Theorem evl1rhm 22650

Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 13-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1rhm.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1rhm.w	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1rhm.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
evl1rhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1rhm	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem evl1rhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1rhm.q	. . 3 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
3		evl1rhm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	evl1fval 22646	. 2 ⊢ 𝑂 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (1o eval 𝑅))
5		evl1rhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
7	3, 5, 6	evls1rhmlem 22639	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) RingHom 𝑇))
8		1on 8489	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
9		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
10		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
11	2, 3, 9, 10	evlrhm 22410	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
12	8, 11	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
13		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
14		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
15		evl1rhm.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
17	15, 16	ply1bas 22513	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
19		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
20	15, 9, 19	ply1plusg 22541	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (+g‘𝑃) = (+g‘(1o mPoly 𝑅)))
22	21	oveqdr 7448	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
23		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))) → (𝑥(+g‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦))
24		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
25	15, 9, 24	ply1mulr 22543	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPoly 𝑅)))
27	26	oveqdr 7448	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
28		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))) → (𝑥(.r‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦))
29	13, 14, 18, 14, 22, 23, 27, 28	rhmpropd 20861	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
30	12, 29	eleqtrrd 2864	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1o eval 𝑅) ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
31		rhmco 20739	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) RingHom 𝑇) ∧ (1o eval 𝑅) ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (1o eval 𝑅)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
32	7, 30, 31	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (1o eval 𝑅)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
33	4, 32	eqeltrid 2865	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649   ∘ ccom 5655  Oncon0 6362  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1_oc1o 8469   ↑_m cmap 8847  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429   ↑_s cpws 17617  CRingccrg 20460   RingHom crh 20699   mPoly cmpl 22214   eval cevl 22382  Poly₁cpl1 22495  eval₁ce1 22632

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-srg 20413  df-ring 20461  df-cring 20462  df-rhm 20702  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-assa 22161  df-asp 22162  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-evls 22383  df-evl 22384  df-psr1 22498  df-ply1 22500  df-evl1 22634

This theorem is used by:  fveval1fvcl  22651  evl1addd  22659  evl1subd  22660  evl1muld  22661  evl1expd  22663  pf1const  22664  pf1id  22665  pf1subrg  22666  mpfpf1  22669  pf1mpf  22670  evl1gsummul  22678  evl1scvarpw  22681  ressply1evl  22688  ply1remlem  26483  ply1rem  26484  fta1glem1  26486  fta1glem2  26487  fta1g  26488  fta1blem  26489  idomrootle  26491  plypf1  26531  lgsqrlem2  27674  lgsqrlem3  27675  evl1fvf  34095  irngss  34319  pl1cn  34587  aks6d1c2lem4  43177  aks6d1c6lem2  43221