Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtcnvNEW Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtcnvNEW 32900
Description: The order dual generates the same topology as the original order. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ordtNEW.l ≀ = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
Assertion
Ref Expression
ordtcnvNEW (𝐾 ∈ Proset β†’ (ordTopβ€˜β—‘ ≀ ) = (ordTopβ€˜ ≀ ))

Proof of Theorem ordtcnvNEW
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3479 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
2 vex 3479 . . . . . . . . . . . . 13 π‘₯ ∈ V
31, 2brcnv 5883 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦◑ ≀ π‘₯ ↔ π‘₯ ≀ 𝑦)
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Proset β†’ (𝑦◑ ≀ π‘₯ ↔ π‘₯ ≀ 𝑦))
54notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Proset β†’ (Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦))
65rabbidv 3441 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Proset β†’ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯} = {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦})
76mpteq2dv 5251 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Proset β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}))
87rneqd 5938 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Proset β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}))
92, 1brcnv 5883 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯β—‘ ≀ 𝑦 ↔ 𝑦 ≀ π‘₯)
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Proset β†’ (π‘₯β—‘ ≀ 𝑦 ↔ 𝑦 ≀ π‘₯))
1110notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Proset β†’ (Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯))
1211rabbidv 3441 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Proset β†’ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦} = {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯})
1312mpteq2dv 5251 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Proset β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦}) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}))
1413rneqd 5938 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Proset β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦}) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}))
158, 14uneq12d 4165 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Proset β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦})) = (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯})))
16 uncom 4154 . . . . . 6 (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯})) = (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}))
1715, 16eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝐾 ∈ Proset β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦})) = (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦})))
1817uneq2d 4164 . . . 4 (𝐾 ∈ Proset β†’ ({𝐡} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦}))) = ({𝐡} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}))))
1918fveq2d 6896 . . 3 (𝐾 ∈ Proset β†’ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦})))) = (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦})))))
2019fveq2d 6896 . 2 (𝐾 ∈ Proset β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦}))))) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}))))))
21 eqid 2733 . . . 4 (ODualβ€˜πΎ) = (ODualβ€˜πΎ)
2221oduprs 32134 . . 3 (𝐾 ∈ Proset β†’ (ODualβ€˜πΎ) ∈ Proset )
23 ordtNEW.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2421, 23odubas 18244 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜(ODualβ€˜πΎ))
25 ordtNEW.l . . . . . 6 ≀ = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
2625cnveqi 5875 . . . . 5 β—‘ ≀ = β—‘((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
27 cnvin 6145 . . . . 5 β—‘((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (β—‘(leβ€˜πΎ) ∩ β—‘(𝐡 Γ— 𝐡))
28 eqid 2733 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2921, 28oduleval 18242 . . . . . 6 β—‘(leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(ODualβ€˜πΎ))
30 cnvxp 6157 . . . . . 6 β—‘(𝐡 Γ— 𝐡) = (𝐡 Γ— 𝐡)
3129, 30ineq12i 4211 . . . . 5 (β—‘(leβ€˜πΎ) ∩ β—‘(𝐡 Γ— 𝐡)) = ((leβ€˜(ODualβ€˜πΎ)) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
3226, 27, 313eqtri 2765 . . . 4 β—‘ ≀ = ((leβ€˜(ODualβ€˜πΎ)) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
33 eqid 2733 . . . 4 ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯})
34 eqid 2733 . . . 4 ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦}) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦})
3524, 32, 33, 34ordtprsval 32898 . . 3 ((ODualβ€˜πΎ) ∈ Proset β†’ (ordTopβ€˜β—‘ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦}))))))
3622, 35syl 17 . 2 (𝐾 ∈ Proset β†’ (ordTopβ€˜β—‘ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦}))))))
37 eqid 2733 . . 3 ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯})
38 eqid 2733 . . 3 ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦})
3923, 25, 37, 38ordtprsval 32898 . 2 (𝐾 ∈ Proset β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}))))))
4020, 36, 393eqtr4d 2783 1 (𝐾 ∈ Proset β†’ (ordTopβ€˜β—‘ ≀ ) = (ordTopβ€˜ ≀ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  ficfi 9405  Basecbs 17144  lecple 17204  topGenctg 17383  ordTopcordt 17445  ODualcodu 18239   Proset cproset 18246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-dec 12678  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ple 17217  df-ordt 17447  df-odu 18240  df-proset 18248
This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  32903
  Copyright terms: Public domain W3C validator