Theorem mndodconglem 19478

Description: Lemma for mndodcong 19479. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mndodconglem.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mndodconglem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
mndodconglem.3	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
mndodconglem.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
mndodconglem.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mndodconglem.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑂‘𝐴))
mndodconglem.7	⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑂‘𝐴))
mndodconglem.8	⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
mndodconglem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)

Proof of Theorem mndodconglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndodconglem.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		mndodconglem.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
3	2	nnred 12208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℂ)
5		mndodconglem.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
6	5	nn0red 12511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
8		mndodconglem.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	nn0red 12511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
11	4, 7, 10	addsubassd 11560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) + 𝑀) − 𝑁) = ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)))
12	2	nnzd 12563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
13	5	nn0zd 12562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14	12, 13	zaddcld 12649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ∈ ℤ)
15	14	zred 12645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ∈ ℝ)
16		mndodconglem.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑂‘𝐴))
17		nn0addge1 12495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + 𝑀))
18	3, 5, 17	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + 𝑀))
19	9, 3, 15, 16, 18	ltletrd 11341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < ((𝑂‘𝐴) + 𝑀))
20	8	nn0zd 12562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
21		znnsub 12586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑁 < ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ↔ (((𝑂‘𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ))
22	20, 14, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ↔ (((𝑂‘𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ))
23	19, 22	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ)
24	11, 23	eqeltrrd 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) ∈ ℕ)
25	4, 7, 10	addsub12d 11563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) = (𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)))
26	25	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴))
27		mndodconglem.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
28	27	oveq1d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)) = ((𝑁 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
29		mndodconglem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
30		znnsub 12586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ))
31	20, 12, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ))
32	16, 31	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ)
33	32	nnnn0d 12510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0)
34		odcl.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
35		odid.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.g‘𝐺)
36		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
37	34, 35, 36	mulgnn0dir 19043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
38	29, 5, 33, 1, 37	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
39	34, 35, 36	mulgnn0dir 19043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
40	29, 8, 33, 1, 39	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
41	28, 38, 40	3eqtr4d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴))
42	10, 4	pncan3d 11543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) = (𝑂‘𝐴))
43	42	oveq1d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
44		odcl.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
45		odid.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
46	34, 44, 35, 45	odid 19475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
47	1, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
48	43, 47	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = 0 )
49	41, 48	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = 0 )
50	26, 49	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) · 𝐴) = 0 )
51	34, 44, 35, 45	odlem2 19476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁))))
52	1, 24, 50, 51	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁))))
53		elfzle2 13496	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ (1...((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁))) → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)))
54	52, 53	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)))
55	13, 20	zsubcld 12650	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
56	55	zred 12645	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℝ)
57	3, 56	addge01d 11773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁))))
58	54, 57	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 − 𝑁))
59	6, 9	subge0d 11775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑀 − 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
60	58, 59	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)
61	6, 9	letri3d 11323	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
62	61	biimprd 248	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 = 𝑁))
63	60, 62	mpan2d 694	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 = 𝑁))
64	63	imp 406	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ...cfz 13475  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  Mndcmnd 18668  ._gcmg 19006  odcod 19461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-seq 13974  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mulg 19007  df-od 19465

This theorem is referenced by:  mndodcong  19479