MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndodconglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndodconglem 18167
Description: Lemma for mndodcong 18168. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
mndodconglem.1 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
mndodconglem.2 (𝜑𝐴𝑋)
mndodconglem.3 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
mndodconglem.4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
mndodconglem.5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
mndodconglem.6 (𝜑𝑀 < (𝑂𝐴))
mndodconglem.7 (𝜑𝑁 < (𝑂𝐴))
mndodconglem.8 (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
mndodconglem ((𝜑𝑀𝑁) → 𝑀 = 𝑁)

Proof of Theorem mndodconglem
StepHypRef Expression
1 mndodconglem.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
2 mndodconglem.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
32nnred 11237 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
43recnd 10270 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℂ)
5 mndodconglem.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
65nn0red 11554 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
76recnd 10270 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
8 mndodconglem.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
98nn0red 11554 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
109recnd 10270 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
114, 7, 10addsubassd 10614 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑂𝐴) + 𝑀) − 𝑁) = ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)))
122nnzd 11683 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
135nn0zd 11682 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1412, 13zaddcld 11688 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑂𝐴) + 𝑀) ∈ ℤ)
1514zred 11684 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂𝐴) + 𝑀) ∈ ℝ)
16 mndodconglem.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 < (𝑂𝐴))
17 nn0addge1 11541 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑀))
183, 5, 17syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑀))
199, 3, 15, 16, 18ltletrd 10399 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 < ((𝑂𝐴) + 𝑀))
208nn0zd 11682 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21 znnsub 11625 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) + 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑁 < ((𝑂𝐴) + 𝑀) ↔ (((𝑂𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ))
2220, 14, 21syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 < ((𝑂𝐴) + 𝑀) ↔ (((𝑂𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ))
2319, 22mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑂𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ)
2411, 23eqeltrrd 2851 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)) ∈ ℕ)
254, 7, 10addsub12d 10617 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)) = (𝑀 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)))
2625oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴))
27 mndodconglem.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
2827oveq1d 6808 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) − 𝑁) · 𝐴)) = ((𝑁 · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
29 mndodconglem.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
30 znnsub 11625 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ))
3120, 12, 30syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 < (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ))
3216, 31mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑂𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ)
3332nnnn0d 11553 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑂𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0)
34 odcl.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Base‘𝐺)
35 odid.3 . . . . . . . . . . . 12 · = (.g𝐺)
36 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3734, 35, 36mulgnn0dir 17779 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0𝐴𝑋)) → ((𝑀 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
3829, 5, 33, 1, 37syl13anc 1478 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
3934, 35, 36mulgnn0dir 17779 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0𝐴𝑋)) → ((𝑁 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
4029, 8, 33, 1, 39syl13anc 1478 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
4128, 38, 403eqtr4d 2815 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴))
4210, 4pncan3d 10597 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) = (𝑂𝐴))
4342oveq1d 6808 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
44 odcl.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (od‘𝐺)
45 odid.4 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐺)
4634, 44, 35, 45odid 18164 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
471, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
4843, 47eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = 0 )
4941, 48eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = 0 )
5026, 49eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)) · 𝐴) = 0 )
5134, 44, 35, 45odlem2 18165 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋 ∧ ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)) ∈ ℕ ∧ (((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂𝐴) ∈ (1...((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁))))
521, 24, 50, 51syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (1...((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁))))
53 elfzle2 12552 . . . . . 6 ((𝑂𝐴) ∈ (1...((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁))) → (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁)))
5513, 20zsubcld 11689 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
5655zred 11684 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
573, 56addge01d 10817 . . . . 5 (𝜑 → (0 ≤ (𝑀𝑁) ↔ (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂𝐴) + (𝑀𝑁))))
5854, 57mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝑁))
596, 9subge0d 10819 . . . 4 (𝜑 → (0 ≤ (𝑀𝑁) ↔ 𝑁𝑀))
6058, 59mpbid 222 . . 3 (𝜑𝑁𝑀)
616, 9letri3d 10381 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
6261biimprd 238 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁))
6360, 62mpan2d 674 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑁𝑀 = 𝑁))
6463imp 393 1 ((𝜑𝑀𝑁) → 𝑀 = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  cn 11222  0cn0 11494  cz 11579  ...cfz 12533  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  Mndcmnd 17502  .gcmg 17748  odcod 18151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-seq 13009  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mulg 17749  df-od 18155
This theorem is referenced by:  mndodcong  18168
  Copyright terms: Public domain W3C validator