Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtcnvNEW Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtcnvNEW 32541
Description: The order dual generates the same topology as the original order. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ordtNEW.l ≀ = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
Assertion
Ref Expression
ordtcnvNEW (𝐾 ∈ Proset β†’ (ordTopβ€˜β—‘ ≀ ) = (ordTopβ€˜ ≀ ))

Proof of Theorem ordtcnvNEW
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3452 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
2 vex 3452 . . . . . . . . . . . . 13 π‘₯ ∈ V
31, 2brcnv 5843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦◑ ≀ π‘₯ ↔ π‘₯ ≀ 𝑦)
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Proset β†’ (𝑦◑ ≀ π‘₯ ↔ π‘₯ ≀ 𝑦))
54notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Proset β†’ (Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦))
65rabbidv 3418 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Proset β†’ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯} = {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦})
76mpteq2dv 5212 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Proset β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}))
87rneqd 5898 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Proset β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}))
92, 1brcnv 5843 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯β—‘ ≀ 𝑦 ↔ 𝑦 ≀ π‘₯)
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Proset β†’ (π‘₯β—‘ ≀ 𝑦 ↔ 𝑦 ≀ π‘₯))
1110notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Proset β†’ (Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯))
1211rabbidv 3418 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Proset β†’ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦} = {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯})
1312mpteq2dv 5212 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Proset β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦}) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}))
1413rneqd 5898 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Proset β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦}) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}))
158, 14uneq12d 4129 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Proset β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦})) = (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯})))
16 uncom 4118 . . . . . 6 (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯})) = (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}))
1715, 16eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝐾 ∈ Proset β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦})) = (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦})))
1817uneq2d 4128 . . . 4 (𝐾 ∈ Proset β†’ ({𝐡} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦}))) = ({𝐡} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}))))
1918fveq2d 6851 . . 3 (𝐾 ∈ Proset β†’ (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦})))) = (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦})))))
2019fveq2d 6851 . 2 (𝐾 ∈ Proset β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦}))))) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}))))))
21 eqid 2737 . . . 4 (ODualβ€˜πΎ) = (ODualβ€˜πΎ)
2221oduprs 31866 . . 3 (𝐾 ∈ Proset β†’ (ODualβ€˜πΎ) ∈ Proset )
23 ordtNEW.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2421, 23odubas 18187 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜(ODualβ€˜πΎ))
25 ordtNEW.l . . . . . 6 ≀ = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
2625cnveqi 5835 . . . . 5 β—‘ ≀ = β—‘((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
27 cnvin 6102 . . . . 5 β—‘((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (β—‘(leβ€˜πΎ) ∩ β—‘(𝐡 Γ— 𝐡))
28 eqid 2737 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2921, 28oduleval 18185 . . . . . 6 β—‘(leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(ODualβ€˜πΎ))
30 cnvxp 6114 . . . . . 6 β—‘(𝐡 Γ— 𝐡) = (𝐡 Γ— 𝐡)
3129, 30ineq12i 4175 . . . . 5 (β—‘(leβ€˜πΎ) ∩ β—‘(𝐡 Γ— 𝐡)) = ((leβ€˜(ODualβ€˜πΎ)) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
3226, 27, 313eqtri 2769 . . . 4 β—‘ ≀ = ((leβ€˜(ODualβ€˜πΎ)) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
33 eqid 2737 . . . 4 ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯})
34 eqid 2737 . . . 4 ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦}) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦})
3524, 32, 33, 34ordtprsval 32539 . . 3 ((ODualβ€˜πΎ) ∈ Proset β†’ (ordTopβ€˜β—‘ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦}))))))
3622, 35syl 17 . 2 (𝐾 ∈ Proset β†’ (ordTopβ€˜β—‘ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦◑ ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯β—‘ ≀ 𝑦}))))))
37 eqid 2737 . . 3 ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯})
38 eqid 2737 . . 3 ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦})
3923, 25, 37, 38ordtprsval 32539 . 2 (𝐾 ∈ Proset β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}))))))
4020, 36, 393eqtr4d 2787 1 (𝐾 ∈ Proset β†’ (ordTopβ€˜β—‘ ≀ ) = (ordTopβ€˜ ≀ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  ran crn 5639  β€˜cfv 6501  ficfi 9353  Basecbs 17090  lecple 17147  topGenctg 17326  ordTopcordt 17388  ODualcodu 18182   Proset cproset 18189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-dec 12626  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ple 17160  df-ordt 17390  df-odu 18183  df-proset 18191
This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  32544
  Copyright terms: Public domain W3C validator