Theorem rhmply1 22324

Description: Provide a ring homomorphism between two univariate polynomial algebras over their respective base rings given a ring homomorphism between the two base rings. (Contributed by SN, 20-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
rhmply1.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑆)
rhmply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmply1.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
rhmply1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
rhmply1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝐻,𝑝   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem rhmply1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑆) = (1o mPoly 𝑆)
3		rhmply1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		rhmply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	3, 4	ply1bas 22130	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6		rhmply1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
7		1oex 8490	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
9		rhmply1.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10	1, 2, 5, 6, 8, 9	rhmmpl 22321	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (1o mPoly 𝑆)))
11	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
12		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
14	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
15		rhmply1.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑆)
16	15, 12	ply1bas 22130	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑆))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑆)))
18		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
19	3, 1, 18	ply1plusg 22159	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
20	19	oveqi 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
22		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
23	15, 2, 22	ply1plusg 22159	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘(1o mPoly 𝑆))
24	23	oveqi 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝑄)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑆))𝑦)
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(+g‘𝑄)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑆))𝑦))
26		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
27	3, 1, 26	ply1mulr 22161	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
28	27	oveqi 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦)
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
30		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
31	15, 2, 30	ply1mulr 22161	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘(1o mPoly 𝑆))
32	31	oveqi 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑄)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑆))𝑦)
33	32	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(.r‘𝑄)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑆))𝑦))
34	11, 13, 14, 17, 21, 25, 29, 33	rhmpropd 20569	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 RingHom 𝑄) = ((1o mPoly 𝑅) RingHom (1o mPoly 𝑆)))
35	10, 34	eleqtrrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ↦ cmpt 5201   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1_oc1o 8473  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  ._rcmulr 17272   RingHom crh 20429   mPoly cmpl 21866  Poly₁cpl1 22112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-rhm 20432  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-psr 21869  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-psr1 22115  df-ply1 22117

This theorem is referenced by:  rhmply1mon  22327  aks5lem1  42199  aks5lem2  42200  aks5lem3a  42202