Theorem chrid 20295

Description: The canonical ℤ ring homomorphism applied to a ring's characteristic is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
chrcl.c	⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
chrid.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
chrid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chrid	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘𝐶) = 0 )

Proof of Theorem chrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chrcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
2	1	chrcl 20294	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐶 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12124	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐶 ∈ ℤ)
4		chrid.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
5		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
6		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	4, 5, 6	zrhmulg 20279	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐶) = (𝐶(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
8	3, 7	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘𝐶) = (𝐶(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
9		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
10	9, 6, 1	chrval 20293	. . . 4 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 𝐶
11	10	oveq1i 7160	. . 3 ⊢ (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝐶(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))
12		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	12, 6	ringidcl 19389	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
14		chrid.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15	12, 9, 5, 14	odid 18733	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 )
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 )
17	11, 16	syl5eqr 2807	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 )
18	8, 17	eqtrd 2793	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘𝐶) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℤcz 12020  Basecbs 16541  0_gc0g 16771  ._gcmg 18291  odcod 18719  1_rcur 19319  Ringcrg 19365  ℤRHomczrh 20269  chrcchr 20271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-addf 10654  ax-mulf 10655

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-seq 13419  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-0g 16773  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-od 18723  df-cmn 18975  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-cring 19368  df-rnghom 19538  df-subrg 19601  df-cnfld 20167  df-zring 20239  df-zrh 20273  df-chr 20275

This theorem is referenced by:  chrrhm  20299