Theorem numclwwlkovh 30761

Description: Value of operation 𝐻, mapping a vertex 𝑣 and an integer 𝑛 greater than 1 to the "closed n-walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) from v = v(0) = v(n) ... with v(n-2) =/= v" according to definition 7 in [Huneke] p. 2. Definition of ClWWalksNOn resolved. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Aug-2018.) (Revised by AV, 30-May-2021.) (Revised by AV, 1-May-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
numclwwlkovh.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})

Assertion

Ref	Expression
numclwwlkovh	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem numclwwlkovh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numclwwlkovh.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
2	1	numclwwlkovh0 30760	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋})
3		isclwwlknon 30479	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
4	3	anbi1i 636	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) ↔ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋))
5		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
6		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋)
7		neeq2 3024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝑤‘0) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
8	7	eqcoms 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
9	8	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
10	9	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))
11	6, 10	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
12	5, 11	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
13		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) → (𝑤‘0) = 𝑋)
14	13	anim2i 629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
15		neeq2 3024	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋))
16	15	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋)
17	16	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋)
18	14, 17	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))) → ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋))
19	12, 18	impbii 212	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
20	4, 19	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
21	20	rabbia2 3422	. 2 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}
22	2, 21	eqtrdi 2817	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  {crab 3419  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425  0cc0 11118   − cmin 11459  2c2 12313  ℤ_≥cuz 12880   ClWWalksN cclwwlkn 30412  ClWWalksNOncclwwlknon 30475

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-clwwlk 30370  df-clwwlkn 30413  df-clwwlknon 30476

This theorem is used by:  numclwwlk2lem1  30764  numclwlk2lem2f  30765  numclwlk2lem2f1o  30767