Theorem rhmply1 22573

Description: Provide a ring homomorphism between two univariate polynomial algebras over their respective base rings given a ring homomorphism between the two base rings. (Contributed by SN, 20-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
rhmply1.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑆)
rhmply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmply1.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
rhmply1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
rhmply1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝐻,𝑝   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem rhmply1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑆) = (1o mPoly 𝑆)
3		rhmply1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		rhmply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	3, 4	ply1bas 22385	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6		rhmply1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
7		1oex 8465	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
9		rhmply1.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10	1, 2, 5, 6, 8, 9	rhmmpl 22570	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (1o mPoly 𝑆)))
11	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
12		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
14	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
15		rhmply1.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑆)
16	15, 12	ply1bas 22385	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑆))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑆)))
18		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
19	3, 1, 18	ply1plusg 22413	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
20	19	oveqi 7429	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
22		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
23	15, 2, 22	ply1plusg 22413	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘(1o mPoly 𝑆))
24	23	oveqi 7429	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝑄)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑆))𝑦)
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(+g‘𝑄)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑆))𝑦))
26		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
27	3, 1, 26	ply1mulr 22415	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
28	27	oveqi 7429	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦)
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
30		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
31	15, 2, 30	ply1mulr 22415	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘(1o mPoly 𝑆))
32	31	oveqi 7429	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑄)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑆))𝑦)
33	32	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(.r‘𝑄)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑆))𝑦))
34	11, 13, 14, 17, 21, 25, 29, 33	rhmpropd 20738	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 RingHom 𝑄) = ((1o mPoly 𝑅) RingHom (1o mPoly 𝑆)))
35	10, 34	eleqtrrd 2868	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ↦ cmpt 5194   ∘ ccom 5667  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  1_oc1o 8448  Basecbs 17287  +_gcplusg 17328  ._rcmulr 17329   RingHom crh 20577   mPoly cmpl 22086  Poly₁cpl1 22367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-seq 14052  df-hash 14381  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-hom 17352  df-cco 17353  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-prds 17518  df-pws 17520  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-mhm 18865  df-submnd 18866  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-mulg 19158  df-subg 19213  df-ghm 19308  df-cntz 19411  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-rhm 20580  df-subrng 20675  df-subrg 20699  df-psr 22089  df-mpl 22091  df-opsr 22093  df-psr1 22370  df-ply1 22372

This theorem is used by:  rhmply1mon  22576  aks5lem1  42986  aks5lem2  42987  aks5lem3a  42989