Theorem ubmelm1fzo 13938

Description: The result of subtracting 1 and an integer of a half-open range of nonnegative integers from the upper bound of this range is contained in this range. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ubmelm1fzo	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem ubmelm1fzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13875	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2		nnz 12754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		nn0z 12757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	3, 5	zsubcld 12848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
7	6	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
8		peano2zm 12779	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ)
10	9	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ)
11		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
12	4, 2	anim12i 625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
13	12	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14		znnsub 12782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
15	13, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
16	11, 15	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
17		nnm1ge0 12807	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → 0 ≤ ((𝑁 − 𝐾) − 1))
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝐾) − 1))
19		elnn0z 12746	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 𝐾) − 1)))
20	10, 18, 19	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
21		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
22		nncn 12383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
23	22	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
24		nn0cn 12656	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
25	24	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
26		1cnd 11341	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
27	23, 25, 26	subsub4d 11739	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) = (𝑁 − (𝐾 + 1)))
28		nn0p1gt0 12675	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 + 1))
29	28	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐾 + 1))
30		nn0re 12655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
31		peano2re 11522	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
33		nnre 12382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
34		ltsubpos 11848	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁))
35	32, 33, 34	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁))
36	29, 35	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁)
37	27, 36	eqbrtrd 5133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) < 𝑁)
38	37	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) < 𝑁)
39		elfzo0 13875	. . 3 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 − 𝐾) − 1) < 𝑁))
40	20, 21, 38, 39	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))
41	1, 40	sylbi 220	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ..^cfzo 13828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829

This theorem is used by:  revpfxsfxrev  14959  repswrevw  14980  cshwidxm1  15000  pwdif  16081  revwlk  30324