Theorem psrbagleadd1 21835

Description: The analogue of "𝑋 ≤ 𝐹 implies 𝑋 + 𝐺 ≤ 𝐹 + 𝐺 " (compare leadd1d 11714) for bags. (Contributed by SN, 2-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
psrbagleadd1.t	⊢ 𝑇 = {𝑧 ∈ 𝐷 ∣ 𝑧 ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺)}

Assertion

Ref	Expression
psrbagleadd1	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺   𝑦,𝐷   𝑦,𝐹   𝑓,𝑋   𝑦,𝑋   𝑧,𝐷   𝑧,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑓)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑓)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem psrbagleadd1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 3643	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹} → 𝑋 ∈ 𝐷)
2		psrbagconf1o.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
3	1, 2	eleq2s 2846	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∈ 𝐷)
4	3	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐷)
5		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ 𝐷)
6		psrbag.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7	6	psrbagaddcl 21831	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
8	4, 5, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
9	6	psrbagf 21825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10	4, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
11	10	ffvelcdmda 7018	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12446	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
13	6	psrbagf 21825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
14	13	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
15	14	ffvelcdmda 7018	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 12446	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	6	psrbagf 21825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐷 → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
18	17	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
19	18	ffvelcdmda 7018	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℕ0)
20	19	nn0red 12446	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
21		breq1 5095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∘r ≤ 𝐹 ↔ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
22	21, 2	elrab2 3651	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
23	22	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∘r ≤ 𝐹)
24	23	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∘r ≤ 𝐹)
25	9	ffnd 6653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋 Fn 𝐼)
26	3, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 Fn 𝐼)
27	26	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 Fn 𝐼)
28	13	ffnd 6653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 Fn 𝐼)
29	28	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐹 Fn 𝐼)
30		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 ∈ 𝐷)
31	30, 28	fndmexd 7837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐼 ∈ V)
32	31	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ V)
33		inidm 4178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
34		eqidd 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘𝑥))
35		eqidd 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
36	27, 29, 32, 32, 33, 34, 35	ofrfval 7623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
37	24, 36	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
38	37	r19.21bi 3221	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
39	12, 16, 20, 38	leadd1dd 11734	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
40	39	ralrimiva 3121	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
41	6	psrbagf 21825	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝑋 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
42	41	ffnd 6653	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝑋 ∘f + 𝐺) Fn 𝐼)
43	8, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) Fn 𝐼)
44	6	psrbagaddcl 21831	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
45	44	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
46	6	psrbagf 21825	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
47	46	ffnd 6653	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐼)
48	45, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐼)
49	17	ffnd 6653	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐷 → 𝐺 Fn 𝐼)
50	49	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 Fn 𝐼)
51		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
52	27, 50, 32, 32, 33, 34, 51	ofval 7624	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∘f + 𝐺)‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
53	29, 50, 32, 32, 33, 35, 51	ofval 7624	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
54	43, 48, 32, 32, 33, 52, 53	ofrfval 7623	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
55	40, 54	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺))
56		breq1 5095	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝐺) → (𝑧 ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ (𝑋 ∘f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
57		psrbagleadd1.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑧 ∈ 𝐷 ∣ 𝑧 ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺)}
58	56, 57	elrab2 3651	. 2 ⊢ ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝑇 ↔ ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝑋 ∘f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
59	8, 55, 58	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3394  Vcvv 3436   class class class wbr 5092  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∘_f cof 7611   ∘_r cofr 7612   ↑_m cmap 8753  Fincfn 8872   + caddc 11012   ≤ cle 11150  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-nn 12129  df-n0 12385

This theorem is referenced by:  psdmul  22051