MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divccncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divccncf 23658
Description: Division by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
divccncf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 𝐴))
Assertion
Ref Expression
divccncf ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem divccncf
StepHypRef Expression
1 divccncf.1 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 𝐴))
2 divrec2 11393 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · 𝑥))
323expb 1121 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑥 / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · 𝑥))
43ancoms 462 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · 𝑥))
54mpteq2dva 5125 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝑥)))
61, 5syl5eq 2785 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝑥)))
7 reccl 11383 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
8 eqid 2738 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝑥))
98mulc1cncf 23657 . . 3 ((1 / 𝐴) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
107, 9syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116, 10eqeltrd 2833 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  cmpt 5110  (class class class)co 7170  cc 10613  0cc0 10615  1c1 10616   · cmul 10620   / cdiv 11375  cnccncf 23628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-cncf 23630
This theorem is referenced by:  dvlip  24745  sincn  25191  coscn  25192  efopn  25401  areaquad  40619  fourierdlem62  43251
  Copyright terms: Public domain W3C validator