MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccat3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdccat3b 14090
Description: A suffix of a concatenation is either a suffix of the second concatenated word or a concatenation of a suffix of the first word with the second word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 30-May-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin2.l 𝐿 = (♯‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
swrdccat3b ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))))

Proof of Theorem swrdccat3b
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
2 simpr 485 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
3 elfzubelfz 12907 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
43adantl 482 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
5 swrdccatin2.l . . . . . 6 𝐿 = (♯‘𝐴)
65pfxccat3 14084 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)))))))
76imp 407 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))))
81, 2, 4, 7syl12anc 832 . . 3 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))))
95swrdccat3blem 14089 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿) → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩))
10 iftrue 4469 . . . . . 6 (𝐿𝑀 → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩))
11103ad2ant3 1127 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿𝐿𝑀) → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩))
12 lencl 13871 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1312nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
14 lencl 13871 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
165eqcomi 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘𝐴) = 𝐿
1716eleq1i 2900 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐴) ∈ ℂ ↔ 𝐿 ∈ ℂ)
18 pncan2 10881 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
1917, 18sylanb 581 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
2013, 15, 19syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
2120eqcomd 2824 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝐵) = ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))
2221adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (♯‘𝐵) = ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))
23223ad2ant1 1125 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿𝐿𝑀) → (♯‘𝐵) = ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))
2423opeq2d 4802 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿𝐿𝑀) → ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩ = ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩)
2524oveq2d 7161 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿𝐿𝑀) → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩))
2611, 25eqtrd 2853 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿𝐿𝑀) → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩))
27 iffalse 4472 . . . . . 6 𝐿𝑀 → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))
28273ad2ant3 1127 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))
2920adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
30293ad2ant1 1125 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
3130oveq2d 7161 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)) = (𝐵 prefix (♯‘𝐵)))
32 pfxid 14034 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
3332adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
3433adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
35343ad2ant1 1125 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
3631, 35eqtr2d 2854 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → 𝐵 = (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)))
3736oveq2d 7161 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))
3828, 37eqtrd 2853 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))
399, 26, 382if2 4516 . . 3 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))))
408, 39eqtr4d 2856 . 2 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)))
4140ex 413 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  ifcif 4463  cop 4563   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525   + caddc 10528  cle 10664  cmin 10858  ...cfz 12880  chash 13678  Word cword 13849   ++ cconcat 13910   substr csubstr 13990   prefix cpfx 14020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-concat 13911  df-substr 13991  df-pfx 14021
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator