Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orng0le1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orng0le1 33285
Description: In an ordered ring, the ring unity is positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
orng0le1.1 0 = (0g𝐹)
orng0le1.2 1 = (1r𝐹)
orng0le1.3 = (le‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
orng0le1 (𝐹 ∈ oRing → 0 1 )

Proof of Theorem orng0le1
StepHypRef Expression
1 orngring 33273 . . . 4 (𝐹 ∈ oRing → 𝐹 ∈ Ring)
2 eqid 2733 . . . . 5 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3 orng0le1.2 . . . . 5 1 = (1r𝐹)
42, 3ringidcl 20265 . . . 4 (𝐹 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐹))
51, 4syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ oRing → 1 ∈ (Base‘𝐹))
6 orng0le1.3 . . . 4 = (le‘𝐹)
7 orng0le1.1 . . . 4 0 = (0g𝐹)
8 eqid 2733 . . . 4 (.r𝐹) = (.r𝐹)
92, 6, 7, 8orngsqr 33277 . . 3 ((𝐹 ∈ oRing ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → 0 ( 1 (.r𝐹) 1 ))
105, 9mpdan 686 . 2 (𝐹 ∈ oRing → 0 ( 1 (.r𝐹) 1 ))
112, 8, 3ringlidm 20268 . . 3 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → ( 1 (.r𝐹) 1 ) = 1 )
121, 4, 11syl2anc2 584 . 2 (𝐹 ∈ oRing → ( 1 (.r𝐹) 1 ) = 1 )
1310, 12breqtrd 5175 1 (𝐹 ∈ oRing → 0 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1535  wcel 2104   class class class wbr 5149  cfv 6558  (class class class)co 7425  Basecbs 17234  .rcmulr 17288  lecple 17294  0gc0g 17475  1rcur 20184  Ringcrg 20236  oRingcorng 33268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-om 7881  df-2nd 8008  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8738  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12258  df-2 12320  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-plusg 17300  df-0g 17477  df-proset 18341  df-poset 18359  df-plt 18376  df-toset 18463  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18952  df-minusg 18953  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20156  df-ur 20185  df-ring 20238  df-omnd 33027  df-ogrp 33028  df-orng 33270
This theorem is referenced by:  ofldlt1  33286
  Copyright terms: Public domain W3C validator