MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odeq 19417
Description: The oddvds 19414 property uniquely defines the group order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odcl.2 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odid.3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
odid.4 0 = (0gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
odeq ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐บ   ๐‘ฆ, 0   ๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฆ,๐‘   ๐‘ฆ,๐‘‚   ๐‘ฆ, ยท   ๐‘ฆ,๐‘‹

Proof of Theorem odeq
StepHypRef Expression
1 nn0z 12582 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2 odcl.1 . . . . . . . 8 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
3 odcl.2 . . . . . . . 8 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
4 odid.3 . . . . . . . 8 ยท = (.gโ€˜๐บ)
5 odid.4 . . . . . . . 8 0 = (0gโ€˜๐บ)
62, 3, 4, 5oddvds 19414 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ))
71, 6syl3an3 1165 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ))
873expa 1118 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ))
98ralrimiva 3146 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ))
10 breq1 5151 . . . . . 6 (๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ฆ))
1110bibi1d 343 . . . . 5 (๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )))
1211ralbidv 3177 . . . 4 (๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )))
139, 12syl5ibrcom 246 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )))
14133adant3 1132 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )))
15 simpl3 1193 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
16 simpl2 1192 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
172, 3odcl 19403 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
1816, 17syl 17 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
192, 3, 4, 5odid 19405 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = 0 )
2016, 19syl 17 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = 0 )
21173ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
22 breq2 5152 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด)))
23 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด))
2423eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = 0 ))
2522, 24bibi12d 345 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ) โ†” (๐‘ โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = 0 )))
2625rspcva 3610 . . . . . 6 (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = 0 ))
2721, 26sylan 580 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = 0 ))
2820, 27mpbird 256 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด))
29 nn0z 12582 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
30 iddvds 16212 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
3115, 29, 303syl 18 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
32 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘))
33 oveq1 7415 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
3433eqeq1d 2734 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
3532, 34bibi12d 345 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )))
3635rspcva 3610 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
37363ad2antl3 1187 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
3831, 37mpbid 231 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )
392, 3, 4, 5oddvds 19414 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
4029, 39syl3an3 1165 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
4140adantr 481 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
4238, 41mpbird 256 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘)
43 dvdseq 16256 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด))
4415, 18, 28, 42, 43syl22anc 837 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด))
4544ex 413 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ ๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด)))
4614, 45impbid 211 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557   โˆฅ cdvds 16196  Basecbs 17143  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  .gcmg 18949  odcod 19391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-od 19395
This theorem is referenced by:  odval2  19418  ply1chr  32656  proot1ex  41933
  Copyright terms: Public domain W3C validator