Theorem psrbagleadd1 22291

Description: The analogue of "𝑋 ≤ 𝐹 implies 𝑋 + 𝐺 ≤ 𝐹 + 𝐺 " (compare leadd1d 11950) for bags. (Contributed by SN, 2-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
psrbagleadd1.t	⊢ 𝑇 = {𝑧 ∈ 𝐷 ∣ 𝑧 ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺)}

Assertion

Ref	Expression
psrbagleadd1	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺   𝑦,𝐷   𝑦,𝐹   𝑓,𝑋   𝑦,𝑋   𝑧,𝐷   𝑧,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝑇(𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem psrbagleadd1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 3644	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹} → 𝑋 ∈ 𝐷)
2		psrbagconf1o.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
3	1, 2	eleq2s 2882	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∈ 𝐷)
4	3	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐷)
5		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ 𝐷)
6		psrbag.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7	6	psrbagaddcl 22287	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
8	4, 5, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
9	6	psrbagf 22281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10	4, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
11	10	ffvelcdmda 7116	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12708	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
13	6	psrbagf 22281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
14	13	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
15	14	ffvelcdmda 7116	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 12708	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	6	psrbagf 22281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐷 → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
18	17	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
19	18	ffvelcdmda 7116	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℕ0)
20	19	nn0red 12708	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
21		breq1 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∘r ≤ 𝐹 ↔ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
22	21, 2	elrab2 3652	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
23	22	simprbi 503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∘r ≤ 𝐹)
24	23	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∘r ≤ 𝐹)
25	9	ffnd 6740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋 Fn 𝐼)
26	3, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 Fn 𝐼)
27	26	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 Fn 𝐼)
28	13	ffnd 6740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 Fn 𝐼)
29	28	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐹 Fn 𝐼)
30		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 ∈ 𝐷)
31	30, 28	fndmexd 7950	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐼 ∈ V)
32	31	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ V)
33		inidm 4126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
34		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘𝑥))
35		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
36	27, 29, 32, 32, 33, 34, 35	ofrfval 7735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
37	24, 36	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
38	37	r19.21bi 3258	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
39	12, 16, 20, 38	leadd1dd 11970	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
40	39	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
41	6	psrbagf 22281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝑋 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
42	41	ffnd 6740	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝑋 ∘f + 𝐺) Fn 𝐼)
43	8, 42	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) Fn 𝐼)
44	6	psrbagaddcl 22287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
45	44	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
46	6	psrbagf 22281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
47	46	ffnd 6740	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐼)
48	45, 47	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐼)
49	17	ffnd 6740	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐷 → 𝐺 Fn 𝐼)
50	49	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 Fn 𝐼)
51		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
52	27, 50, 32, 32, 33, 34, 51	ofval 7736	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∘f + 𝐺)‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
53	29, 50, 32, 32, 33, 35, 51	ofval 7736	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
54	43, 48, 32, 32, 33, 52, 53	ofrfval 7735	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
55	40, 54	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺))
56		breq1 5111	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝐺) → (𝑧 ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ (𝑋 ∘f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
57		psrbagleadd1.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑧 ∈ 𝐷 ∣ 𝑧 ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺)}
58	56, 57	elrab2 3652	. 2 ⊢ ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝑇 ↔ ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝑋 ∘f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
59	8, 55, 58	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∘_f cof 7723   ∘_r cofr 7724   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011   + caddc 11242   ≤ cle 11383  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-nn 12376  df-n0 12647

This theorem is used by:  psdmul  22542