Theorem clwlkclwwlk2 30600

Description: A closed walk corresponds to a closed walk as word in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwlkclwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwlkclwwlk.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwlkclwwlk2	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑃,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝐺

Proof of Theorem clwlkclwwlk2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ USPGraph)
2		wrdsymb1 14702	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
3	2	s1cld 14754	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
4		ccatcl 14723	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
5	3, 4	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
6	5	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
7		lencl 14682	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
8		1e2m1 12473	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (2 − 1)
9	8	breq1i 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≤ (♯‘𝑃) ↔ (2 − 1) ≤ (♯‘𝑃))
10		2re 12421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
12		1red 11313	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
13		nn0re 12619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
14	11, 12, 13	lesubaddd 11917	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝑃) + 1)))
15	9, 14	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝑃) + 1)))
16	7, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (1 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝑃) + 1)))
17	16	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ ((♯‘𝑃) + 1))
18		s1len 14757	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1
19	18	oveq2i 7432	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑃) + 1)
20	17, 19	breqtrrdi 5146	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
21		ccatlen 14724	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
22	3, 21	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
23	20, 22	breqtrrd 5132	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
24	23	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
25		clwlkclwwlk.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
26		clwlkclwwlk.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
27	25, 26	clwlkclwwlk 30599	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩))) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ ((lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
28	1, 6, 24, 27	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ ((lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
29		wrdlenccats1lenm1 14775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1) = (♯‘𝑃))
30	29	oveq2d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑃)))
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑃)))
32		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
33		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) = (♯‘𝑃))
34		pfxccatid 14895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = (♯‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑃)) = 𝑃)
35	32, 3, 33, 34	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑃)) = 𝑃)
36	31, 35	eqtr2d 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)))
37	36	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
38		lswccats1fst 14788	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
39	38	biantrurd 542	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
40	37, 39	bitr2d 283	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
41	40	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
42	28, 41	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   ≤ cle 11348   − cmin 11545  2c2 12401  ℕ₀cn0 12610  ♯chash 14478  Word cword 14662  lastSclsw 14711   ++ cconcat 14719  ⟨“cs1 14746   prefix cpfx 14825  Vtxcvtx 29580  iEdgciedg 29581  USPGraphcuspgr 29735  ClWalkscclwlks 30363  ClWWalkscclwwlk 30578

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-hash 14479  df-word 14663  df-lsw 14712  df-concat 14720  df-s1 14747  df-substr 14794  df-pfx 14826  df-edg 29632  df-uhgr 29642  df-upgr 29666  df-uspgr 29737  df-wlks 30186  df-clwlks 30364  df-clwwlk 30579

This theorem is used by:  clwlkclwwlkfo  30606