Theorem rhmply1 22708

Description: Provide a ring homomorphism between two univariate polynomial algebras over their respective base rings given a ring homomorphism between the two base rings. (Contributed by SN, 20-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
rhmply1.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑆)
rhmply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmply1.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
rhmply1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
rhmply1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝐻,𝑝   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem rhmply1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑆) = (1o mPoly 𝑆)
3		rhmply1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		rhmply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	3, 4	ply1bas 22520	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6		rhmply1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
7		1oex 8491	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
9		rhmply1.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10	1, 2, 5, 6, 8, 9	rhmmpl 22705	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (1o mPoly 𝑆)))
11	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
12		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
14	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
15		rhmply1.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑆)
16	15, 12	ply1bas 22520	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑆))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑆)))
18		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
19	3, 1, 18	ply1plusg 22548	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
20	19	oveqi 7435	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
22		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
23	15, 2, 22	ply1plusg 22548	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘(1o mPoly 𝑆))
24	23	oveqi 7435	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝑄)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑆))𝑦)
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(+g‘𝑄)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑆))𝑦))
26		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
27	3, 1, 26	ply1mulr 22550	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
28	27	oveqi 7435	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦)
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
30		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
31	15, 2, 30	ply1mulr 22550	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘(1o mPoly 𝑆))
32	31	oveqi 7435	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑄)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑆))𝑦)
33	32	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(.r‘𝑄)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑆))𝑦))
34	11, 13, 14, 17, 21, 25, 29, 33	rhmpropd 20868	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 RingHom 𝑄) = ((1o mPoly 𝑅) RingHom (1o mPoly 𝑆)))
35	10, 34	eleqtrrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5654  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  1_oc1o 8474  Basecbs 17394  +_gcplusg 17435  ._rcmulr 17436   RingHom crh 20706   mPoly cmpl 22221  Poly₁cpl1 22502

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-ofr 7696  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-sup 9439  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-seq 14150  df-hash 14480  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-hom 17459  df-cco 17460  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-prds 17625  df-pws 17627  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-mhm 18985  df-submnd 18986  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-mulg 19285  df-subg 19340  df-ghm 19435  df-cntz 19538  df-cmn 20003  df-abl 20004  df-mgp 20368  df-rng 20382  df-ur 20415  df-ring 20468  df-rhm 20709  df-subrng 20805  df-subrg 20829  df-psr 22224  df-mpl 22226  df-opsr 22228  df-psr1 22505  df-ply1 22507

This theorem is used by:  rhmply1mon  22711  aks5lem1  43343  aks5lem2  43344  aks5lem3a  43346