Theorem swrdccat3b 14763

Description: A suffix of a concatenation is either a suffix of the second concatenated word or a concatenation of a suffix of the first word with the second word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 30-May-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
swrdccat3b	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))))

Proof of Theorem swrdccat3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
3		elfzubelfz 13558	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
5		swrdccatin2.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
6	5	pfxccat3 14757	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)))))))
7	6	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))))
8	1, 2, 4, 7	syl12anc 836	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))))
9	5	swrdccat3blem 14762	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿) → if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩))
10		iftrue 4511	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ≤ 𝑀 → if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩))
11	10	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩))
12		lencl 14556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
14		lencl 14556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
16	5	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘𝐴) = 𝐿
17	16	eleq1i 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℂ ↔ 𝐿 ∈ ℂ)
18		pncan2 11494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
19	17, 18	sylanb 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
20	13, 15, 19	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
21	20	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝐵) = ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (♯‘𝐵) = ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))
23	22	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (♯‘𝐵) = ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))
24	23	opeq2d 4861	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩ = ⟨(𝑀 − 𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩)
25	24	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩))
26	11, 25	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩))
27		iffalse 4514	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐿 ≤ 𝑀 → if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))
28	27	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))
29	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
30	29	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿) = (♯‘𝐵))
31	30	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)) = (𝐵 prefix (♯‘𝐵)))
32		pfxid 14707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
34	33	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
35	34	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐵 prefix (♯‘𝐵)) = 𝐵)
36	31, 35	eqtr2d 2772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → 𝐵 = (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)))
37	36	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))
38	28, 37	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))
39	9, 26, 38	2if2 4561	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)) = if((𝐿 + (♯‘𝐵)) ≤ 𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix ((𝐿 + (♯‘𝐵)) − 𝐿))))))
40	8, 39	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵)))
41	40	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑀 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, (𝐿 + (♯‘𝐵))⟩) = if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (♯‘𝐵)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4505  ⟨cop 4612   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134   + caddc 11137   ≤ cle 11275   − cmin 11471  ...cfz 13529  ♯chash 14353  Word cword 14536   ++ cconcat 14593   substr csubstr 14663   prefix cpfx 14693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-substr 14664  df-pfx 14694

This theorem is referenced by: (None)