Theorem odeq 19583

Description: The oddvds 19580 property uniquely defines the group order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odeq	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑦, 0   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁   𝑦,𝑂   𝑦, ·   𝑦,𝑋

Proof of Theorem odeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
2		odcl.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odcl.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odid.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		odid.4	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	2, 3, 4, 5	oddvds 19580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
7	1, 6	syl3an3 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
8	7	3expa 1117	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
9	8	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
10		breq1 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦))
11	10	bibi1d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → ((𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
12	11	ralbidv 3176	. . . 4 ⊢ (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
13	9, 12	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
14	13	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
15		simpl3 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		simpl2 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝐴 ∈ 𝑋)
17	2, 3	odcl 19569	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
19	2, 3, 4, 5	odid 19571	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
20	16, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
21	17	3ad2ant2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
22		breq2 5152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ 𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴)))
23		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
24	23	eqeq1d 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
25	22, 24	bibi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑂‘𝐴) → ((𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )))
26	25	rspcva 3620	. . . . . 6 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
27	21, 26	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 ))
28	20, 27	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴))
29		nn0z 12636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
30		iddvds 16304	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
31	15, 29, 30	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∥ 𝑁)
32		breq2 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
33		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
34	33	eqeq1d 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
35	32, 34	bibi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
36	35	rspcva 3620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
37	36	3ad2antl3 1186	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
38	31, 37	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )
39	2, 3, 4, 5	oddvds 19580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
40	29, 39	syl3an3 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
41	40	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
42	38, 41	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁)
43		dvdseq 16348	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∥ (𝑂‘𝐴) ∧ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁)) → 𝑁 = (𝑂‘𝐴))
44	15, 18, 28, 42, 43	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 = (𝑂‘𝐴))
45	44	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) → 𝑁 = (𝑂‘𝐴)))
46	14, 45	impbid 212	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611   ∥ cdvds 16287  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964  ._gcmg 19098  odcod 19557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-od 19561

This theorem is referenced by:  odval2  19584  ply1chr  22326  proot1ex  43185