Theorem numclwwlkovh 28733

Description: Value of operation 𝐻, mapping a vertex 𝑣 and an integer 𝑛 greater than 1 to the "closed n-walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) from v = v(0) = v(n) ... with v(n-2) =/= v" according to definition 7 in [Huneke] p. 2. Definition of ClWWalksNOn resolved. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Aug-2018.) (Revised by AV, 30-May-2021.) (Revised by AV, 1-May-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
numclwwlkovh.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})

Assertion

Ref	Expression
numclwwlkovh	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem numclwwlkovh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numclwwlkovh.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
2	1	numclwwlkovh0 28732	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋})
3		isclwwlknon 28451	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
4	3	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) ↔ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋))
5		simpll 764	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
6		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋)
7		neeq2 3009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝑤‘0) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
8	7	eqcoms 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
9	8	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
10	9	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))
11	6, 10	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
12	5, 11	jca 512	. . . . 5 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
13		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) → (𝑤‘0) = 𝑋)
14	13	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
15		neeq2 3009	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋))
16	15	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋)
17	16	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋)
18	14, 17	jca 512	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))) → ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋))
19	12, 18	impbii 208	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
20	4, 19	bitri 274	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
21	20	rabbia2 3410	. 2 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}
22	2, 21	eqtrdi 2796	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  {crab 3070  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271   ∈ cmpo 7273  0cc0 10872   − cmin 11205  2c2 12028  ℤ_≥cuz 12581   ClWWalksN cclwwlkn 28384  ClWWalksNOncclwwlknon 28447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-oadd 8292  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-hash 14043  df-word 14216  df-clwwlk 28342  df-clwwlkn 28385  df-clwwlknon 28448

This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  28736  numclwlk2lem2f  28737  numclwlk2lem2f1o  28739