Theorem cndrng 21176

Description: The complex numbers form a division ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cndrng	⊢ ℂfld ∈ DivRing

Proof of Theorem cndrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21150	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
3		cnfldmul 21152	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
5		cnfld0 21171	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 = (0g‘ℂfld))
7		cnfld1 21172	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 = (1r‘ℂfld))
9		cnring 21169	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ Ring)
11		mulne0 11862	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
12	11	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
13		ax-1ne0 11183	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 0)
15		reccl 11885	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
16	15	adantl 480	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
17		recid2 11893	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((1 / 𝑥) · 𝑥) = 1)
18	17	adantl 480	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → ((1 / 𝑥) · 𝑥) = 1)
19	2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18	isdrngd 20535	. 2 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ DivRing)
20	19	mptru 1546	1 ⊢ ℂfld ∈ DivRing

Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  ℂcc 11112  0cc0 11114  1c1 11115   · cmul 11119   / cdiv 11877  Basecbs 17150  ._rcmulr 17204  0_gc0g 17391  1_rcur 20077  Ringcrg 20129  DivRingcdr 20502  ℂ_fldccnfld 21146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-addf 11193  ax-mulf 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-fz 13491  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-0g 17393  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-cring 20132  df-oppr 20227  df-dvdsr 20250  df-unit 20251  df-invr 20281  df-dvr 20294  df-drng 20504  df-cnfld 21147

This theorem is referenced by:  cnflddiv  21177  cnfldinv  21178  cnsubdrglem  21198  cnmgpabl  21208  cnmsubglem  21210  gzrngunit  21213  zringunit  21239  zringmpg  21244  expghm  21248  psgninv  21356  zrhpsgnmhm  21358  cnstrcvs  24890  cnrlvec  24893  cnrnvc  24908  amgmlem  26728  dchrghm  26993  dchrabs  26997  sum2dchr  27011  lgseisenlem4  27115  1fldgenq  32680  xrge0slmod  32731  ccfldextrr  33013  cnrrext  33286  proot1ex  42247  amgmwlem  47938  amgmlemALT  47939