Theorem mndodconglem 19470

Description: Lemma for mndodcong 19471. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mndodconglem.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mndodconglem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
mndodconglem.3	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
mndodconglem.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
mndodconglem.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mndodconglem.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑂‘𝐴))
mndodconglem.7	⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑂‘𝐴))
mndodconglem.8	⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
mndodconglem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)

Proof of Theorem mndodconglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndodconglem.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		mndodconglem.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
3	2	nnred 12160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℂ)
5		mndodconglem.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
6	5	nn0red 12463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
8		mndodconglem.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	nn0red 12463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
11	4, 7, 10	addsubassd 11512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) + 𝑀) − 𝑁) = ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)))
12	2	nnzd 12514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
13	5	nn0zd 12513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14	12, 13	zaddcld 12600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ∈ ℤ)
15	14	zred 12596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ∈ ℝ)
16		mndodconglem.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑂‘𝐴))
17		nn0addge1 12447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + 𝑀))
18	3, 5, 17	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + 𝑀))
19	9, 3, 15, 16, 18	ltletrd 11293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < ((𝑂‘𝐴) + 𝑀))
20	8	nn0zd 12513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
21		znnsub 12537	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑁 < ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ↔ (((𝑂‘𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ))
22	20, 14, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < ((𝑂‘𝐴) + 𝑀) ↔ (((𝑂‘𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ))
23	19, 22	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) + 𝑀) − 𝑁) ∈ ℕ)
24	11, 23	eqeltrrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) ∈ ℕ)
25	4, 7, 10	addsub12d 11515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) = (𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)))
26	25	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴))
27		mndodconglem.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
28	27	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)) = ((𝑁 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
29		mndodconglem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
30		znnsub 12537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ))
31	20, 12, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ))
32	16, 31	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ)
33	32	nnnn0d 12462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0)
34		odcl.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
35		odid.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.g‘𝐺)
36		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
37	34, 35, 36	mulgnn0dir 19034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
38	29, 5, 33, 1, 37	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
39	34, 35, 36	mulgnn0dir 19034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂‘𝐴) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
40	29, 8, 33, 1, 39	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) − 𝑁) · 𝐴)))
41	28, 38, 40	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴))
42	10, 4	pncan3d 11495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) = (𝑂‘𝐴))
43	42	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
44		odcl.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
45		odid.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
46	34, 44, 35, 45	odid 19467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
47	1, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
48	43, 47	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = 0 )
49	41, 48	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + ((𝑂‘𝐴) − 𝑁)) · 𝐴) = 0 )
50	26, 49	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) · 𝐴) = 0 )
51	34, 44, 35, 45	odlem2 19468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁))))
52	1, 24, 50, 51	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁))))
53		elfzle2 13444	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ (1...((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁))) → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)))
54	52, 53	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁)))
55	13, 20	zsubcld 12601	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
56	55	zred 12596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℝ)
57	3, 56	addge01d 11725	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘𝐴) + (𝑀 − 𝑁))))
58	54, 57	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 − 𝑁))
59	6, 9	subge0d 11727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑀 − 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
60	58, 59	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)
61	6, 9	letri3d 11275	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
62	61	biimprd 248	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 = 𝑁))
63	60, 62	mpan2d 694	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑀 = 𝑁))
64	63	imp 406	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ...cfz 13423  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359  Mndcmnd 18659  ._gcmg 18997  odcod 19453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-seq 13925  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mulg 18998  df-od 19457

This theorem is referenced by:  mndodcong  19471