Theorem cndrng 21305

Description: The complex numbers form a division ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) Avoid ax-mulf 11089. (Revised by GG, 30-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cndrng	⊢ ℂfld ∈ DivRing

Proof of Theorem cndrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21265	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
3		mpocnfldmul 21268	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld))
5		cnfld0 21299	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 = (0g‘ℂfld))
7		cnfld1 21300	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 = (1r‘ℂfld))
9		cnring 21297	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ Ring)
11		ovmpot 7510	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
12	11	ad2ant2r 747	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
13		mulne0 11762	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
14	12, 13	eqnetrd 2992	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ≠ 0)
15	14	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ≠ 0)
16		ax-1ne0 11078	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 0)
18		reccl 11786	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
19	18	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
20		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
21		ovmpot 7510	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 / 𝑥)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = ((1 / 𝑥) · 𝑥))
22	18, 20, 21	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((1 / 𝑥)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = ((1 / 𝑥) · 𝑥))
23		recid2 11794	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((1 / 𝑥) · 𝑥) = 1)
24	22, 23	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((1 / 𝑥)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1)
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → ((1 / 𝑥)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1)
26	2, 4, 6, 8, 10, 15, 17, 19, 25	isdrngd 20650	. 2 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ DivRing)
27	26	mptru 1547	1 ⊢ ℂfld ∈ DivRing

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  ℂcc 11007  0cc0 11009  1c1 11010   · cmul 11014   / cdiv 11777  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  DivRingcdr 20614  ℂ_fldccnfld 21261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-drng 20616  df-cnfld 21262

This theorem is referenced by:  cnflddiv  21307  cnflddivOLD  21308  cnfldinv  21309  cnsubdrglem  21325  cnmgpabl  21335  cnmsubglem  21337  gzrngunit  21340  zringunit  21373  zringmpg  21378  expghm  21382  psgninv  21489  zrhpsgnmhm  21491  cnstrcvs  25039  cnrlvec  25042  cnrnvc  25056  amgmlem  26898  dchrghm  27165  dchrabs  27169  sum2dchr  27183  lgseisenlem4  27287  1fldgenq  33261  cnfldfld  33280  xrge0slmod  33285  ccfldextrr  33613  constrextdg2lem  33715  constrextdg2  33716  constrext2chnlem  33717  constrcon  33741  2sqr3minply  33747  cos9thpiminply  33755  cnrrext  33977  proot1ex  43173  amgmwlem  49791  amgmlemALT  49792