MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odeq 19340
Description: The oddvds 19337 property uniquely defines the group order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odcl.2 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odid.3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
odid.4 0 = (0gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
odeq ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐บ   ๐‘ฆ, 0   ๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฆ,๐‘   ๐‘ฆ,๐‘‚   ๐‘ฆ, ยท   ๐‘ฆ,๐‘‹

Proof of Theorem odeq
StepHypRef Expression
1 nn0z 12532 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2 odcl.1 . . . . . . . 8 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
3 odcl.2 . . . . . . . 8 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
4 odid.3 . . . . . . . 8 ยท = (.gโ€˜๐บ)
5 odid.4 . . . . . . . 8 0 = (0gโ€˜๐บ)
62, 3, 4, 5oddvds 19337 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ))
71, 6syl3an3 1166 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ))
873expa 1119 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ))
98ralrimiva 3140 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ))
10 breq1 5112 . . . . . 6 (๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ฆ))
1110bibi1d 344 . . . . 5 (๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )))
1211ralbidv 3171 . . . 4 (๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )))
139, 12syl5ibrcom 247 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )))
14133adant3 1133 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )))
15 simpl3 1194 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
16 simpl2 1193 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
172, 3odcl 19326 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
1816, 17syl 17 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
192, 3, 4, 5odid 19328 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = 0 )
2016, 19syl 17 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = 0 )
21173ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
22 breq2 5113 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด)))
23 oveq1 7368 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด))
2423eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = 0 ))
2522, 24bibi12d 346 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ) โ†” (๐‘ โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = 0 )))
2625rspcva 3581 . . . . . 6 (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = 0 ))
2721, 26sylan 581 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ๐ด) = 0 ))
2820, 27mpbird 257 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด))
29 nn0z 12532 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
30 iddvds 16160 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
3115, 29, 303syl 18 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
32 breq2 5113 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘))
33 oveq1 7368 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
3433eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
3532, 34bibi12d 346 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )))
3635rspcva 3581 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
37363ad2antl3 1188 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
3831, 37mpbid 231 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )
392, 3, 4, 5oddvds 19337 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
4029, 39syl3an3 1166 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
4140adantr 482 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
4238, 41mpbird 257 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘)
43 dvdseq 16204 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด))
4415, 18, 28, 42, 43syl22anc 838 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ ๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด))
4544ex 414 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ ๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด)))
4614, 45impbid 211 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ = (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507   โˆฅ cdvds 16144  Basecbs 17091  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  .gcmg 18880  odcod 19314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-od 19318
This theorem is referenced by:  odval2  19341  ply1chr  32338  proot1ex  41575
  Copyright terms: Public domain W3C validator