Theorem psrbagleadd1 21921

Description: The analogue of "𝑋 ≤ 𝐹 implies 𝑋 + 𝐺 ≤ 𝐹 + 𝐺 " (compare leadd1d 11738) for bags. (Contributed by SN, 2-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
psrbagleadd1.t	⊢ 𝑇 = {𝑧 ∈ 𝐷 ∣ 𝑧 ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺)}

Assertion

Ref	Expression
psrbagleadd1	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺   𝑦,𝐷   𝑦,𝐹   𝑓,𝑋   𝑦,𝑋   𝑧,𝐷   𝑧,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑓)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑓)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem psrbagleadd1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 3631	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹} → 𝑋 ∈ 𝐷)
2		psrbagconf1o.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
3	1, 2	eleq2s 2855	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∈ 𝐷)
4	3	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐷)
5		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ 𝐷)
6		psrbag.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7	6	psrbagaddcl 21917	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
8	4, 5, 7	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
9	6	psrbagf 21911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10	4, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
11	10	ffvelcdmda 7031	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12493	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
13	6	psrbagf 21911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
14	13	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
15	14	ffvelcdmda 7031	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 12493	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	6	psrbagf 21911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐷 → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
18	17	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
19	18	ffvelcdmda 7031	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℕ0)
20	19	nn0red 12493	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
21		breq1 5089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∘r ≤ 𝐹 ↔ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
22	21, 2	elrab2 3638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
23	22	simprbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∘r ≤ 𝐹)
24	23	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∘r ≤ 𝐹)
25	9	ffnd 6664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋 Fn 𝐼)
26	3, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 Fn 𝐼)
27	26	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 Fn 𝐼)
28	13	ffnd 6664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 Fn 𝐼)
29	28	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐹 Fn 𝐼)
30		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 ∈ 𝐷)
31	30, 28	fndmexd 7849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐼 ∈ V)
32	31	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ V)
33		inidm 4168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
34		eqidd 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘𝑥))
35		eqidd 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
36	27, 29, 32, 32, 33, 34, 35	ofrfval 7635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
37	24, 36	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
38	37	r19.21bi 3230	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
39	12, 16, 20, 38	leadd1dd 11758	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
40	39	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
41	6	psrbagf 21911	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝑋 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
42	41	ffnd 6664	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝑋 ∘f + 𝐺) Fn 𝐼)
43	8, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) Fn 𝐼)
44	6	psrbagaddcl 21917	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
45	44	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
46	6	psrbagf 21911	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
47	46	ffnd 6664	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐼)
48	45, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐼)
49	17	ffnd 6664	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐷 → 𝐺 Fn 𝐼)
50	49	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 Fn 𝐼)
51		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
52	27, 50, 32, 32, 33, 34, 51	ofval 7636	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∘f + 𝐺)‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
53	29, 50, 32, 32, 33, 35, 51	ofval 7636	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
54	43, 48, 32, 32, 33, 52, 53	ofrfval 7635	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
55	40, 54	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺))
56		breq1 5089	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝑋 ∘f + 𝐺) → (𝑧 ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺) ↔ (𝑋 ∘f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
57		psrbagleadd1.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑧 ∈ 𝐷 ∣ 𝑧 ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺)}
58	56, 57	elrab2 3638	. 2 ⊢ ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝑇 ↔ ((𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝑋 ∘f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹 ∘f + 𝐺)))
59	8, 55, 58	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∘f + 𝐺) ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∘_f cof 7623   ∘_r cofr 7624   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887   + caddc 11035   ≤ cle 11174  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-nn 12169  df-n0 12432

This theorem is referenced by:  psdmul  22145