Theorem clwlkclwwlk2 30335

Description: A closed walk corresponds to a closed walk as word in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwlkclwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwlkclwwlk.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwlkclwwlk2	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑃,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝐺

Proof of Theorem clwlkclwwlk2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ USPGraph)
2		wrdsymb1 14592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
3	2	s1cld 14643	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
4		ccatcl 14613	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
5	3, 4	syldan 602	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
6	5	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
7		lencl 14572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
8		1e2m1 12368	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (2 − 1)
9	8	breq1i 5117	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≤ (♯‘𝑃) ↔ (2 − 1) ≤ (♯‘𝑃))
10		2re 12316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
12		1red 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
13		nn0re 12514	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
14	11, 12, 13	lesubaddd 11812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝑃) + 1)))
15	9, 14	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝑃) + 1)))
16	7, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (1 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((♯‘𝑃) + 1)))
17	16	biimpa 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ ((♯‘𝑃) + 1))
18		s1len 14646	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1
19	18	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑃) + 1)
20	17, 19	breqtrrdi 5154	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
21		ccatlen 14614	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
22	3, 21	syldan 602	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
23	20, 22	breqtrrd 5140	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
24	23	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
25		clwlkclwwlk.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
26		clwlkclwwlk.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
27	25, 26	clwlkclwwlk 30334	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩))) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ ((lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
28	1, 6, 24, 27	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ ((lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
29		wrdlenccats1lenm1 14662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1) = (♯‘𝑃))
30	29	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑃)))
31	30	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑃)))
32		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
33		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) = (♯‘𝑃))
34		pfxccatid 14780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = (♯‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑃)) = 𝑃)
35	32, 3, 33, 34	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑃)) = 𝑃)
36	31, 35	eqtr2d 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)))
37	36	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
38		lswccats1fst 14675	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
39	38	biantrurd 541	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
40	37, 39	bitr2d 283	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
41	40	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) prefix ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
42	28, 41	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   ≤ cle 11245   − cmin 11442  2c2 12296  ℕ₀cn0 12505  ♯chash 14368  Word cword 14552  lastSclsw 14601   ++ cconcat 14609  ⟨“cs1 14635   prefix cpfx 14710  Vtxcvtx 29327  iEdgciedg 29328  USPGraphcuspgr 29479  ClWalkscclwlks 30100  ClWWalkscclwwlk 30313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14636  df-substr 14681  df-pfx 14711  df-edg 29379  df-uhgr 29389  df-upgr 29413  df-uspgr 29481  df-wlks 29930  df-clwlks 30101  df-clwwlk 30314

This theorem is referenced by:  clwlkclwwlkfo  30341