Theorem chrid 21079

Description: The canonical ℤ ring homomorphism applied to a ring's characteristic is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
chrcl.c	⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
chrid.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
chrid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chrid	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘𝐶) = 0 )

Proof of Theorem chrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chrcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
2	1	chrcl 21078	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐶 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12584	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐶 ∈ ℤ)
4		chrid.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	4, 5, 6	zrhmulg 21059	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐶) = (𝐶(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
8	3, 7	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘𝐶) = (𝐶(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
9		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
10	9, 6, 1	chrval 21077	. . . 4 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 𝐶
11	10	oveq1i 7419	. . 3 ⊢ (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝐶(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))
12		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	12, 6	ringidcl 20083	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
14		chrid.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15	12, 9, 5, 14	odid 19406	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 )
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 )
17	11, 16	eqtr3id 2787	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 )
18	8, 17	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘𝐶) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℤcz 12558  Basecbs 17144  0_gc0g 17385  ._gcmg 18950  odcod 19392  1_rcur 20004  Ringcrg 20056  ℤRHomczrh 21049  chrcchr 21051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-od 19396  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-chr 21055

This theorem is referenced by:  chrrhm  21083