Theorem pj1rid 19896

Description: The left projection function is the zero operator on the right subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pj1rid	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 )

Proof of Theorem pj1rid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		subgrcl 19321	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐺 ∈ Grp)
5		pj1eu.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7	6	subgss 19317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
8	5, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
9	8	sselda 3931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
10		pj1eu.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11		pj1eu.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12	6, 10, 11	grplid 19158	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
13	4, 9, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
14	13	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 = ( 0 + 𝑋))
15		pj1eu.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
16		pj1eu.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
17	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18		pj1eu.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
19	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
20		pj1eu.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
22		pj1f.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
23	15	lsmub2 19852	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
24	1, 5, 23	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
25	24	sselda 3931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
26	11	subg0cl 19324	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑇)
27	2, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 0 ∈ 𝑇)
28		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
29	10, 15, 11, 16, 2, 17, 19, 21, 22, 25, 27, 28	pj1eq 19894	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋 = ( 0 + 𝑋) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝑋)))
30	14, 29	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝑋))
31	30	simpld 500	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  0_gc0g 17590  Grpcgrp 19124  SubGrpcsubg 19310  Cntzccntz 19509  LSSumclsm 19828  proj₁cpj1 19829

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-subg 19313  df-cntz 19511  df-lsm 19830  df-pj1 19831

This theorem is used by:  dpjidcl  20254