Theorem ubmelm1fzo 13905

Description: The result of subtracting 1 and an integer of a half-open range of nonnegative integers from the upper bound of this range is contained in this range. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ubmelm1fzo	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem ubmelm1fzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13842	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2		nnz 12721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		nn0z 12724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	3, 5	zsubcld 12815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
7	6	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
8		peano2zm 12746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ)
10	9	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ)
11		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
12	4, 2	anim12i 625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
13	12	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14		znnsub 12749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
15	13, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
16	11, 15	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
17		nnm1ge0 12774	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → 0 ≤ ((𝑁 − 𝐾) − 1))
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝐾) − 1))
19		elnn0z 12713	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 𝐾) − 1)))
20	10, 18, 19	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
21		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
22		nncn 12350	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
23	22	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
24		nn0cn 12623	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
25	24	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
26		1cnd 11309	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
27	23, 25, 26	subsub4d 11707	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) = (𝑁 − (𝐾 + 1)))
28		nn0p1gt0 12642	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 + 1))
29	28	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐾 + 1))
30		nn0re 12622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
31		peano2re 11490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
33		nnre 12349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
34		ltsubpos 11815	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁))
35	32, 33, 34	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁))
36	29, 35	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁)
37	27, 36	eqbrtrd 5126	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) < 𝑁)
38	37	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) < 𝑁)
39		elfzo0 13842	. . 3 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 − 𝐾) − 1) < 𝑁))
40	20, 21, 38, 39	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))
41	1, 40	sylbi 220	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   < clt 11350   ≤ cle 11351   − cmin 11548  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ..^cfzo 13795

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796

This theorem is used by:  revpfxsfxrev  14925  repswrevw  14946  cshwidxm1  14966  pwdif  16046  revwlk  30276