MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odeq 19410
Description: The oddvds 19407 property uniquely defines the group order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odeq ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑦, 0   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁   𝑦,𝑂   𝑦, ·   𝑦,𝑋

Proof of Theorem odeq
StepHypRef Expression
1 nn0z 12578 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
2 odcl.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 odcl.2 . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
4 odid.3 . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
5 odid.4 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
62, 3, 4, 5oddvds 19407 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
71, 6syl3an3 1166 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
873expa 1119 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
98ralrimiva 3147 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑂𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
10 breq1 5149 . . . . . 6 (𝑁 = (𝑂𝐴) → (𝑁𝑦 ↔ (𝑂𝐴) ∥ 𝑦))
1110bibi1d 344 . . . . 5 (𝑁 = (𝑂𝐴) → ((𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ ((𝑂𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
1211ralbidv 3178 . . . 4 (𝑁 = (𝑂𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑂𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
139, 12syl5ibrcom 246 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 = (𝑂𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
14133adant3 1133 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
15 simpl3 1194 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝐴𝑋)
172, 3odcl 19396 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
192, 3, 4, 5odid 19398 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
2016, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
21173ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
22 breq2 5150 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑂𝐴) → (𝑁𝑦𝑁 ∥ (𝑂𝐴)))
23 oveq1 7410 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑂𝐴) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
2423eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑂𝐴) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 ))
2522, 24bibi12d 346 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑂𝐴) → ((𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ (𝑁 ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )))
2625rspcva 3609 . . . . . 6 (((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 ))
2721, 26sylan 581 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 ))
2820, 27mpbird 257 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∥ (𝑂𝐴))
29 nn0z 12578 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
30 iddvds 16208 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
3115, 29, 303syl 18 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁𝑁)
32 breq2 5150 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑁 → (𝑁𝑦𝑁𝑁))
33 oveq1 7410 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
3433eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑁 → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
3532, 34bibi12d 346 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑁 → ((𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ (𝑁𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
3635rspcva 3609 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
37363ad2antl3 1188 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
3831, 37mpbid 231 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )
392, 3, 4, 5oddvds 19407 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4029, 39syl3an3 1166 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4140adantr 482 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4238, 41mpbird 257 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂𝐴) ∥ 𝑁)
43 dvdseq 16252 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∥ (𝑂𝐴) ∧ (𝑂𝐴) ∥ 𝑁)) → 𝑁 = (𝑂𝐴))
4415, 18, 28, 42, 43syl22anc 838 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 = (𝑂𝐴))
4544ex 414 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) → 𝑁 = (𝑂𝐴)))
4614, 45impbid 211 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062   class class class wbr 5146  cfv 6539  (class class class)co 7403  0cn0 12467  cz 12553  cdvds 16192  Basecbs 17139  0gc0g 17380  Grpcgrp 18814  .gcmg 18943  odcod 19384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-rp 12970  df-fz 13480  df-fl 13752  df-mod 13830  df-seq 13962  df-exp 14023  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16193  df-0g 17382  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-grp 18817  df-minusg 18818  df-sbg 18819  df-mulg 18944  df-od 19388
This theorem is referenced by:  odval2  19411  ply1chr  32607  proot1ex  41875
  Copyright terms: Public domain W3C validator