Theorem odrngstr 17408

Description: Functionality of an ordered metric ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
odrngstr.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})

Assertion

Ref	Expression
odrngstr	⊢ 𝑊 Struct ⟨1, ;12⟩

Proof of Theorem odrngstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odrngstr.w	. 2 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
2		eqid 2756	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
3	2	rngstr 17303	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, 3⟩
4		9nn 12306	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
5		tsetndx 17357	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
6		9lt10 12815	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
7		10nn 12698	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
8		plendx 17371	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		1nn0 12487	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		0nn0 12486	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		2nn 12281	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		2pos 12312	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
13	9, 10, 11, 12	declt 12711	. . . 4 ⊢ ;10 < ;12
14	9, 11	decnncl 12702	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ
15		dsndx 17390	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
16	4, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15	strle3 17172	. . 3 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} Struct ⟨9, ;12⟩
17		3lt9 12414	. . 3 ⊢ 3 < 9
18	3, 16, 17	strleun 17169	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) Struct ⟨1, ;12⟩
19	1, 18	eqbrtri 5115	1 ⊢ 𝑊 Struct ⟨1, ;12⟩

Syntax hints:   = wceq 1554   ∪ cun 3897  {ctp 4580  ⟨cop 4582   class class class wbr 5094  ‘cfv 6510  0cc0 11063  1c1 11064  2c2 12262  3c3 12263  9c9 12269  ;cdc 12678   Struct cstr 17158  ndxcnx 17205  Basecbs 17221  +_gcplusg 17262  ._rcmulr 17263  TopSetcts 17268  lecple 17269  distcds 17271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-fz 13503  df-struct 17159  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284

This theorem is referenced by:  odrngbas  17409  odrngplusg  17410  odrngmulr  17411  odrngtset  17412  odrngle  17413  odrngds  17414  xrsstr  21413