Theorem numclwwlkovh 30974

Description: Value of operation 𝐻, mapping a vertex 𝑣 and an integer 𝑛 greater than 1 to the "closed n-walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) from v = v(0) = v(n) ... with v(n-2) =/= v" according to definition 7 in [Huneke] p. 2. Definition of ClWWalksNOn resolved. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Aug-2018.) (Revised by AV, 30-May-2021.) (Revised by AV, 1-May-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
numclwwlkovh.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})

Assertion

Ref	Expression
numclwwlkovh	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem numclwwlkovh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numclwwlkovh.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
2	1	numclwwlkovh0 30973	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋})
3		isclwwlknon 30682	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
4	3	anbi1i 636	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) ↔ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋))
5		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
6		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋)
7		neeq2 3019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝑤‘0) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
8	7	eqcoms 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
9	8	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
10	9	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))
11	6, 10	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
12	5, 11	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
13		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) → (𝑤‘0) = 𝑋)
14	13	anim2i 629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
15		neeq2 3019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋))
16	15	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋)
17	16	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋)
18	14, 17	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))) → ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋))
19	12, 18	impbii 212	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
20	4, 19	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
21	20	rabbia2 3416	. 2 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}
22	2, 21	eqtrdi 2812	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {crab 3413  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  0cc0 11200   − cmin 11541  2c2 12397  ℤ_≥cuz 12965   ClWWalksN cclwwlkn 30615  ClWWalksNOncclwwlknon 30678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-clwwlk 30573  df-clwwlkn 30616  df-clwwlknon 30679

This theorem is used by:  numclwwlk2lem1  30977  numclwlk2lem2f  30978  numclwlk2lem2f1o  30980