Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rexabsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexabsle 45368
Description: An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rexabsle.1 𝑥𝜑
rexabsle.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rexabsle (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑦,𝐴   𝑧,𝐴   𝑤,𝐵   𝑦,𝐵   𝑧,𝐵   𝑥,𝑤   𝑥,𝑦   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rexabsle
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1911 . . . . 5 𝑥 𝑦 = 𝑎
2 breq2 5151 . . . . 5 (𝑦 = 𝑎 → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
31, 2ralbid 3270 . . . 4 (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
43cbvrexvw 3235 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎)
54a1i 11 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
6 rexabsle.1 . . 3 𝑥𝜑
7 rexabsle.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
86, 7rexabslelem 45367 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎 ↔ (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑐𝐵)))
9 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑤 → (𝐵𝑏𝐵𝑤))
109ralbidv 3175 . . . . 5 (𝑏 = 𝑤 → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑏 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤))
1110cbvrexvw 3235 . . . 4 (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑏 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤)
12 breq1 5150 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑧 → (𝑐𝐵𝑧𝐵))
1312ralbidv 3175 . . . . 5 (𝑐 = 𝑧 → (∀𝑥𝐴 𝑐𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵))
1413cbvrexvw 3235 . . . 4 (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑐𝐵 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)
1511, 14anbi12i 628 . . 3 ((∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑐𝐵) ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵))
1615a1i 11 . 2 (𝜑 → ((∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑐𝐵) ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
175, 8, 163bitrd 305 1 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wnf 1779  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067   class class class wbr 5147  cfv 6562  cr 11151  cle 11293  abscabs 15269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271
This theorem is referenced by:  rexabsle2  45376
  Copyright terms: Public domain W3C validator