MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtm1 14354
Description: The imaginary unit is the square root of negative 1. A lot of people like to call this the "definition" of i, but the definition of df-sqrt 14313 has already been crafted with i being mentioned explicitly, and in any case it doesn't make too much sense to define a value based on a function evaluated outside its domain. A more appropriate view is to take ax-i2m1 10290 or i2 13215 as the "definition", and simply postulate the existence of a number satisfying this property. This is the approach we take here. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqrtm1 i = (√‘-1)

Proof of Theorem sqrtm1
StepHypRef Expression
1 1re 10326 . . 3 1 ∈ ℝ
2 0le1 10841 . . 3 0 ≤ 1
3 sqrtneg 14346 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (√‘-1) = (i · (√‘1)))
41, 2, 3mp2an 684 . 2 (√‘-1) = (i · (√‘1))
5 sqrt1 14350 . . 3 (√‘1) = 1
65oveq2i 6887 . 2 (i · (√‘1)) = (i · 1)
7 ax-icn 10281 . . 3 i ∈ ℂ
87mulid1i 10331 . 2 (i · 1) = i
94, 6, 83eqtrri 2824 1 i = (√‘-1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4841  cfv 6099  (class class class)co 6876  cr 10221  0cc0 10222  1c1 10223  ici 10224   · cmul 10227  cle 10362  -cneg 10555  csqrt 14311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-sup 8588  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-rp 12071  df-seq 13052  df-exp 13111  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator