Theorem numclwwlkovh 30309

Description: Value of operation 𝐻, mapping a vertex 𝑣 and an integer 𝑛 greater than 1 to the "closed n-walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) from v = v(0) = v(n) ... with v(n-2) =/= v" according to definition 7 in [Huneke] p. 2. Definition of ClWWalksNOn resolved. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Aug-2018.) (Revised by AV, 30-May-2021.) (Revised by AV, 1-May-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
numclwwlkovh.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})

Assertion

Ref	Expression
numclwwlkovh	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem numclwwlkovh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numclwwlkovh.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
2	1	numclwwlkovh0 30308	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋})
3		isclwwlknon 30027	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
4	3	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) ↔ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋))
5		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
6		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋)
7		neeq2 2989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝑤‘0) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
8	7	eqcoms 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
9	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
10	9	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))
11	6, 10	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
12	5, 11	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
13		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) → (𝑤‘0) = 𝑋)
14	13	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
15		neeq2 2989	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋))
16	15	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋)
18	14, 17	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))) → ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋))
19	12, 18	impbii 209	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
20	4, 19	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
21	20	rabbia2 3411	. 2 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}
22	2, 21	eqtrdi 2781	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {crab 3408  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  0cc0 11075   − cmin 11412  2c2 12248  ℤ_≥cuz 12800   ClWWalksN cclwwlkn 29960  ClWWalksNOncclwwlknon 30023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-clwwlk 29918  df-clwwlkn 29961  df-clwwlknon 30024

This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  30312  numclwlk2lem2f  30313  numclwlk2lem2f1o  30315