Theorem ubmelm1fzo 13732

Description: The result of subtracting 1 and an integer of a half-open range of nonnegative integers from the upper bound of this range is contained in this range. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ubmelm1fzo	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem ubmelm1fzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13677	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2		nnz 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		nn0z 12587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	3, 5	zsubcld 12675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
7	6	ancoms 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
8		peano2zm 12609	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ)
10	9	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ)
11		simp3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
12	4, 2	anim12i 611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
13	12	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14		znnsub 12612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
16	11, 15	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
17		nnm1ge0 12634	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → 0 ≤ ((𝑁 − 𝐾) − 1))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝐾) − 1))
19		elnn0z 12575	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 𝐾) − 1)))
20	10, 18, 19	sylanbrc 581	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
21		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
22		nncn 12224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
23	22	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
24		nn0cn 12486	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
25	24	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
26		1cnd 11213	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
27	23, 25, 26	subsub4d 11606	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) = (𝑁 − (𝐾 + 1)))
28		nn0p1gt0 12505	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 + 1))
29	28	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐾 + 1))
30		nn0re 12485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
31		peano2re 11391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
33		nnre 12223	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
34		ltsubpos 11710	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁))
35	32, 33, 34	syl2an 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁))
36	29, 35	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁)
37	27, 36	eqbrtrd 5169	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) < 𝑁)
38	37	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) < 𝑁)
39		elfzo0 13677	. . 3 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 − 𝐾) − 1) < 𝑁))
40	20, 21, 38, 39	syl3anbrc 1341	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))
41	1, 40	sylbi 216	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ..^cfzo 13631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632

This theorem is referenced by:  repswrevw  14741  cshwidxm1  14761  pwdif  15818  revpfxsfxrev  34404  revwlk  34413