Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccat3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdccat3b 14162
 Description: A suffix of a concatenation is either a suffix of the second concatenated word or a concatenation of a suffix of the first word with the second word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 30-May-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin2.l 𝐿 = (♯‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
swrdccat3b ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))))

Proof of Theorem swrdccat3b
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
2 simpr 488 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
3 elfzubelfz 12981 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
43adantl 485 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
5 swrdccatin2.l . . . . . 6 𝐿 = (♯‘𝐴)
65pfxccat3 14156 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)))))))
76imp 410 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))))
81, 2, 4, 7syl12anc 835 . . 3 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))))
95swrdccat3blem 14161 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿) → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩))
10 iftrue 4429 . . . . . 6 (𝐿𝑀 → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩))
11103ad2ant3 1132 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿𝐿𝑀) → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩))
12 lencl 13945 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1312nn0cnd 12009 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
14 lencl 13945 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 12009 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
165eqcomi 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘𝐴) = 𝐿
1716eleq1i 2842 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐴) ∈ ℂ ↔ 𝐿 ∈ ℂ)
18 pncan2 10944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
1917, 18sylanb 584 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
2013, 15, 19syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
2120eqcomd 2764 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝐵) = ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))
2221adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (♯‘𝐵) = ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))
23223ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿𝐿𝑀) → (♯‘𝐵) = ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))
2423opeq2d 4773 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿𝐿𝑀) → ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩ = ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩)
2524oveq2d 7172 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿𝐿𝑀) → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩))
2611, 25eqtrd 2793 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿𝐿𝑀) → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩))
27 iffalse 4432 . . . . . 6 𝐿𝑀 → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))
28273ad2ant3 1132 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))
2920adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
30293ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
3130oveq2d 7172 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)) = (𝐵 prefix (♯‘𝐵)))
32 pfxid 14106 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
3332adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
3433adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
35343ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
3631, 35eqtr2d 2794 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → 𝐵 = (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)))
3736oveq2d 7172 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))
3828, 37eqtrd 2793 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))
399, 26, 382if2 4478 . . 3 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))))
408, 39eqtr4d 2796 . 2 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)))
4140ex 416 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4423  ⟨cop 4531   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  0cc0 10588   + caddc 10591   ≤ cle 10727   − cmin 10921  ...cfz 12952  ♯chash 13753  Word cword 13926   ++ cconcat 13982   substr csubstr 14062   prefix cpfx 14092 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-hash 13754  df-word 13927  df-concat 13983  df-substr 14063  df-pfx 14093 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator