MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkclwwlk2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkclwwlk2 29253
Description: A closed walk corresponds to a closed walk as word in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwlkclwwlk.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
clwlkclwwlk.e 𝐸 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlk2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(ClWalksβ€˜πΊ)(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑃,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝐺

Proof of Theorem clwlkclwwlk2
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐺 ∈ USPGraph)
2 wrdsymb1 14502 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉)
32s1cld 14552 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
4 ccatcl 14523 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉)
53, 4syldan 591 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉)
653adant1 1130 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉)
7 lencl 14482 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) ∈ β„•0)
8 1e2m1 12338 . . . . . . . . . 10 1 = (2 βˆ’ 1)
98breq1i 5155 . . . . . . . . 9 (1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ) ↔ (2 βˆ’ 1) ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
10 2re 12285 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘ƒ) ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ ℝ)
12 1red 11214 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘ƒ) ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ ℝ)
13 nn0re 12480 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘ƒ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ)
1411, 12, 13lesubaddd 11810 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘ƒ) ∈ β„•0 β†’ ((2 βˆ’ 1) ≀ (β™―β€˜π‘ƒ) ↔ 2 ≀ ((β™―β€˜π‘ƒ) + 1)))
159, 14bitrid 282 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘ƒ) ∈ β„•0 β†’ (1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ) ↔ 2 ≀ ((β™―β€˜π‘ƒ) + 1)))
167, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 β†’ (1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ) ↔ 2 ≀ ((β™―β€˜π‘ƒ) + 1)))
1716biimpa 477 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ 2 ≀ ((β™―β€˜π‘ƒ) + 1))
18 s1len 14555 . . . . . . 7 (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) = 1
1918oveq2i 7419 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘ƒ) + 1)
2017, 19breqtrrdi 5190 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ 2 ≀ ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)))
21 ccatlen 14524 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)))
223, 21syldan 591 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)))
2320, 22breqtrrd 5176 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)))
24233adant1 1130 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)))
25 clwlkclwwlk.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
26 clwlkclwwlk.e . . . 4 𝐸 = (iEdgβ€˜πΊ)
2725, 26clwlkclwwlk 29252 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©))) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(ClWalksβ€˜πΊ)(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ↔ ((lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) ∧ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))))
281, 6, 24, 27syl3anc 1371 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(ClWalksβ€˜πΊ)(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ↔ ((lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) ∧ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))))
29 wrdlenccats1lenm1 14571 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word 𝑉 β†’ ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1) = (β™―β€˜π‘ƒ))
3029oveq2d 7424 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘ƒ)))
3130adantr 481 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘ƒ)))
32 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑃 ∈ Word 𝑉)
33 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = (β™―β€˜π‘ƒ))
34 pfxccatid 14690 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘ƒ)) = 𝑃)
3532, 3, 33, 34syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘ƒ)) = 𝑃)
3631, 35eqtr2d 2773 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑃 = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)))
3736eleq1d 2818 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
38 lswccats1fst 14584 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0))
3938biantrurd 533 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ ((lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) ∧ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))))
4037, 39bitr2d 279 . . 3 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (((lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) ∧ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
41403adant1 1130 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (((lastSβ€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) = ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)β€˜0) ∧ ((𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
4228, 41bitrd 278 1 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(ClWalksβ€˜πΊ)(𝑃 ++ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)β€βŸ©) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  2c2 12266  β„•0cn0 12471  β™―chash 14289  Word cword 14463  lastSclsw 14511   ++ cconcat 14519  βŸ¨β€œcs1 14544   prefix cpfx 14619  Vtxcvtx 28253  iEdgciedg 28254  USPGraphcuspgr 28405  ClWalkscclwlks 29024  ClWWalkscclwwlk 29231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-edg 28305  df-uhgr 28315  df-upgr 28339  df-uspgr 28407  df-wlks 28853  df-clwlks 29025  df-clwwlk 29232
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlkfo  29259
  Copyright terms: Public domain W3C validator