Theorem psrbagleadd1 22236

Description: The analogue of "𝑋 ≤ 𝐹 implies 𝑋 + 𝐺 ≤ 𝐹 + 𝐺 " (compare leadd1d 11910) for bags. (Contributed by SN, 2-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
psrbagleadd1.t	⊢ 𝑇 = {𝑧 ∈ 𝐷 ∣ 𝑧 ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺)}

Assertion

Ref	Expression
psrbagleadd1	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺   𝑦,𝐷   𝑦,𝐹   𝑓,𝑋   𝑦,𝑋   𝑧,𝐷   𝑧,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝑇(𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem psrbagleadd1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 3641	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹} → 𝑋 ∈ 𝐷)
2		psrbagconf1o.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
3	1, 2	eleq2s 2879	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∈ 𝐷)
4	3	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐷)
5		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ 𝐷)
6		psrbag.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7	6	psrbagaddcl 22232	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
8	4, 5, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
9	6	psrbagf 22226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10	4, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
11	10	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12668	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
13	6	psrbagf 22226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
14	13	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
15	14	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 12668	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	6	psrbagf 22226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐷 → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
18	17	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
19	18	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℕ0)
20	19	nn0red 12668	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
21		breq1 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∘r ≤ 𝐹 ↔ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
22	21, 2	elrab2 3649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
23	22	simprbi 503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∘r ≤ 𝐹)
24	23	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∘r ≤ 𝐹)
25	9	ffnd 6710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋 Fn 𝐼)
26	3, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 Fn 𝐼)
27	26	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 Fn 𝐼)
28	13	ffnd 6710	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 Fn 𝐼)
29	28	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐹 Fn 𝐼)
30		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 ∈ 𝐷)
31	30, 28	fndmexd 7916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐼 ∈ V)
32	31	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ V)
33		inidm 4172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
34		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘𝑥))
35		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
36	27, 29, 32, 32, 33, 34, 35	ofrfval 7703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
37	24, 36	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
38	37	r19.21bi 3255	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
39	12, 16, 20, 38	leadd1dd 11930	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
40	39	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
41	6	psrbagf 22226	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝑋 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
42	41	ffnd 6710	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝑋 ∘f + 𝐺) Fn 𝐼)
43	8, 42	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) Fn 𝐼)
44	6	psrbagaddcl 22232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
45	44	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
46	6	psrbagf 22226	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
47	46	ffnd 6710	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐼)
48	45, 47	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐼)
49	17	ffnd 6710	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐷 → 𝐺 Fn 𝐼)
50	49	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 Fn 𝐼)
51		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
52	27, 50, 32, 32, 33, 34, 51	ofval 7704	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∘f + 𝐺)‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
53	29, 50, 32, 32, 33, 35, 51	ofval 7704	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
54	43, 48, 32, 32, 33, 52, 53	ofrfval 7703	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
55	40, 54	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺))
56		breq1 5106	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝐺) → (𝑧 ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ (𝑋 ∘f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
57		psrbagleadd1.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑧 ∈ 𝐷 ∣ 𝑧 ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺)}
58	56, 57	elrab2 3649	. 2 ⊢ ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝑇 ↔ ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝑋 ∘f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
59	8, 55, 58	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413  Vcvv 3451   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691   ∘_r cofr 7692   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973   + caddc 11203   ≤ cle 11344  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-nn 12336  df-n0 12607

This theorem is used by:  psdmul  22487