Theorem orng0le1 33299

Description: In an ordered ring, the ring unity is positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
orng0le1.1	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
orng0le1.2	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
orng0le1.3	⊢ ≤ = (le‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
orng0le1	⊢ (𝐹 ∈ oRing → 0 ≤ 1 )

Proof of Theorem orng0le1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orngring 33287	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ oRing → 𝐹 ∈ Ring)
2		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3		orng0le1.2	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
4	2, 3	ringidcl 20283	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐹))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ oRing → 1 ∈ (Base‘𝐹))
6		orng0le1.3	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐹)
7		orng0le1.1	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
8		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
9	2, 6, 7, 8	orngsqr 33291	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ oRing ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → 0 ≤ ( 1 (.r‘𝐹) 1 ))
10	5, 9	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oRing → 0 ≤ ( 1 (.r‘𝐹) 1 ))
11	2, 8, 3	ringlidm 20286	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → ( 1 (.r‘𝐹) 1 ) = 1 )
12	1, 4, 11	syl2anc2 584	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ oRing → ( 1 (.r‘𝐹) 1 ) = 1 )
13	10, 12	breqtrd 5192	1 ⊢ (𝐹 ∈ oRing → 0 ≤ 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6568  (class class class)co 7443  Basecbs 17252  ._rcmulr 17306  lecple 17312  0_gc0g 17493  1_rcur 20202  Ringcrg 20254  oRingcorng 33282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-pred 6327  df-ord 6393  df-on 6394  df-lim 6395  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7898  df-2nd 8025  df-frecs 8316  df-wrecs 8347  df-recs 8421  df-rdg 8460  df-er 8757  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-nn 12288  df-2 12350  df-sets 17205  df-slot 17223  df-ndx 17235  df-base 17253  df-plusg 17318  df-0g 17495  df-proset 18359  df-poset 18377  df-plt 18394  df-toset 18481  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-grp 18970  df-minusg 18971  df-cmn 19818  df-abl 19819  df-mgp 20156  df-rng 20174  df-ur 20203  df-ring 20256  df-omnd 33041  df-ogrp 33042  df-orng 33284

This theorem is referenced by:  ofldlt1  33300