Theorem swrdccat3b 14381

Description: A suffix of a concatenation is either a suffix of the second concatenated word or a concatenation of a suffix of the first word with the second word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 30-May-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
swrdccat3b	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))))

Proof of Theorem swrdccat3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
3		elfzubelfz 13197	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
5		swrdccatin2.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
6	5	pfxccat3 14375	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)))))))
7	6	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))))
8	1, 2, 4, 7	syl12anc 833	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))))
9	5	swrdccat3blem 14380	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿) → if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩))
10		iftrue 4462	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ≤ 𝑀 → if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩))
11	10	3ad2ant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩))
12		lencl 14164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
14		lencl 14164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
16	5	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘𝐴) = 𝐿
17	16	eleq1i 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℂ ↔ 𝐿 ∈ ℂ)
18		pncan2 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
19	17, 18	sylanb 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
20	13, 15, 19	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
21	20	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝐵) = ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (♯‘𝐵) = ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))
23	22	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (♯‘𝐵) = ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))
24	23	opeq2d 4808	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩ = ⟨(𝑀 − 𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩)
25	24	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩))
26	11, 25	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩))
27		iffalse 4465	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐿 ≤ 𝑀 → if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))
28	27	3ad2ant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))
29	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
30	29	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
31	30	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)) = (𝐵 prefix (♯‘𝐵)))
32		pfxid 14325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
34	33	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
35	34	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
36	31, 35	eqtr2d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → 𝐵 = (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)))
37	36	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))
38	28, 37	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))
39	9, 26, 38	2if2 4511	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))))
40	8, 39	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)))
41	40	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   + caddc 10805   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ...cfz 13168  ♯chash 13972  Word cword 14145   ++ cconcat 14201   substr csubstr 14281   prefix cpfx 14311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-substr 14282  df-pfx 14312

This theorem is referenced by: (None)