MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndodconglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndodconglem 19450
Description: Lemma for mndodcong 19451. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odcl.2 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odid.3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
odid.4 0 = (0gโ€˜๐บ)
mndodconglem.1 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
mndodconglem.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
mndodconglem.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
mndodconglem.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
mndodconglem.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
mndodconglem.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ < (๐‘‚โ€˜๐ด))
mndodconglem.7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (๐‘‚โ€˜๐ด))
mndodconglem.8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
Assertion
Ref Expression
mndodconglem ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘€ = ๐‘)

Proof of Theorem mndodconglem
StepHypRef Expression
1 mndodconglem.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
2 mndodconglem.3 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
32nnred 12231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
43recnd 11246 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5 mndodconglem.4 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
65nn0red 12537 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
76recnd 11246 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
8 mndodconglem.5 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
98nn0red 12537 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
109recnd 11246 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
114, 7, 10addsubassd 11595 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) + ๐‘€) โˆ’ ๐‘) = ((๐‘‚โ€˜๐ด) + (๐‘€ โˆ’ ๐‘)))
122nnzd 12589 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
135nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1412, 13zaddcld 12674 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) + ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
1514zred 12670 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) + ๐‘€) โˆˆ โ„)
16 mndodconglem.7 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (๐‘‚โ€˜๐ด))
17 nn0addge1 12522 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค ((๐‘‚โ€˜๐ด) + ๐‘€))
183, 5, 17syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค ((๐‘‚โ€˜๐ด) + ๐‘€))
199, 3, 15, 16, 18ltletrd 11378 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < ((๐‘‚โ€˜๐ด) + ๐‘€))
208nn0zd 12588 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
21 znnsub 12612 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) + ๐‘€) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ < ((๐‘‚โ€˜๐ด) + ๐‘€) โ†” (((๐‘‚โ€˜๐ด) + ๐‘€) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•))
2220, 14, 21syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ < ((๐‘‚โ€˜๐ด) + ๐‘€) โ†” (((๐‘‚โ€˜๐ด) + ๐‘€) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•))
2319, 22mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) + ๐‘€) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•)
2411, 23eqeltrrd 2832 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) + (๐‘€ โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„•)
254, 7, 10addsub12d 11598 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) + (๐‘€ โˆ’ ๐‘)) = (๐‘€ + ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘)))
2625oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) + (๐‘€ โˆ’ ๐‘)) ยท ๐ด) = ((๐‘€ + ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘)) ยท ๐ด))
27 mndodconglem.8 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
2827oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ๐ด)(+gโ€˜๐บ)(((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘) ยท ๐ด)) = ((๐‘ ยท ๐ด)(+gโ€˜๐บ)(((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘) ยท ๐ด)))
29 mndodconglem.1 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
30 znnsub 12612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ < (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•))
3120, 12, 30syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ < (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•))
3216, 31mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•)
3332nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0)
34 odcl.1 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
35 odid.3 . . . . . . . . . . . 12 ยท = (.gโ€˜๐บ)
36 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
3734, 35, 36mulgnn0dir 19020 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘€ + ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘)) ยท ๐ด) = ((๐‘€ ยท ๐ด)(+gโ€˜๐บ)(((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘) ยท ๐ด)))
3829, 5, 33, 1, 37syl13anc 1370 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘)) ยท ๐ด) = ((๐‘€ ยท ๐ด)(+gโ€˜๐บ)(((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘) ยท ๐ด)))
3934, 35, 36mulgnn0dir 19020 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘ + ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘)) ยท ๐ด) = ((๐‘ ยท ๐ด)(+gโ€˜๐บ)(((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘) ยท ๐ด)))
4029, 8, 33, 1, 39syl13anc 1370 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘)) ยท ๐ด) = ((๐‘ ยท ๐ด)(+gโ€˜๐บ)(((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘) ยท ๐ด)))
4128, 38, 403eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘)) ยท ๐ด) = ((๐‘ + ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘)) ยท ๐ด))
4210, 4pncan3d 11578 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘)) = (๐‘‚โ€˜๐ด))
4342oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘)) ยท ๐ด) = ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด))
44 odcl.2 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
45 odid.4 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gโ€˜๐บ)
4634, 44, 35, 45odid 19447 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = 0 )
471, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = 0 )
4843, 47eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘)) ยท ๐ด) = 0 )
4941, 48eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆ’ ๐‘)) ยท ๐ด) = 0 )
5026, 49eqtrd 2770 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) + (๐‘€ โˆ’ ๐‘)) ยท ๐ด) = 0 )
5134, 44, 35, 45odlem2 19448 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) + (๐‘€ โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„• โˆง (((๐‘‚โ€˜๐ด) + (๐‘€ โˆ’ ๐‘)) ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...((๐‘‚โ€˜๐ด) + (๐‘€ โˆ’ ๐‘))))
521, 24, 50, 51syl3anc 1369 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...((๐‘‚โ€˜๐ด) + (๐‘€ โˆ’ ๐‘))))
53 elfzle2 13509 . . . . . 6 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...((๐‘‚โ€˜๐ด) + (๐‘€ โˆ’ ๐‘))) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค ((๐‘‚โ€˜๐ด) + (๐‘€ โˆ’ ๐‘)))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค ((๐‘‚โ€˜๐ด) + (๐‘€ โˆ’ ๐‘)))
5513, 20zsubcld 12675 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5655zred 12670 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„)
573, 56addge01d 11806 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (๐‘€ โˆ’ ๐‘) โ†” (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค ((๐‘‚โ€˜๐ด) + (๐‘€ โˆ’ ๐‘))))
5854, 57mpbird 256 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘€ โˆ’ ๐‘))
596, 9subge0d 11808 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (๐‘€ โˆ’ ๐‘) โ†” ๐‘ โ‰ค ๐‘€))
6058, 59mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘€)
616, 9letri3d 11360 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ = ๐‘ โ†” (๐‘€ โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘€)))
6261biimprd 247 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘€) โ†’ ๐‘€ = ๐‘))
6360, 62mpan2d 690 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘€ = ๐‘))
6463imp 405 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘€ = ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  ...cfz 13488  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  0gc0g 17389  Mndcmnd 18659  .gcmg 18986  odcod 19433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-seq 13971  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mulg 18987  df-od 19437
This theorem is referenced by:  mndodcong  19451
  Copyright terms: Public domain W3C validator