Theorem absmod0 15230

Description: 𝐴 is divisible by 𝐵 iff its absolute value is. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
absmod0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0))

Proof of Theorem absmod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7367	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (abs‘𝐴) → (𝐴 mod 𝐵) = ((abs‘𝐴) mod 𝐵))
2	1	eqcoms 2745	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 mod 𝐵) = ((abs‘𝐴) mod 𝐵))
3	2	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ ((abs‘𝐴) = 𝐴 → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) = 𝐴 → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0)))
5		negmod0 13802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 mod 𝐵) = 0))
6		oveq1 7367	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = (-𝐴 mod 𝐵))
7	6	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → (((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 mod 𝐵) = 0))
8	7	bibi2d 342	. . 3 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → (((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0) ↔ ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (-𝐴 mod 𝐵) = 0)))
9	5, 8	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0)))
10		absor 15227	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴))
11	10	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴))
12	4, 9, 11	mpjaod 861	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) mod 𝐵) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030  -cneg 11369  ℝ⁺crp 12909   mod cmo 13793  abscabs 15161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163

This theorem is referenced by:  pellexlem6  43143