Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1rhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1rhm 20487
 Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 13-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1rhm.q 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1rhm.w 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1rhm.t 𝑇 = (𝑅s 𝐵)
evl1rhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
evl1rhm (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem evl1rhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1rhm.q . . 3 𝑂 = (eval1𝑅)
2 eqid 2819 . . 3 (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
3 evl1rhm.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
41, 2, 3evl1fval 20483 . 2 𝑂 = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (1o eval 𝑅))
5 evl1rhm.t . . . 4 𝑇 = (𝑅s 𝐵)
6 eqid 2819 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
73, 5, 6evls1rhmlem 20476 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑅s (𝐵m 1o)) RingHom 𝑇))
8 1on 8101 . . . . 5 1o ∈ On
9 eqid 2819 . . . . . 6 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
10 eqid 2819 . . . . . 6 (𝑅s (𝐵m 1o)) = (𝑅s (𝐵m 1o))
112, 3, 9, 10evlrhm 20301 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅s (𝐵m 1o))))
128, 11mpan 688 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅s (𝐵m 1o))))
13 eqidd 2820 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
14 eqidd 2820 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) = (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))
15 evl1rhm.w . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
16 eqid 2819 . . . . . . 7 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
17 eqid 2819 . . . . . . 7 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
1815, 16, 17ply1bas 20355 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
1918a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
20 eqid 2819 . . . . . . . 8 (+g𝑃) = (+g𝑃)
2115, 9, 20ply1plusg 20385 . . . . . . 7 (+g𝑃) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → (+g𝑃) = (+g‘(1o mPoly 𝑅)))
2322oveqdr 7176 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
24 eqidd 2820 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))) → (𝑥(+g‘(𝑅s (𝐵m 1o)))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑅s (𝐵m 1o)))𝑦))
25 eqid 2819 . . . . . . . 8 (.r𝑃) = (.r𝑃)
2615, 9, 25ply1mulr 20387 . . . . . . 7 (.r𝑃) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
2726a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → (.r𝑃) = (.r‘(1o mPoly 𝑅)))
2827oveqdr 7176 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
29 eqidd 2820 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))) → (𝑥(.r‘(𝑅s (𝐵m 1o)))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑅s (𝐵m 1o)))𝑦))
3013, 14, 19, 14, 23, 24, 28, 29rhmpropd 19563 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 RingHom (𝑅s (𝐵m 1o))) = ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅s (𝐵m 1o))))
3112, 30eleqtrrd 2914 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (1o eval 𝑅) ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s (𝐵m 1o))))
32 rhmco 19481 . . 3 (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑅s (𝐵m 1o)) RingHom 𝑇) ∧ (1o eval 𝑅) ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s (𝐵m 1o)))) → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (1o eval 𝑅)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
337, 31, 32syl2anc 586 . 2 (𝑅 ∈ CRing → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (1o eval 𝑅)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
344, 33eqeltrid 2915 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  {csn 4559   ↦ cmpt 5137   × cxp 5546   ∘ ccom 5552  Oncon0 6184  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  1oc1o 8087   ↑m cmap 8398  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558   ↑s cpws 16712  CRingccrg 19290   RingHom crh 19456   mPoly cmpl 20125   eval cevl 20277  PwSer1cps1 20335  Poly1cpl1 20337  eval1ce1 20469 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-ofr 7402  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-hash 13683  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-srg 19248  df-ring 19291  df-cring 19292  df-rnghom 19459  df-subrg 19525  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-assa 20077  df-asp 20078  df-ascl 20079  df-psr 20128  df-mvr 20129  df-mpl 20130  df-opsr 20132  df-evls 20278  df-evl 20279  df-psr1 20340  df-ply1 20342  df-evl1 20471 This theorem is referenced by:  fveval1fvcl  20488  evl1addd  20496  evl1subd  20497  evl1muld  20498  evl1expd  20500  pf1const  20501  pf1id  20502  pf1subrg  20503  mpfpf1  20506  pf1mpf  20507  evl1gsummul  20515  evl1scvarpw  20518  ply1remlem  24748  ply1rem  24749  fta1glem1  24751  fta1glem2  24752  fta1g  24753  fta1blem  24754  plypf1  24794  lgsqrlem2  25915  lgsqrlem3  25916  pl1cn  31186  idomrootle  39780
 Copyright terms: Public domain W3C validator