Theorem evl1rhm 20018

Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 13-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1rhm.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1rhm.w	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1rhm.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
evl1rhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1rhm	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem evl1rhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1rhm.q	. . 3 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		eqid 2799	. . 3 ⊢ (1𝑜 eval 𝑅) = (1𝑜 eval 𝑅)
3		evl1rhm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	evl1fval 20014	. 2 ⊢ 𝑂 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ (1𝑜 eval 𝑅))
5		evl1rhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
6		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
7	3, 5, 6	evls1rhmlem 20008	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) RingHom 𝑇))
8		1on 7806	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ On
9		eqid 2799	. . . . . 6 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
10		eqid 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))
11	2, 3, 9, 10	evlrhm 19847	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (1𝑜 eval 𝑅) ∈ ((1𝑜 mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))))
12	8, 11	mpan 682	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1𝑜 eval 𝑅) ∈ ((1𝑜 mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))))
13		eqidd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
14		eqidd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))))
15		evl1rhm.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2799	. . . . . . 7 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
17		eqid 2799	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
18	15, 16, 17	ply1bas 19887	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
20		eqid 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
21	15, 9, 20	ply1plusg 19917	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (+g‘𝑃) = (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
23	22	oveqdr 6906	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))𝑦))
24		eqidd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))))) → (𝑥(+g‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)))𝑦))
25		eqid 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
26	15, 9, 25	ply1mulr 19919	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (.r‘𝑃) = (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
28	27	oveqdr 6906	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅))𝑦))
29		eqidd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))))) → (𝑥(.r‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)))𝑦))
30	13, 14, 19, 14, 23, 24, 28, 29	rhmpropd 19133	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))) = ((1𝑜 mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))))
31	12, 30	eleqtrrd 2881	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1𝑜 eval 𝑅) ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))))
32		rhmco 19055	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) RingHom 𝑇) ∧ (1𝑜 eval 𝑅) ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)))) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ (1𝑜 eval 𝑅)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
33	7, 31, 32	syl2anc 580	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ (1𝑜 eval 𝑅)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
34	4, 33	syl5eqel 2882	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  {csn 4368   ↦ cmpt 4922   × cxp 5310   ∘ ccom 5316  Oncon0 5941  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  1_𝑜c1o 7792   ↑_𝑚 cmap 8095  Basecbs 16184  +_gcplusg 16267  ._rcmulr 16268   ↑_s cpws 16422  CRingccrg 18864   RingHom crh 19030   mPoly cmpl 19676   eval cevl 19827  PwSer₁cps1 19867  Poly₁cpl1 19869  eval₁ce1 20001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-hom 16291  df-cco 16292  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-prds 16423  df-pws 16425  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-srg 18822  df-ring 18865  df-cring 18866  df-rnghom 19033  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-assa 19635  df-asp 19636  df-ascl 19637  df-psr 19679  df-mvr 19680  df-mpl 19681  df-opsr 19683  df-evls 19828  df-evl 19829  df-psr1 19872  df-ply1 19874  df-evl1 20003

This theorem is referenced by:  fveval1fvcl  20019  evl1addd  20027  evl1subd  20028  evl1muld  20029  evl1expd  20031  pf1const  20032  pf1id  20033  pf1subrg  20034  mpfpf1  20037  pf1mpf  20038  evl1gsummul  20046  evl1scvarpw  20049  ply1remlem  24263  ply1rem  24264  fta1glem1  24266  fta1glem2  24267  fta1g  24268  fta1blem  24269  plypf1  24309  lgsqrlem2  25424  lgsqrlem3  25425  pl1cn  30517  idomrootle  38558