MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1rid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1rid 18757
Description: The left projection function is the zero operator on the right subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a + = (+g𝐺)
pj1eu.s = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o 0 = (0g𝐺)
pj1eu.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
pj1eu.5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
pj1f.p 𝑃 = (proj1𝐺)
Assertion
Ref Expression
pj1rid ((𝜑𝑋𝑈) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 )

Proof of Theorem pj1rid
StepHypRef Expression
1 pj1eu.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 subgrcl 18222 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝐺 ∈ Grp)
5 pj1eu.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
76subgss 18218 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
85, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
98sselda 3964 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
10 pj1eu.a . . . . . 6 + = (+g𝐺)
11 pj1eu.o . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
126, 10, 11grplid 18071 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
134, 9, 12syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
1413eqcomd 2824 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋 = ( 0 + 𝑋))
15 pj1eu.s . . . 4 = (LSSum‘𝐺)
16 pj1eu.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
175adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18 pj1eu.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
1918adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑇𝑈) = { 0 })
20 pj1eu.5 . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
2120adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
22 pj1f.p . . . 4 𝑃 = (proj1𝐺)
2315lsmub2 18712 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))
241, 5, 23syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))
2524sselda 3964 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋 ∈ (𝑇 𝑈))
2611subg0cl 18225 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑇)
272, 26syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 0𝑇)
28 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
2910, 15, 11, 16, 2, 17, 19, 21, 22, 25, 27, 28pj1eq 18755 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑋 = ( 0 + 𝑋) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝑋)))
3014, 29mpbid 233 . 2 ((𝜑𝑋𝑈) → (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝑋))
3130simpld 495 1 ((𝜑𝑋𝑈) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3932  wss 3933  {csn 4557  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  Grpcgrp 18041  SubGrpcsubg 18211  Cntzccntz 18383  LSSumclsm 18688  proj1cpj1 18689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-lsm 18690  df-pj1 18691
This theorem is referenced by:  dpjidcl  19109
  Copyright terms: Public domain W3C validator