Theorem rexabsle 46696

Description: An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexabsle.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rexabsle.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rexabsle	⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑦,𝐴   𝑧,𝐴   𝑤,𝐵   𝑦,𝐵   𝑧,𝐵   𝑥,𝑤   𝑥,𝑦   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rexabsle

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1949	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 = 𝑎
2		breq2 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
3	1, 2	ralbid 3279	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
4	3	cbvrexvw 3245	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
6		rexabsle.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
7		rexabsle.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	6, 7	rexabslelem 46695	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎 ↔ (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵)))
9		breq2 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑤 → (𝐵 ≤ 𝑏 ↔ 𝐵 ≤ 𝑤))
10	9	ralbidv 3189	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑤 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤))
11	10	cbvrexvw 3245	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
12		breq1 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (𝑐 ≤ 𝐵 ↔ 𝑧 ≤ 𝐵))
13	12	ralbidv 3189	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
14	13	cbvrexvw 3245	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
15	11, 14	anbi12i 640	. . 3 ⊢ ((∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵) ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵) ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))
17	5, 8, 16	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6564  ℝcr 11236   ≤ cle 11381  abscabs 15442

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-sup 9469  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-seq 14183  df-exp 14243  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444

This theorem is used by:  rexabsle2  46704