Theorem sqrtm1 14726

Description: The imaginary unit is the square root of negative 1. A lot of people like to call this the "definition" of i, but the definition of √ df-sqrt 14685 has already been crafted with i being mentioned explicitly, and in any case it doesn't make too much sense to define a value based on a function evaluated outside its domain. A more appropriate view is to take ax-i2m1 10684 or i2 13658 as the "definition", and simply postulate the existence of a number satisfying this property. This is the approach we take here. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtm1	⊢ i = (√‘-1)

Proof of Theorem sqrtm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10720	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		0le1 11242	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
3		sqrtneg 14718	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (√‘-1) = (i · (√‘1)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ (√‘-1) = (i · (√‘1))
5		sqrt1 14722	. . 3 ⊢ (√‘1) = 1
6	5	oveq2i 7182	. 2 ⊢ (i · (√‘1)) = (i · 1)
7		ax-icn 10675	. . 3 ⊢ i ∈ ℂ
8	7	mulid1i 10724	. 2 ⊢ (i · 1) = i
9	4, 6, 8	3eqtrri 2766	1 ⊢ i = (√‘-1)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5031  ‘cfv 6340  (class class class)co 7171  ℝcr 10615  0cc0 10616  1c1 10617  ici 10618   · cmul 10621   ≤ cle 10755  -cneg 10950  √csqrt 14683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693  ax-pre-sup 10694

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-2nd 7716  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-er 8321  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-sup 8980  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-div 11377  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-n0 11978  df-z 12064  df-uz 12326  df-rp 12474  df-seq 13462  df-exp 13523  df-cj 14549  df-re 14550  df-im 14551  df-sqrt 14685

This theorem is referenced by: (None)