MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cndrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cndrng 19983
Description: The complex numbers form a division ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cndrng fld ∈ DivRing

Proof of Theorem cndrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 19958 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
21a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
3 cnfldmul 19960 . . . 4 · = (.r‘ℂfld)
43a1i 11 . . 3 (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
5 cnfld0 19978 . . . 4 0 = (0g‘ℂfld)
65a1i 11 . . 3 (⊤ → 0 = (0g‘ℂfld))
7 cnfld1 19979 . . . 4 1 = (1r‘ℂfld)
87a1i 11 . . 3 (⊤ → 1 = (1r‘ℂfld))
9 cnring 19976 . . . 4 fld ∈ Ring
109a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂfld ∈ Ring)
11 mulne0 10954 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
12113adant1 1153 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
13 ax-1ne0 10290 . . . 4 1 ≠ 0
1413a1i 11 . . 3 (⊤ → 1 ≠ 0)
15 reccl 10977 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
1615adantl 469 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
17 recne0 10983 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ≠ 0)
1817adantl 469 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ≠ 0)
19 recid2 10985 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((1 / 𝑥) · 𝑥) = 1)
2019adantl 469 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → ((1 / 𝑥) · 𝑥) = 1)
212, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20isdrngd 18976 . 2 (⊤ → ℂfld ∈ DivRing)
2221mptru 1645 1 fld ∈ DivRing
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1637  wtru 1638  wcel 2156  wne 2978  cfv 6101  (class class class)co 6874  cc 10219  0cc0 10221  1c1 10222   · cmul 10226   / cdiv 10969  Basecbs 16068  .rcmulr 16154  0gc0g 16305  1rcur 18703  Ringcrg 18749  DivRingcdr 18951  fldccnfld 19954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-addf 10300  ax-mulf 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-tpos 7587  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-oadd 7800  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-fz 12550  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-0g 16307  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-grp 17630  df-minusg 17631  df-cmn 18396  df-mgp 18692  df-ur 18704  df-ring 18751  df-cring 18752  df-oppr 18825  df-dvdsr 18843  df-unit 18844  df-invr 18874  df-dvr 18885  df-drng 18953  df-cnfld 19955
This theorem is referenced by:  cnflddiv  19984  cnfldinv  19985  cnsubdrglem  20005  cnmgpabl  20015  cnmsubglem  20017  gzrngunit  20020  zringunit  20044  zringmpg  20048  expghm  20052  psgninv  20135  zrhpsgnmhm  20137  cnstrcvs  23153  cnrlvec  23156  cnrnvc  23170  amgmlem  24930  dchrghm  25195  dchrabs  25199  sum2dchr  25213  lgseisenlem4  25317  xrge0slmod  30169  cnrrext  30379  proot1ex  38280  amgmwlem  43119  amgmlemALT  43120
  Copyright terms: Public domain W3C validator