Theorem rhmply1 22504

Description: Provide a ring homomorphism between two univariate polynomial algebras over their respective base rings given a ring homomorphism between the two base rings. (Contributed by SN, 20-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
rhmply1.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑆)
rhmply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmply1.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
rhmply1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
rhmply1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝐻,𝑝   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem rhmply1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑆) = (1o mPoly 𝑆)
3		rhmply1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		rhmply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	3, 4	ply1bas 22315	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6		rhmply1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
7		1oex 8451	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
9		rhmply1.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10	1, 2, 5, 6, 8, 9	rhmmpl 22501	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (1o mPoly 𝑆)))
11	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
12		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
14	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
15		rhmply1.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑆)
16	15, 12	ply1bas 22315	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑆))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑆)))
18		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
19	3, 1, 18	ply1plusg 22343	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
20	19	oveqi 7413	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
22		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
23	15, 2, 22	ply1plusg 22343	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘(1o mPoly 𝑆))
24	23	oveqi 7413	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝑄)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑆))𝑦)
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(+g‘𝑄)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑆))𝑦))
26		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
27	3, 1, 26	ply1mulr 22345	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
28	27	oveqi 7413	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦)
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
30		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
31	15, 2, 30	ply1mulr 22345	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘(1o mPoly 𝑆))
32	31	oveqi 7413	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝑄)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑆))𝑦)
33	32	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(.r‘𝑄)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑆))𝑦))
34	11, 13, 14, 17, 21, 25, 29, 33	rhmpropd 20685	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 RingHom 𝑄) = ((1o mPoly 𝑅) RingHom (1o mPoly 𝑆)))
35	10, 34	eleqtrrd 2868	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5656  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1_oc1o 8434  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  ._rcmulr 17301   RingHom crh 20542   mPoly cmpl 22016  Poly₁cpl1 22297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-hash 14358  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-hom 17324  df-cco 17325  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-prds 17490  df-pws 17492  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-ghm 19275  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-rhm 20545  df-subrng 20622  df-subrg 20646  df-psr 22019  df-mpl 22021  df-opsr 22023  df-psr1 22300  df-ply1 22302

This theorem is referenced by:  rhmply1mon  22507  aks5lem1  42815  aks5lem2  42816  aks5lem3a  42818