MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odrngstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odrngstr 17291
Description: Functionality of an ordered metric ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
odrngstr.w 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
Assertion
Ref Expression
odrngstr 𝑊 Struct ⟨1, 12⟩

Proof of Theorem odrngstr
StepHypRef Expression
1 odrngstr.w . 2 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
2 eqid 2737 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
32rngstr 17186 . . 3 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, 3⟩
4 9nn 12258 . . . 4 9 ∈ ℕ
5 tsetndx 17240 . . . 4 (TopSet‘ndx) = 9
6 9lt10 12756 . . . 4 9 < 10
7 10nn 12641 . . . 4 10 ∈ ℕ
8 plendx 17254 . . . 4 (le‘ndx) = 10
9 1nn0 12436 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
10 0nn0 12435 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
11 2nn 12233 . . . . 5 2 ∈ ℕ
12 2pos 12263 . . . . 5 0 < 2
139, 10, 11, 12declt 12653 . . . 4 10 < 12
149, 11decnncl 12645 . . . 4 12 ∈ ℕ
15 dsndx 17273 . . . 4 (dist‘ndx) = 12
164, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15strle3 17039 . . 3 {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} Struct ⟨9, 12⟩
17 3lt9 12364 . . 3 3 < 9
183, 16, 17strleun 17036 . 2 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) Struct ⟨1, 12⟩
191, 18eqbrtri 5131 1 𝑊 Struct ⟨1, 12⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  cun 3913  {ctp 4595  cop 4597   class class class wbr 5110  cfv 6501  0cc0 11058  1c1 11059  2c2 12215  3c3 12216  9c9 12222  cdc 12625   Struct cstr 17025  ndxcnx 17072  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141  TopSetcts 17146  lecple 17147  distcds 17149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162
This theorem is referenced by:  odrngbas  17292  odrngplusg  17293  odrngmulr  17294  odrngtset  17295  odrngle  17296  odrngds  17297  xrsstr  20827
  Copyright terms: Public domain W3C validator