Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rexabsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexabsle 43740
Description: An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rexabsle.1 𝑥𝜑
rexabsle.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rexabsle (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑦,𝐴   𝑧,𝐴   𝑤,𝐵   𝑦,𝐵   𝑧,𝐵   𝑥,𝑤   𝑥,𝑦   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rexabsle
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . . . 5 𝑥 𝑦 = 𝑎
2 breq2 5110 . . . . 5 (𝑦 = 𝑎 → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
31, 2ralbid 3255 . . . 4 (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
43cbvrexvw 3225 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎)
54a1i 11 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
6 rexabsle.1 . . 3 𝑥𝜑
7 rexabsle.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
86, 7rexabslelem 43739 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎 ↔ (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑐𝐵)))
9 breq2 5110 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑤 → (𝐵𝑏𝐵𝑤))
109ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑏 = 𝑤 → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑏 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤))
1110cbvrexvw 3225 . . . 4 (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑏 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤)
12 breq1 5109 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑧 → (𝑐𝐵𝑧𝐵))
1312ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑐 = 𝑧 → (∀𝑥𝐴 𝑐𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵))
1413cbvrexvw 3225 . . . 4 (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑐𝐵 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)
1511, 14anbi12i 628 . . 3 ((∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑐𝐵) ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵))
1615a1i 11 . 2 (𝜑 → ((∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑐𝐵) ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
175, 8, 163bitrd 305 1 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5106  cfv 6497  cr 11055  cle 11195  abscabs 15125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127
This theorem is referenced by:  rexabsle2  43748
  Copyright terms: Public domain W3C validator