Theorem evl1rhm 22492

Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 13-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1rhm.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1rhm.w	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1rhm.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
evl1rhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1rhm	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem evl1rhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1rhm.q	. . 3 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
3		evl1rhm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	evl1fval 22488	. 2 ⊢ 𝑂 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (1o eval 𝑅))
5		evl1rhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
7	3, 5, 6	evls1rhmlem 22481	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) RingHom 𝑇))
8		1on 8462	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
9		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
11	2, 3, 9, 10	evlrhm 22252	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
12	8, 11	mpan 702	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
13		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
14		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
15		evl1rhm.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
17	15, 16	ply1bas 22355	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
19		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
20	15, 9, 19	ply1plusg 22383	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (+g‘𝑃) = (+g‘(1o mPoly 𝑅)))
22	21	oveqdr 7438	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
23		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))) → (𝑥(+g‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦))
24		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
25	15, 9, 24	ply1mulr 22385	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPoly 𝑅)))
27	26	oveqdr 7438	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
28		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))) → (𝑥(.r‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦))
29	13, 14, 18, 14, 22, 23, 27, 28	rhmpropd 20708	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
30	12, 29	eleqtrrd 2866	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1o eval 𝑅) ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
31		rhmco 20587	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) RingHom 𝑇) ∧ (1o eval 𝑅) ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (1o eval 𝑅)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
32	7, 30, 31	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (1o eval 𝑅)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
33	4, 32	eqeltrid 2867	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4589   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659   ∘ ccom 5665  Oncon0 6360  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1_oc1o 8442   ↑_m cmap 8820  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  ._rcmulr 17306   ↑_s cpws 17494  CRingccrg 20311   RingHom crh 20547   mPoly cmpl 22056   eval cevl 22224  Poly₁cpl1 22337  eval₁ce1 22474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-srg 20264  df-ring 20312  df-cring 20313  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-assa 22003  df-asp 22004  df-ascl 22005  df-psr 22059  df-mvr 22060  df-mpl 22061  df-opsr 22063  df-evls 22225  df-evl 22226  df-psr1 22340  df-ply1 22342  df-evl1 22476

This theorem is referenced by:  fveval1fvcl  22493  evl1addd  22501  evl1subd  22502  evl1muld  22503  evl1expd  22505  pf1const  22506  pf1id  22507  pf1subrg  22508  mpfpf1  22511  pf1mpf  22512  evl1gsummul  22520  evl1scvarpw  22523  ressply1evl  22530  ply1remlem  26322  ply1rem  26323  fta1glem1  26325  fta1glem2  26326  fta1g  26327  fta1blem  26328  idomrootle  26330  plypf1  26369  lgsqrlem2  27511  lgsqrlem3  27512  evl1fvf  33853  irngss  34077  pl1cn  34345  aks6d1c2lem4  42894  aks6d1c6lem2  42938