MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubmelm1fzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubmelm1fzo 13802
Description: The result of subtracting 1 and an integer of a half-open range of nonnegative integers from the upper bound of this range is contained in this range. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ubmelm1fzo (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem ubmelm1fzo
StepHypRef Expression
1 elfzo0 13740 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2 nnz 12634 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
32adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 nn0z 12638 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
54adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
63, 5zsubcld 12727 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
76ancoms 458 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
8 peano2zm 12660 . . . . . 6 ((𝑁𝐾) ∈ ℤ → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℤ)
97, 8syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℤ)
1093adant3 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℤ)
11 simp3 1139 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
124, 2anim12i 613 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
13123adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14 znnsub 12663 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ))
1611, 15mpbid 232 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ)
17 nnm1ge0 12686 . . . . 5 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ → 0 ≤ ((𝑁𝐾) − 1))
1816, 17syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁𝐾) − 1))
19 elnn0z 12626 . . . 4 (((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁𝐾) − 1)))
2010, 18, 19sylanbrc 583 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
21 simp2 1138 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
22 nncn 12274 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2322adantl 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
24 nn0cn 12536 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2524adantr 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
26 1cnd 11256 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
2723, 25, 26subsub4d 11651 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) − 1) = (𝑁 − (𝐾 + 1)))
28 nn0p1gt0 12555 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 + 1))
2928adantr 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐾 + 1))
30 nn0re 12535 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
31 peano2re 11434 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
33 nnre 12273 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
34 ltsubpos 11755 . . . . . . 7 (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁))
3532, 33, 34syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (0 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁))
3629, 35mpbid 232 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁)
3727, 36eqbrtrd 5165 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) − 1) < 𝑁)
38373adant3 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) < 𝑁)
39 elfzo0 13740 . . 3 (((𝑁𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝐾) − 1) < 𝑁))
4020, 21, 38, 39syl3anbrc 1344 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))
411, 40sylbi 217 1 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  ..^cfzo 13694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695
This theorem is referenced by:  repswrevw  14825  cshwidxm1  14845  pwdif  15904  revpfxsfxrev  35121  revwlk  35130
  Copyright terms: Public domain W3C validator