MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkclwwlk2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkclwwlk2 28996
Description: A closed walk corresponds to a closed walk as word in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwlkclwwlk.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
clwlkclwwlk.e 𝐸 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlk2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(ClWalksβ€˜πΊ)(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑃,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝐺

Proof of Theorem clwlkclwwlk2
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐺 ∈ USPGraph)
2 wrdsymb1 14450 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉)
32s1cld 14500 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
4 ccatcl 14471 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉)
53, 4syldan 592 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉)
653adant1 1131 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉)
7 lencl 14430 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) ∈ β„•0)
8 1e2m1 12288 . . . . . . . . . 10 1 = (2 βˆ’ 1)
98breq1i 5116 . . . . . . . . 9 (1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ) ↔ (2 βˆ’ 1) ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
10 2re 12235 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘ƒ) ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ ℝ)
12 1red 11164 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘ƒ) ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ ℝ)
13 nn0re 12430 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘ƒ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ)
1411, 12, 13lesubaddd 11760 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘ƒ) ∈ β„•0 β†’ ((2 βˆ’ 1) ≀ (β™―β€˜π‘ƒ) ↔ 2 ≀ ((β™―β€˜π‘ƒ) + 1)))
159, 14bitrid 283 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘ƒ) ∈ β„•0 β†’ (1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ) ↔ 2 ≀ ((β™―β€˜π‘ƒ) + 1)))
167, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 β†’ (1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ) ↔ 2 ≀ ((β™―β€˜π‘ƒ) + 1)))
1716biimpa 478 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ 2 ≀ ((β™―β€˜π‘ƒ) + 1))
18 s1len 14503 . . . . . . 7 (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) = 1
1918oveq2i 7372 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘ƒ) + 1)
2017, 19breqtrrdi 5151 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ 2 ≀ ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)))
21 ccatlen 14472 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)))
223, 21syldan 592 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)))
2320, 22breqtrrd 5137 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)))
24233adant1 1131 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)))
25 clwlkclwwlk.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
26 clwlkclwwlk.e . . . 4 𝐸 = (iEdgβ€˜πΊ)
2725, 26clwlkclwwlk 28995 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©))) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(ClWalksβ€˜πΊ)(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ↔ ((lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) ∧ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))))
281, 6, 24, 27syl3anc 1372 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(ClWalksβ€˜πΊ)(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ↔ ((lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) ∧ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))))
29 wrdlenccats1lenm1 14519 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word 𝑉 β†’ ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1) = (β™―β€˜π‘ƒ))
3029oveq2d 7377 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘ƒ)))
3130adantr 482 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘ƒ)))
32 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑃 ∈ Word 𝑉)
33 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = (β™―β€˜π‘ƒ))
34 pfxccatid 14638 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘ƒ)) = 𝑃)
3532, 3, 33, 34syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘ƒ)) = 𝑃)
3631, 35eqtr2d 2774 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑃 = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)))
3736eleq1d 2819 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
38 lswccats1fst 14532 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0))
3938biantrurd 534 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ ((lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) ∧ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))))
4037, 39bitr2d 280 . . 3 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (((lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) ∧ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
41403adant1 1131 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (((lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) ∧ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
4228, 41bitrd 279 1 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(ClWalksβ€˜πΊ)(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  2c2 12216  β„•0cn0 12421  β™―chash 14239  Word cword 14411  lastSclsw 14459   ++ cconcat 14467  βŸ¨β€œcs1 14492   prefix cpfx 14567  Vtxcvtx 27996  iEdgciedg 27997  USPGraphcuspgr 28148  ClWalkscclwlks 28767  ClWWalkscclwwlk 28974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-edg 28048  df-uhgr 28058  df-upgr 28082  df-uspgr 28150  df-wlks 28596  df-clwlks 28768  df-clwwlk 28975
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlkfo  29002
  Copyright terms: Public domain W3C validator