Theorem clwlkclwwlk2 27468

Description: A closed walk corresponds to a closed walk as word in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwlkclwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwlkclwwlk.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwlkclwwlk2	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑃,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝐺

Proof of Theorem clwlkclwwlk2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lswccats1fst 13833	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
2	1	3adant1 1123	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
3	2	biantrurd 533	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
4		wrdlenccats1lenm1 13820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1) = (♯‘𝑃))
5	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1) = (♯‘𝑃))
6	5	oveq2d 7032	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑃)))
7		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
8		wrdsymb1 13751	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
9	8	s1cld 13801	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
10		eqidd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) = (♯‘𝑃))
11		pfxccatid 13939	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = (♯‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑃)) = 𝑃)
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1364	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑃)) = 𝑃)
13	6, 12	eqtr2d 2832	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)))
14	13	3adant1 1123	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)))
15	14	eleq1d 2867	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
16		simp1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ USPGraph)
17		simp2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
18	9	3adant1 1123	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
19		ccatcl 13772	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
20	17, 18, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
21		lencl 13729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
22		1e2m1 11612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (2 − 1)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 = (2 − 1))
24	23	breq1d 4972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 ≤ (♯‘𝑃) ↔ (2 − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
25		2re 11559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
27		1red 10488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
28		nn0re 11754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
29	26, 27, 28	lesubaddd 11085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝑃) + 1)))
30	24, 29	bitrd 280	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝑃) + 1)))
31	21, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (1 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝑃) + 1)))
32	31	biimpa 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ ((♯‘𝑃) + 1))
33		s1len 13804	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1
34	33	oveq2i 7027	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑃) + 1)
35	32, 34	syl6breqr 5004	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
36	35	3adant1 1123	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
37	7, 9	jca 512	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉))
38	37	3adant1 1123	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉))
39		ccatlen 13773	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
40	38, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
41	36, 40	breqtrrd 4990	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
42		clwlkclwwlk.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43		clwlkclwwlk.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
44	42, 43	clwlkclwwlk 27467	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩))) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ ((lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
45	16, 20, 41, 44	syl3anc 1364	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ ((lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
46	3, 15, 45	3bitr4rd 313	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522  ∃wex 1761   ∈ wcel 2081   class class class wbr 4962  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  ℝcr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   ≤ cle 10522   − cmin 10717  2c2 11540  ℕ₀cn0 11745  ♯chash 13540  Word cword 13707  lastSclsw 13760   ++ cconcat 13768  ⟨“cs1 13793   prefix cpfx 13868  Vtxcvtx 26464  iEdgciedg 26465  USPGraphcuspgr 26616  ClWalkscclwlks 27238  ClWWalkscclwwlk 27446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-ifp 1056  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-n0 11746  df-xnn0 11816  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-hash 13541  df-word 13708  df-lsw 13761  df-concat 13769  df-s1 13794  df-substr 13839  df-pfx 13869  df-edg 26516  df-uhgr 26526  df-upgr 26550  df-uspgr 26618  df-wlks 27064  df-clwlks 27239  df-clwwlk 27447

This theorem is referenced by:  clwlkclwwlkfo  27474