Theorem odrngds 17366

Description: The metric of an ordered metric ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
odrngstr.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})

Assertion

Ref	Expression
odrngds	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (dist‘𝑊))

Proof of Theorem odrngds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odrngstr.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
2	1	odrngstr 17360	. 2 ⊢ 𝑊 Struct ⟨1, ;12⟩
3		dsid 17343	. 2 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
4		snsstp3 4762	. . 3 ⊢ {⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ⊆ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}
5		ssun2 4120	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
6	5, 1	sseqtrri 3972	. . 3 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ⊆ 𝑊
7	4, 6	sstri 3932	. 2 ⊢ {⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ⊆ 𝑊
8	2, 3, 7	strfv 17167	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (dist‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888  {csn 4568  {ctp 4572  ⟨cop 4574  ‘cfv 6493  1c1 11033  2c2 12230  ;cdc 12638  ndxcnx 17157  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  ._rcmulr 17215  TopSetcts 17220  lecple 17221  distcds 17223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236

This theorem is referenced by:  xrsds  21402