MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odrngstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odrngstr 16671
Description: Functionality of an ordered metric ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
odrngstr.w 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
Assertion
Ref Expression
odrngstr 𝑊 Struct ⟨1, 12⟩

Proof of Theorem odrngstr
StepHypRef Expression
1 odrngstr.w . 2 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
2 eqid 2819 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
32rngstr 16611 . . 3 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, 3⟩
4 9nn 11727 . . . 4 9 ∈ ℕ
5 tsetndx 16651 . . . 4 (TopSet‘ndx) = 9
6 9lt10 12221 . . . 4 9 < 10
7 10nn 12106 . . . 4 10 ∈ ℕ
8 plendx 16658 . . . 4 (le‘ndx) = 10
9 1nn0 11905 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
10 0nn0 11904 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
11 2nn 11702 . . . . 5 2 ∈ ℕ
12 2pos 11732 . . . . 5 0 < 2
139, 10, 11, 12declt 12118 . . . 4 10 < 12
149, 11decnncl 12110 . . . 4 12 ∈ ℕ
15 dsndx 16667 . . . 4 (dist‘ndx) = 12
164, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15strle3 16586 . . 3 {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} Struct ⟨9, 12⟩
17 3lt9 11833 . . 3 3 < 9
183, 16, 17strleun 16583 . 2 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) Struct ⟨1, 12⟩
191, 18eqbrtri 5078 1 𝑊 Struct ⟨1, 12⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1531  cun 3932  {ctp 4563  cop 4565   class class class wbr 5057  cfv 6348  0cc0 10529  1c1 10530  2c2 11684  3c3 11685  9c9 11691  cdc 12090   Struct cstr 16471  ndxcnx 16472  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  TopSetcts 16563  lecple 16564  distcds 16566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579
This theorem is referenced by:  odrngbas  16672  odrngplusg  16673  odrngmulr  16674  odrngtset  16675  odrngle  16676  odrngds  16677  xrsstr  20551
  Copyright terms: Public domain W3C validator