Theorem chrid 21886

Description: The canonical ℤ ring homomorphism applied to a ring's characteristic is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
chrcl.c	⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
chrid.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
chrid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chrid	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘𝐶) = 0 )

Proof of Theorem chrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chrcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
2	1	chrcl 21885	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐶 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12758	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐶 ∈ ℤ)
4		chrid.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	4, 5, 6	zrhmulg 21870	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐶) = (𝐶(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
8	3, 7	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘𝐶) = (𝐶(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
10	9, 6, 1	chrval 21884	. . . 4 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 𝐶
11	10	oveq1i 7461	. . 3 ⊢ (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝐶(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))
12		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	12, 6	ringidcl 20545	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
14		chrid.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15	12, 9, 5, 14	odid 19803	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 )
16	13, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 )
17	11, 16	eqtr3id 2812	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 )
18	8, 17	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘𝐶) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℤcz 12733  Basecbs 17431  0_gc0g 17660  ._gcmg 19327  odcod 19789  1_rcur 20458  Ringcrg 20510  ℤRHomczrh 21860  chrcchr 21862

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-seq 14185  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-od 19793  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-rhm 20753  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-cnfld 21730  df-zring 21807  df-zrh 21864  df-chr 21866

This theorem is used by:  chrrhm  21892