Theorem odrngstr 17327

Description: Functionality of an ordered metric ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
odrngstr.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})

Assertion

Ref	Expression
odrngstr	⊢ 𝑊 Struct ⟨1, ;12⟩

Proof of Theorem odrngstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odrngstr.w	. 2 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
3	2	rngstr 17222	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, 3⟩
4		9nn 12247	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
5		tsetndx 17276	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
6		9lt10 12742	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
7		10nn 12627	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
8		plendx 17290	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		1nn0 12421	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		0nn0 12420	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		2nn 12222	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		2pos 12252	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
13	9, 10, 11, 12	declt 12639	. . . 4 ⊢ ;10 < ;12
14	9, 11	decnncl 12631	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ
15		dsndx 17309	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
16	4, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15	strle3 17091	. . 3 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} Struct ⟨9, ;12⟩
17		3lt9 12348	. . 3 ⊢ 3 < 9
18	3, 16, 17	strleun 17088	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) Struct ⟨1, ;12⟩
19	1, 18	eqbrtri 5120	1 ⊢ 𝑊 Struct ⟨1, ;12⟩

Syntax hints:   = wceq 1542   ∪ cun 3900  {ctp 4585  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  0cc0 11030  1c1 11031  2c2 12204  3c3 12205  9c9 12211  ;cdc 12611   Struct cstr 17077  ndxcnx 17124  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  ._rcmulr 17182  TopSetcts 17187  lecple 17188  distcds 17190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203

This theorem is referenced by:  odrngbas  17328  odrngplusg  17329  odrngmulr  17330  odrngtset  17331  odrngle  17332  odrngds  17333  xrsstr  21342