Theorem odeq 19815

Description: The oddvds 19812 property uniquely defines the group order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odeq	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑦, 0   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁   𝑦,𝑂   𝑦, ·   𝑦,𝑋

Proof of Theorem odeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
2		odcl.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odcl.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odid.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		odid.4	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	2, 3, 4, 5	oddvds 19812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
7	1, 6	syl3an3 1183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
8	7	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
9	8	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
10		breq1 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦))
11	10	bibi1d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → ((𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
12	11	ralbidv 3189	. . . 4 ⊢ (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
13	9, 12	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
14	13	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
15		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝐴 ∈ 𝑋)
17	2, 3	odcl 19801	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
19	2, 3, 4, 5	odid 19803	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
20	16, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
21	17	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
22		breq2 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ 𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴)))
23		oveq1 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
24	23	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
25	22, 24	bibi12d 348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → ((𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )))
26	25	rspcva 3578	. . . . . 6 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
27	21, 26	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
28	20, 27	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴))
29		nn0z 12757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
30		iddvds 16483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
31	15, 29, 30	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∥ 𝑁)
32		breq2 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
33		oveq1 7458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
34	33	eqeq1d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
35	32, 34	bibi12d 348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
36	35	rspcva 3578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
37	36	3ad2antl3 1206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
38	31, 37	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )
39	2, 3, 4, 5	oddvds 19812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
40	29, 39	syl3an3 1183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
41	40	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
42	38, 41	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁)
43		dvdseq 16528	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ∧ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁)) → 𝑁 = (𝑂‘𝐴))
44	15, 18, 28, 42, 43	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 = (𝑂‘𝐴))
45	44	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) → 𝑁 = (𝑂‘𝐴)))
46	14, 45	impbid 215	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733   ∥ cdvds 16466  Basecbs 17431  0_gc0g 17660  Grpcgrp 19194  ._gcmg 19327  odcod 19789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-od 19793

This theorem is used by:  odval2  19816  ply1chr  22679  proot1ex  44459