Theorem rexabsle 45865

Description: An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexabsle.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rexabsle.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rexabsle	⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑦,𝐴   𝑧,𝐴   𝑤,𝐵   𝑦,𝐵   𝑧,𝐵   𝑥,𝑤   𝑥,𝑦   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rexabsle

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 = 𝑎
2		breq2 5090	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
3	1, 2	ralbid 3251	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
4	3	cbvrexvw 3217	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
6		rexabsle.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
7		rexabsle.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	6, 7	rexabslelem 45864	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎 ↔ (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵)))
9		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑤 → (𝐵 ≤ 𝑏 ↔ 𝐵 ≤ 𝑤))
10	9	ralbidv 3161	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑤 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤))
11	10	cbvrexvw 3217	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
12		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (𝑐 ≤ 𝐵 ↔ 𝑧 ≤ 𝐵))
13	12	ralbidv 3161	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
14	13	cbvrexvw 3217	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
15	11, 14	anbi12i 629	. . 3 ⊢ ((∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵) ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵) ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))
17	5, 8, 16	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  ℝcr 11028   ≤ cle 11171  abscabs 15187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189

This theorem is referenced by:  rexabsle2  45873