Theorem pfxccatid 14762

Description: A prefix of a concatenation of length of the first concatenated word is the first word itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Sep-2018.) (Revised by AV, 10-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatid	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐴)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = 𝐴)

Proof of Theorem pfxccatid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 14554	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		nn0fz0 13648	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐴) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
3	1, 2	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
4	3	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
5		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐴) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ↔ (♯‘𝐴) ∈ (0...(♯‘𝐴))))
6	5	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐴)) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ↔ (♯‘𝐴) ∈ (0...(♯‘𝐴))))
7	4, 6	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐴)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
8		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐴)
9	8	pfxccatpfx1 14757	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 prefix 𝑁))
10	7, 9	syld3an3 1410	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐴)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 prefix 𝑁))
11		oveq2 7422	. . 3 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐴) → (𝐴 prefix 𝑁) = (𝐴 prefix (♯‘𝐴)))
12	11	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐴)) → (𝐴 prefix 𝑁) = (𝐴 prefix (♯‘𝐴)))
13		pfxid 14705	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 prefix (♯‘𝐴)) = 𝐴)
14	13	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐴)) → (𝐴 prefix (♯‘𝐴)) = 𝐴)
15	10, 12, 14	3eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐴)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11138  ℕ₀cn0 12510  ...cfz 13530  ♯chash 14352  Word cword 14535   ++ cconcat 14591   prefix cpfx 14691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-hash 14353  df-word 14536  df-concat 14592  df-substr 14662  df-pfx 14692

This theorem is referenced by:  ccats1pfxeqbi  14763  clwlkclwwlk2  29969  clwlkclwwlkfo  29975  numclwwlk1lem2foalem  30317  numclwwlk1lem2fo  30324