Theorem evl1rhm 22357

Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 13-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1rhm.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1rhm.w	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1rhm.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
evl1rhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1rhm	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem evl1rhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1rhm.q	. . 3 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
3		evl1rhm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	evl1fval 22353	. 2 ⊢ 𝑂 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (1o eval 𝑅))
5		evl1rhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
7	3, 5, 6	evls1rhmlem 22346	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) RingHom 𝑇))
8		1on 8534	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
9		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
10		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
11	2, 3, 9, 10	evlrhm 22143	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
12	8, 11	mpan 689	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
13		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
14		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
15		evl1rhm.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
17	15, 16	ply1bas 22217	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
19		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
20	15, 9, 19	ply1plusg 22246	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (+g‘𝑃) = (+g‘(1o mPoly 𝑅)))
22	21	oveqdr 7476	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
23		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))) → (𝑥(+g‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦))
24		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
25	15, 9, 24	ply1mulr 22248	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPoly 𝑅)))
27	26	oveqdr 7476	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
28		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))) → (𝑥(.r‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦))
29	13, 14, 18, 14, 22, 23, 27, 28	rhmpropd 20637	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
30	12, 29	eleqtrrd 2847	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1o eval 𝑅) ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
31		rhmco 20527	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) RingHom 𝑇) ∧ (1o eval 𝑅) ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (1o eval 𝑅)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
32	7, 30, 31	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (1o eval 𝑅)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
33	4, 32	eqeltrid 2848	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698   ∘ ccom 5704  Oncon0 6395  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1_oc1o 8515   ↑_m cmap 8884  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312   ↑_s cpws 17506  CRingccrg 20261   RingHom crh 20495   mPoly cmpl 21949   eval cevl 22120  Poly₁cpl1 22199  eval₁ce1 22339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-srg 20214  df-ring 20262  df-cring 20263  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-assa 21896  df-asp 21897  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-evls 22121  df-evl 22122  df-psr1 22202  df-ply1 22204  df-evl1 22341

This theorem is referenced by:  fveval1fvcl  22358  evl1addd  22366  evl1subd  22367  evl1muld  22368  evl1expd  22370  pf1const  22371  pf1id  22372  pf1subrg  22373  mpfpf1  22376  pf1mpf  22377  evl1gsummul  22385  evl1scvarpw  22388  ressply1evl  22395  ply1remlem  26224  ply1rem  26225  fta1glem1  26227  fta1glem2  26228  fta1g  26229  fta1blem  26230  idomrootle  26232  plypf1  26271  lgsqrlem2  27409  lgsqrlem3  27410  evl1fvf  33554  irngss  33687  pl1cn  33901  aks6d1c2lem4  42084  aks6d1c6lem2  42128