Theorem mndodconglem 19606

Description: Lemma for mndodcong 19607. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mndodconglem.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mndodconglem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
mndodconglem.3	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
mndodconglem.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
mndodconglem.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mndodconglem.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑂‘𝐴))
mndodconglem.7	⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑂‘𝐴))
mndodconglem.8	⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
mndodconglem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)

Proof of Theorem mndodconglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndodconglem.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		mndodconglem.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
3	2	nnred 12243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℂ)
5		mndodconglem.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
6	5	nn0red 12561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
8		mndodconglem.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	nn0red 12561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
11	4, 7, 10	addsubassd 11584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) + 𝑀) − 𝑁) = ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)))
12	2	nnzd 12612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
13	5	nn0zd 12611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14	12, 13	zaddcld 12699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ∈ ℤ)
15	14	zred 12695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ∈ ℝ)
16		mndodconglem.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑂‘𝐴))
17		nn0addge1 12545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + 𝑀))
18	3, 5, 17	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + 𝑀))
19	9, 3, 15, 16, 18	ltletrd 11365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < ((𝑂‘𝐴) + 𝑀))
20	8	nn0zd 12611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
21		znnsub 12635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑁 < ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ↔ (((𝑂‘𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ))
22	20, 14, 21	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ↔ (((𝑂‘𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ))
23	19, 22	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ)
24	11, 23	eqeltrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) ∈ ℕ)
25	4, 7, 10	addsub12d 11587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) = (𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)))
26	25	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴))
27		mndodconglem.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
28	27	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)) = ((𝑁 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
29		mndodconglem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
30		znnsub 12635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ))
31	20, 12, 30	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ))
32	16, 31	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ)
33	32	nnnn0d 12560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0)
34		odcl.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
35		odid.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.g‘𝐺)
36		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
37	34, 35, 36	mulgnn0dir 19165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
38	29, 5, 33, 1, 37	syl13anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
39	34, 35, 36	mulgnn0dir 19165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
40	29, 8, 33, 1, 39	syl13anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
41	28, 38, 40	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴))
42	10, 4	pncan3d 11567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) = (𝑂‘𝐴))
43	42	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
44		odcl.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
45		odid.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
46	34, 44, 35, 45	odid 19603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
47	1, 46	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
48	43, 47	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = 0 )
49	41, 48	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = 0 )
50	26, 49	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) · 𝐴) = 0 )
51	34, 44, 35, 45	odlem2 19604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁))))
52	1, 24, 50, 51	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁))))
53		elfzle2 13551	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ (1...((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁))) → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)))
54	52, 53	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)))
55	13, 20	zsubcld 12700	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
56	55	zred 12695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℝ)
57	3, 56	addge01d 11797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁))))
58	54, 57	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 − 𝑁))
59	6, 9	subge0d 11799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑀 − 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
60	58, 59	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)
61	6, 9	letri3d 11347	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
62	61	biimprd 251	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 = 𝑁))
63	60, 62	mpan2d 706	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 = 𝑁))
64	63	imp 411	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ...cfz 13530  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  0_gc0g 17487  Mndcmnd 18787  ._gcmg 19128  odcod 19589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-seq 14034  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mulg 19129  df-od 19593

This theorem is referenced by:  mndodcong  19607