Theorem odeq 19615

Description: The oddvds 19612 property uniquely defines the group order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odeq	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑦, 0   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁   𝑦,𝑂   𝑦, ·   𝑦,𝑋

Proof of Theorem odeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
2		odcl.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odcl.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odid.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		odid.4	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	2, 3, 4, 5	oddvds 19612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
7	1, 6	syl3an3 1183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
8	7	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
9	8	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
10		breq1 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦))
11	10	bibi1d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → ((𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
12	11	ralbidv 3188	. . . 4 ⊢ (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
13	9, 12	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
14	13	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
15		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝐴 ∈ 𝑋)
17	2, 3	odcl 19601	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
19	2, 3, 4, 5	odid 19603	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
20	16, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
21	17	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
22		breq2 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ 𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴)))
23		oveq1 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
24	23	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
25	22, 24	bibi12d 348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → ((𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )))
26	25	rspcva 3579	. . . . . 6 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
27	21, 26	sylan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
28	20, 27	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴))
29		nn0z 12610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
30		iddvds 16322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
31	15, 29, 30	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∥ 𝑁)
32		breq2 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
33		oveq1 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
34	33	eqeq1d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
35	32, 34	bibi12d 348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
36	35	rspcva 3579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
37	36	3ad2antl3 1206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
38	31, 37	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )
39	2, 3, 4, 5	oddvds 19612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
40	29, 39	syl3an3 1183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
41	40	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
42	38, 41	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁)
43		dvdseq 16367	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ∧ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁)) → 𝑁 = (𝑂‘𝐴))
44	15, 18, 28, 42, 43	syl22anc 851	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 = (𝑂‘𝐴))
45	44	ex 417	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) → 𝑁 = (𝑂‘𝐴)))
46	14, 45	impbid 215	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586   ∥ cdvds 16305  Basecbs 17264  0_gc0g 17487  Grpcgrp 18995  ._gcmg 19128  odcod 19589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-od 19593

This theorem is referenced by:  odval2  19616  ply1chr  22466  proot1ex  43923