Theorem rhmply1 22508

Description: Provide a ring homomorphism between two univariate polynomial algebras over their respective base rings given a ring homomorphism between the two base rings. (Contributed by SN, 20-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
rhmply1.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑆)
rhmply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmply1.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
rhmply1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
rhmply1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝐻,𝑝   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem rhmply1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑆) = (1o mPoly 𝑆)
3		rhmply1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		rhmply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	3, 4	ply1bas 22320	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6		rhmply1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
7		1oex 8459	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
9		rhmply1.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10	1, 2, 5, 6, 8, 9	rhmmpl 22505	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (1o mPoly 𝑆)))
11	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
12		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
14	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
15		rhmply1.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑆)
16	15, 12	ply1bas 22320	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑆))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑆)))
18		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
19	3, 1, 18	ply1plusg 22348	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
20	19	oveqi 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
22		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
23	15, 2, 22	ply1plusg 22348	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘(1o mPoly 𝑆))
24	23	oveqi 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝑄)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑆))𝑦)
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(+g‘𝑄)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑆))𝑦))
26		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
27	3, 1, 26	ply1mulr 22350	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
28	27	oveqi 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦)
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
30		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
31	15, 2, 30	ply1mulr 22350	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘(1o mPoly 𝑆))
32	31	oveqi 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑄)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑆))𝑦)
33	32	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(.r‘𝑄)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑆))𝑦))
34	11, 13, 14, 17, 21, 25, 29, 33	rhmpropd 20690	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 RingHom 𝑄) = ((1o mPoly 𝑅) RingHom (1o mPoly 𝑆)))
35	10, 34	eleqtrrd 2872	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5193   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  1_oc1o 8442  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  ._rcmulr 17307   RingHom crh 20547   mPoly cmpl 22021  Poly₁cpl1 22302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-prds 17496  df-pws 17498  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-ghm 19280  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-rhm 20550  df-subrng 20627  df-subrg 20651  df-psr 22024  df-mpl 22026  df-opsr 22028  df-psr1 22305  df-ply1 22307

This theorem is referenced by:  rhmply1mon  22511  aks5lem1  42838  aks5lem2  42839  aks5lem3a  42841