MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubmelm1fzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubmelm1fzo 13799
Description: The result of subtracting 1 and an integer of a half-open range of nonnegative integers from the upper bound of this range is contained in this range. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ubmelm1fzo (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem ubmelm1fzo
StepHypRef Expression
1 elfzo0 13737 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2 nnz 12632 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
32adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 nn0z 12636 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
54adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
63, 5zsubcld 12725 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
76ancoms 458 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
8 peano2zm 12658 . . . . . 6 ((𝑁𝐾) ∈ ℤ → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℤ)
97, 8syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℤ)
1093adant3 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℤ)
11 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
124, 2anim12i 613 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
13123adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14 znnsub 12661 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ))
1611, 15mpbid 232 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ)
17 nnm1ge0 12684 . . . . 5 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ → 0 ≤ ((𝑁𝐾) − 1))
1816, 17syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁𝐾) − 1))
19 elnn0z 12624 . . . 4 (((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁𝐾) − 1)))
2010, 18, 19sylanbrc 583 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
21 simp2 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
22 nncn 12272 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2322adantl 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
24 nn0cn 12534 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2524adantr 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
26 1cnd 11254 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
2723, 25, 26subsub4d 11649 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) − 1) = (𝑁 − (𝐾 + 1)))
28 nn0p1gt0 12553 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 + 1))
2928adantr 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐾 + 1))
30 nn0re 12533 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
31 peano2re 11432 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
33 nnre 12271 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
34 ltsubpos 11753 . . . . . . 7 (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁))
3532, 33, 34syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (0 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁))
3629, 35mpbid 232 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁)
3727, 36eqbrtrd 5170 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) − 1) < 𝑁)
38373adant3 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) < 𝑁)
39 elfzo0 13737 . . 3 (((𝑁𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝐾) − 1) < 𝑁))
4020, 21, 38, 39syl3anbrc 1342 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))
411, 40sylbi 217 1 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  ..^cfzo 13691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692
This theorem is referenced by:  repswrevw  14822  cshwidxm1  14842  pwdif  15901  revpfxsfxrev  35100  revwlk  35109
  Copyright terms: Public domain W3C validator