Theorem rexabsle 44683

Description: An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexabsle.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rexabsle.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rexabsle	⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑦,𝐴   𝑧,𝐴   𝑤,𝐵   𝑦,𝐵   𝑧,𝐵   𝑥,𝑤   𝑥,𝑦   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rexabsle

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 = 𝑎
2		breq2 5145	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
3	1, 2	ralbid 3264	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
4	3	cbvrexvw 3229	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
6		rexabsle.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
7		rexabsle.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	6, 7	rexabslelem 44682	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎 ↔ (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵)))
9		breq2 5145	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑤 → (𝐵 ≤ 𝑏 ↔ 𝐵 ≤ 𝑤))
10	9	ralbidv 3171	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑤 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤))
11	10	cbvrexvw 3229	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
12		breq1 5144	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (𝑐 ≤ 𝐵 ↔ 𝑧 ≤ 𝐵))
13	12	ralbidv 3171	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
14	13	cbvrexvw 3229	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
15	11, 14	anbi12i 626	. . 3 ⊢ ((∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵) ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵) ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))
17	5, 8, 16	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  ℝcr 11108   ≤ cle 11250  abscabs 15184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186

This theorem is referenced by:  rexabsle2  44691