MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccat3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdccat3b 14720
Description: A suffix of a concatenation is either a suffix of the second concatenated word or a concatenation of a suffix of the first word with the second word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 30-May-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin2.l 𝐿 = (♯‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
swrdccat3b ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))))

Proof of Theorem swrdccat3b
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
2 simpr 483 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
3 elfzubelfz 13543 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
43adantl 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
5 swrdccatin2.l . . . . . 6 𝐿 = (♯‘𝐴)
65pfxccat3 14714 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)))))))
76imp 405 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))))
81, 2, 4, 7syl12anc 835 . . 3 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))))
95swrdccat3blem 14719 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿) → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩))
10 iftrue 4530 . . . . . 6 (𝐿𝑀 → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩))
11103ad2ant3 1132 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿𝐿𝑀) → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩))
12 lencl 14513 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1312nn0cnd 12562 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
14 lencl 14513 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 12562 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
165eqcomi 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘𝐴) = 𝐿
1716eleq1i 2816 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐴) ∈ ℂ ↔ 𝐿 ∈ ℂ)
18 pncan2 11495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
1917, 18sylanb 579 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
2013, 15, 19syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
2120eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝐵) = ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))
2221adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (♯‘𝐵) = ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))
23223ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿𝐿𝑀) → (♯‘𝐵) = ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))
2423opeq2d 4876 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿𝐿𝑀) → ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩ = ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩)
2524oveq2d 7431 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿𝐿𝑀) → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩))
2611, 25eqtrd 2765 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿𝐿𝑀) → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩))
27 iffalse 4533 . . . . . 6 𝐿𝑀 → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))
28273ad2ant3 1132 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))
2920adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
30293ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
3130oveq2d 7431 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)) = (𝐵 prefix (♯‘𝐵)))
32 pfxid 14664 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
3332adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
3433adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
35343ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
3631, 35eqtr2d 2766 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → 𝐵 = (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)))
3736oveq2d 7431 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))
3828, 37eqtrd 2765 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))
399, 26, 382if2 4579 . . 3 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))))
408, 39eqtr4d 2768 . 2 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)))
4140ex 411 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  ifcif 4524  cop 4630   class class class wbr 5143  cfv 6542  (class class class)co 7415  cc 11134  0cc0 11136   + caddc 11139  cle 11277  cmin 11472  ...cfz 13514  chash 14319  Word cword 14494   ++ cconcat 14550   substr csubstr 14620   prefix cpfx 14650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-hash 14320  df-word 14495  df-concat 14551  df-substr 14621  df-pfx 14651
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator