	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0)))
10		absor 15308	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴))
11	10	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴))
12	4, 9, 11	mpjaod 871	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℝcr 11067  0cc0 11068  -cneg 11410  ℝ⁺crp 12988   mod cmo 13874  abscabs 15242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11840  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12477  df-z 12564  df-uz 12835  df-rp 12989  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14010  df-exp 14070  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244

This theorem is referenced by:  pellexlem6  43364