Theorem odeq 19418

Description: The oddvds 19415 property uniquely defines the group order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odeq	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑦, 0   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁   𝑦,𝑂   𝑦, ·   𝑦,𝑋

Proof of Theorem odeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
2		odcl.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odcl.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odid.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		odid.4	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	2, 3, 4, 5	oddvds 19415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
7	1, 6	syl3an3 1166	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
8	7	3expa 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
9	8	ralrimiva 3147	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
10		breq1 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦))
11	10	bibi1d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → ((𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
12	11	ralbidv 3178	. . . 4 ⊢ (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
13	9, 12	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
14	13	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
15		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝐴 ∈ 𝑋)
17	2, 3	odcl 19404	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
19	2, 3, 4, 5	odid 19406	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
20	16, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
21	17	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
22		breq2 5153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ 𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴)))
23		oveq1 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
24	23	eqeq1d 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
25	22, 24	bibi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → ((𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )))
26	25	rspcva 3611	. . . . . 6 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
27	21, 26	sylan 581	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
28	20, 27	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴))
29		nn0z 12583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
30		iddvds 16213	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
31	15, 29, 30	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∥ 𝑁)
32		breq2 5153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
33		oveq1 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
34	33	eqeq1d 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
35	32, 34	bibi12d 346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
36	35	rspcva 3611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
37	36	3ad2antl3 1188	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
38	31, 37	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )
39	2, 3, 4, 5	oddvds 19415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
40	29, 39	syl3an3 1166	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
41	40	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
42	38, 41	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁)
43		dvdseq 16257	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ∧ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁)) → 𝑁 = (𝑂‘𝐴))
44	15, 18, 28, 42, 43	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 = (𝑂‘𝐴))
45	44	ex 414	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) → 𝑁 = (𝑂‘𝐴)))
46	14, 45	impbid 211	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558   ∥ cdvds 16197  Basecbs 17144  0_gc0g 17385  Grpcgrp 18819  ._gcmg 18950  odcod 19392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-od 19396

This theorem is referenced by:  odval2  19419  ply1chr  32661  proot1ex  41943