Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rexabsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexabsle 42632
Description: An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rexabsle.1 𝑥𝜑
rexabsle.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rexabsle (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑦,𝐴   𝑧,𝐴   𝑤,𝐵   𝑦,𝐵   𝑧,𝐵   𝑥,𝑤   𝑥,𝑦   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rexabsle
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1922 . . . . 5 𝑥 𝑦 = 𝑎
2 breq2 5057 . . . . 5 (𝑦 = 𝑎 → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
31, 2ralbid 3154 . . . 4 (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
43cbvrexvw 3359 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎)
54a1i 11 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
6 rexabsle.1 . . 3 𝑥𝜑
7 rexabsle.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
86, 7rexabslelem 42631 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎 ↔ (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑐𝐵)))
9 breq2 5057 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑤 → (𝐵𝑏𝐵𝑤))
109ralbidv 3118 . . . . 5 (𝑏 = 𝑤 → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑏 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤))
1110cbvrexvw 3359 . . . 4 (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑏 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤)
12 breq1 5056 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑧 → (𝑐𝐵𝑧𝐵))
1312ralbidv 3118 . . . . 5 (𝑐 = 𝑧 → (∀𝑥𝐴 𝑐𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵))
1413cbvrexvw 3359 . . . 4 (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑐𝐵 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)
1511, 14anbi12i 630 . . 3 ((∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑐𝐵) ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵))
1615a1i 11 . 2 (𝜑 → ((∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑐𝐵) ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
175, 8, 163bitrd 308 1 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wnf 1791  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 5053  cfv 6380  cr 10728  cle 10868  abscabs 14797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799
This theorem is referenced by:  rexabsle2  42640
  Copyright terms: Public domain W3C validator