MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkclwwlk2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkclwwlk2 30031
Description: A closed walk corresponds to a closed walk as word in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwlkclwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwlkclwwlk.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlk2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑃,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝐺

Proof of Theorem clwlkclwwlk2
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ USPGraph)
2 wrdsymb1 14587 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
32s1cld 14637 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
4 ccatcl 14608 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
53, 4syldan 591 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
653adant1 1129 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
7 lencl 14567 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
8 1e2m1 12390 . . . . . . . . . 10 1 = (2 − 1)
98breq1i 5154 . . . . . . . . 9 (1 ≤ (♯‘𝑃) ↔ (2 − 1) ≤ (♯‘𝑃))
10 2re 12337 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
12 1red 11259 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
13 nn0re 12532 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
1411, 12, 13lesubaddd 11857 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝑃) + 1)))
159, 14bitrid 283 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝑃) + 1)))
167, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (1 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝑃) + 1)))
1716biimpa 476 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ ((♯‘𝑃) + 1))
18 s1len 14640 . . . . . . 7 (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1
1918oveq2i 7441 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑃) + 1)
2017, 19breqtrrdi 5189 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
21 ccatlen 14609 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
223, 21syldan 591 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
2320, 22breqtrrd 5175 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
24233adant1 1129 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
25 clwlkclwwlk.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
26 clwlkclwwlk.e . . . 4 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
2725, 26clwlkclwwlk 30030 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩))) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ ((lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
281, 6, 24, 27syl3anc 1370 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ ((lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
29 wrdlenccats1lenm1 14656 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1) = (♯‘𝑃))
3029oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑃)))
3130adantr 480 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑃)))
32 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
33 eqidd 2735 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) = (♯‘𝑃))
34 pfxccatid 14775 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = (♯‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑃)) = 𝑃)
3532, 3, 33, 34syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑃)) = 𝑃)
3631, 35eqtr2d 2775 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)))
3736eleq1d 2823 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
38 lswccats1fst 14669 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
3938biantrurd 532 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
4037, 39bitr2d 280 . . 3 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
41403adant1 1129 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
4228, 41bitrd 279 1 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  cle 11293  cmin 11489  2c2 12318  0cn0 12523  chash 14365  Word cword 14548  lastSclsw 14596   ++ cconcat 14604  ⟨“cs1 14629   prefix cpfx 14704  Vtxcvtx 29027  iEdgciedg 29028  USPGraphcuspgr 29179  ClWalkscclwlks 29802  ClWWalkscclwwlk 30009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-lsw 14597  df-concat 14605  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-edg 29079  df-uhgr 29089  df-upgr 29113  df-uspgr 29181  df-wlks 29631  df-clwlks 29803  df-clwwlk 30010
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlkfo  30037
  Copyright terms: Public domain W3C validator