MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagleadd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagleadd1 21966
Description: The analogue of "𝑋𝐹 implies 𝑋 + 𝐺𝐹 + 𝐺 " (compare leadd1d 11855) for bags. (Contributed by SN, 2-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s 𝑆 = {𝑦𝐷𝑦r𝐹}
psrbagleadd1.t 𝑇 = {𝑧𝐷𝑧r ≤ (𝐹f + 𝐺)}
Assertion
Ref Expression
psrbagleadd1 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → (𝑋f + 𝐺) ∈ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺   𝑦,𝐷   𝑦,𝐹   𝑓,𝑋   𝑦,𝑋   𝑧,𝐷   𝑧,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑓)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑓)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem psrbagleadd1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrabi 3690 . . . . 5 (𝑋 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝐹} → 𝑋𝐷)
2 psrbagconf1o.s . . . . 5 𝑆 = {𝑦𝐷𝑦r𝐹}
31, 2eleq2s 2857 . . . 4 (𝑋𝑆𝑋𝐷)
433ad2ant3 1134 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → 𝑋𝐷)
5 simp2 1136 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → 𝐺𝐷)
6 psrbag.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
76psrbagaddcl 21962 . . 3 ((𝑋𝐷𝐺𝐷) → (𝑋f + 𝐺) ∈ 𝐷)
84, 5, 7syl2anc 584 . 2 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → (𝑋f + 𝐺) ∈ 𝐷)
96psrbagf 21956 . . . . . . . 8 (𝑋𝐷𝑋:𝐼⟶ℕ0)
104, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
1110ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 (((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑋𝑥) ∈ ℕ0)
1211nn0red 12586 . . . . 5 (((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
136psrbagf 21956 . . . . . . . 8 (𝐹𝐷𝐹:𝐼⟶ℕ0)
14133ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
1514ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 (((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℕ0)
1615nn0red 12586 . . . . 5 (((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
176psrbagf 21956 . . . . . . . 8 (𝐺𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0)
18173ad2ant2 1133 . . . . . . 7 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
1918ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 (((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ ℕ0)
2019nn0red 12586 . . . . 5 (((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
21 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦r𝐹𝑋r𝐹))
2221, 2elrab2 3698 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑆 ↔ (𝑋𝐷𝑋r𝐹))
2322simprbi 496 . . . . . . . 8 (𝑋𝑆𝑋r𝐹)
24233ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → 𝑋r𝐹)
259ffnd 6738 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝐷𝑋 Fn 𝐼)
263, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑆𝑋 Fn 𝐼)
27263ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → 𝑋 Fn 𝐼)
2813ffnd 6738 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐷𝐹 Fn 𝐼)
29283ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → 𝐹 Fn 𝐼)
30 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐷𝐹𝐷)
3130, 28fndmexd 7927 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐷𝐼 ∈ V)
32313ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → 𝐼 ∈ V)
33 inidm 4235 . . . . . . . 8 (𝐼𝐼) = 𝐼
34 eqidd 2736 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑋𝑥) = (𝑋𝑥))
35 eqidd 2736 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
3627, 29, 32, 32, 33, 34, 35ofrfval 7707 . . . . . . 7 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → (𝑋r𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3724, 36mpbid 232 . . . . . 6 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
3837r19.21bi 3249 . . . . 5 (((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑋𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
3912, 16, 20, 38leadd1dd 11875 . . . 4 (((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑋𝑥) + (𝐺𝑥)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
4039ralrimiva 3144 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → ∀𝑥𝐼 ((𝑋𝑥) + (𝐺𝑥)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
416psrbagf 21956 . . . . . 6 ((𝑋f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝑋f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
4241ffnd 6738 . . . . 5 ((𝑋f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝑋f + 𝐺) Fn 𝐼)
438, 42syl 17 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → (𝑋f + 𝐺) Fn 𝐼)
446psrbagaddcl 21962 . . . . . 6 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷)
45443adant3 1131 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → (𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷)
466psrbagf 21956 . . . . . 6 ((𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
4746ffnd 6738 . . . . 5 ((𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷 → (𝐹f + 𝐺) Fn 𝐼)
4845, 47syl 17 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → (𝐹f + 𝐺) Fn 𝐼)
4917ffnd 6738 . . . . . 6 (𝐺𝐷𝐺 Fn 𝐼)
50493ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → 𝐺 Fn 𝐼)
51 eqidd 2736 . . . . 5 (((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
5227, 50, 32, 32, 33, 34, 51ofval 7708 . . . 4 (((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑋f + 𝐺)‘𝑥) = ((𝑋𝑥) + (𝐺𝑥)))
5329, 50, 32, 32, 33, 35, 51ofval 7708 . . . 4 (((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
5443, 48, 32, 32, 33, 52, 53ofrfval 7707 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → ((𝑋f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑋𝑥) + (𝐺𝑥)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
5540, 54mpbird 257 . 2 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → (𝑋f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺))
56 breq1 5151 . . 3 (𝑧 = (𝑋f + 𝐺) → (𝑧r ≤ (𝐹f + 𝐺) ↔ (𝑋f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺)))
57 psrbagleadd1.t . . 3 𝑇 = {𝑧𝐷𝑧r ≤ (𝐹f + 𝐺)}
5856, 57elrab2 3698 . 2 ((𝑋f + 𝐺) ∈ 𝑇 ↔ ((𝑋f + 𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝑋f + 𝐺) ∘r ≤ (𝐹f + 𝐺)))
598, 55, 58sylanbrc 583 1 ((𝐹𝐷𝐺𝐷𝑋𝑆) → (𝑋f + 𝐺) ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  ccnv 5688  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  r cofr 7696  m cmap 8865  Fincfn 8984   + caddc 11156  cle 11294  cn 12264  0cn0 12524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-nn 12265  df-n0 12525
This theorem is referenced by:  psdmul  22188
  Copyright terms: Public domain W3C validator