Theorem ubmelm1fzo 13769

Description: The result of subtracting 1 and an integer of a half-open range of nonnegative integers from the upper bound of this range is contained in this range. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ubmelm1fzo	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem ubmelm1fzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13706	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2		nnz 12589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		nn0z 12592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	3, 5	zsubcld 12682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
7	6	ancoms 462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
8		peano2zm 12614	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ)
10	9	3adant3 1145	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ)
11		simp3 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
12	4, 2	anim12i 622	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
13	12	3adant3 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14		znnsub 12617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
16	11, 15	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
17		nnm1ge0 12641	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → 0 ≤ ((𝑁 − 𝐾) − 1))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝐾) − 1))
19		elnn0z 12581	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 𝐾) − 1)))
20	10, 18, 19	sylanbrc 592	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
21		simp2 1150	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
22		nncn 12218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
23	22	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
24		nn0cn 12491	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
25	24	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
26		1cnd 11175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
27	23, 25, 26	subsub4d 11573	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) = (𝑁 − (𝐾 + 1)))
28		nn0p1gt0 12510	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 + 1))
29	28	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐾 + 1))
30		nn0re 12490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
31		peano2re 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
33		nnre 12217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
34		ltsubpos 11679	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁))
35	32, 33, 34	syl2an 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁))
36	29, 35	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁)
37	27, 36	eqbrtrd 5122	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) < 𝑁)
38	37	3adant3 1145	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) < 𝑁)
39		elfzo0 13706	. . 3 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 − 𝐾) − 1) < 𝑁))
40	20, 21, 38, 39	syl3anbrc 1357	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))
41	1, 40	sylbi 219	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   < clt 11216   ≤ cle 11217   − cmin 11414  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ..^cfzo 13659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660

This theorem is referenced by:  repswrevw  14800  cshwidxm1  14820  pwdif  15898  revpfxsfxrev  35463  revwlk  35472