Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cndrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cndrng 20546
 Description: The complex numbers form a division ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cndrng fld ∈ DivRing

Proof of Theorem cndrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 20521 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
21a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
3 cnfldmul 20523 . . . 4 · = (.r‘ℂfld)
43a1i 11 . . 3 (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
5 cnfld0 20541 . . . 4 0 = (0g‘ℂfld)
65a1i 11 . . 3 (⊤ → 0 = (0g‘ℂfld))
7 cnfld1 20542 . . . 4 1 = (1r‘ℂfld)
87a1i 11 . . 3 (⊤ → 1 = (1r‘ℂfld))
9 cnring 20539 . . . 4 fld ∈ Ring
109a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂfld ∈ Ring)
11 mulne0 11256 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
12113adant1 1126 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
13 ax-1ne0 10580 . . . 4 1 ≠ 0
1413a1i 11 . . 3 (⊤ → 1 ≠ 0)
15 reccl 11279 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
1615adantl 484 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
17 recne0 11285 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ≠ 0)
1817adantl 484 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ≠ 0)
19 recid2 11287 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((1 / 𝑥) · 𝑥) = 1)
2019adantl 484 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → ((1 / 𝑥) · 𝑥) = 1)
212, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20isdrngd 19499 . 2 (⊤ → ℂfld ∈ DivRing)
2221mptru 1544 1 fld ∈ DivRing
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  ‘cfv 6327  (class class class)co 7129  ℂcc 10509  0cc0 10511  1c1 10512   · cmul 10516   / cdiv 11271  Basecbs 16458  .rcmulr 16541  0gc0g 16688  1rcur 19226  Ringcrg 19272  DivRingcdr 19474  ℂfldccnfld 20517 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588  ax-addf 10590  ax-mulf 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-tpos 7866  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-oadd 8080  df-er 8263  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-div 11272  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-4 11677  df-5 11678  df-6 11679  df-7 11680  df-8 11681  df-9 11682  df-n0 11873  df-z 11957  df-dec 12074  df-uz 12219  df-fz 12873  df-struct 16460  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-sets 16465  df-ress 16466  df-plusg 16553  df-mulr 16554  df-starv 16555  df-tset 16559  df-ple 16560  df-ds 16562  df-unif 16563  df-0g 16690  df-mgm 17827  df-sgrp 17876  df-mnd 17887  df-grp 18081  df-minusg 18082  df-cmn 18883  df-mgp 19215  df-ur 19227  df-ring 19274  df-cring 19275  df-oppr 19348  df-dvdsr 19366  df-unit 19367  df-invr 19397  df-dvr 19408  df-drng 19476  df-cnfld 20518 This theorem is referenced by:  cnflddiv  20547  cnfldinv  20548  cnsubdrglem  20568  cnmgpabl  20578  cnmsubglem  20580  gzrngunit  20583  zringunit  20607  zringmpg  20611  expghm  20615  psgninv  20698  zrhpsgnmhm  20700  cnstrcvs  23721  cnrlvec  23724  cnrnvc  23738  amgmlem  25550  dchrghm  25815  dchrabs  25819  sum2dchr  25833  lgseisenlem4  25937  xrge0slmod  30921  ccfldextrr  31045  cnrrext  31255  proot1ex  39934  amgmwlem  45086  amgmlemALT  45087
 Copyright terms: Public domain W3C validator