Theorem rexabsle 45422

Description: An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexabsle.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rexabsle.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rexabsle	⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑦,𝐴   𝑧,𝐴   𝑤,𝐵   𝑦,𝐵   𝑧,𝐵   𝑥,𝑤   𝑥,𝑦   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rexabsle

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 = 𝑎
2		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
3	1, 2	ralbid 3251	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
4	3	cbvrexvw 3217	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎))
6		rexabsle.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
7		rexabsle.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	6, 7	rexabslelem 45421	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑎 ↔ (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵)))
9		breq2 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑤 → (𝐵 ≤ 𝑏 ↔ 𝐵 ≤ 𝑤))
10	9	ralbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑤 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤))
11	10	cbvrexvw 3217	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
12		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (𝑐 ≤ 𝐵 ↔ 𝑧 ≤ 𝐵))
13	12	ralbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
14	13	cbvrexvw 3217	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
15	11, 14	anbi12i 628	. . 3 ⊢ ((∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵) ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑐 ≤ 𝐵) ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))
17	5, 8, 16	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  ℝcr 11074   ≤ cle 11216  abscabs 15207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209

This theorem is referenced by:  rexabsle2  45430