Theorem orng0le1 20790

Description: In an ordered ring, the ring unity is positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
orng0le1.1	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
orng0le1.2	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
orng0le1.3	⊢ ≤ = (le‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
orng0le1	⊢ (𝐹 ∈ oRing → 0 ≤ 1 )

Proof of Theorem orng0le1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orngring 20778	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ oRing → 𝐹 ∈ Ring)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3		orng0le1.2	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
4	2, 3	ringidcl 20184	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐹))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oRing → 1 ∈ (Base‘𝐹))
6		orng0le1.3	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐹)
7		orng0le1.1	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
8		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
9	2, 6, 7, 8	orngsqr 20782	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ oRing ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → 0 ≤ ( 1 (.r‘𝐹) 1 ))
10	5, 9	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oRing → 0 ≤ ( 1 (.r‘𝐹) 1 ))
11	2, 8, 3	ringlidm 20188	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → ( 1 (.r‘𝐹) 1 ) = 1 )
12	1, 4, 11	syl2anc2 585	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oRing → ( 1 (.r‘𝐹) 1 ) = 1 )
13	10, 12	breqtrd 5117	1 ⊢ (𝐹 ∈ oRing → 0 ≤ 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  lecple 17168  0_gc0g 17343  1_rcur 20100  Ringcrg 20152  oRingcorng 20773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-toset 18321  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-omnd 20034  df-ogrp 20035  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154  df-orng 20775

This theorem is referenced by:  ofldlt1  20791