Theorem evl1rhm 22270

Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 13-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1rhm.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1rhm.w	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1rhm.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
evl1rhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1rhm	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem evl1rhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1rhm.q	. . 3 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
3		evl1rhm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	evl1fval 22266	. 2 ⊢ 𝑂 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (1o eval 𝑅))
5		evl1rhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
7	3, 5, 6	evls1rhmlem 22259	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) RingHom 𝑇))
8		1on 8492	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
9		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
10		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
11	2, 3, 9, 10	evlrhm 22054	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
12	8, 11	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
13		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
14		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
15		evl1rhm.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
17	15, 16	ply1bas 22130	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
19		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
20	15, 9, 19	ply1plusg 22159	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (+g‘𝑃) = (+g‘(1o mPoly 𝑅)))
22	21	oveqdr 7433	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
23		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))) → (𝑥(+g‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦))
24		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
25	15, 9, 24	ply1mulr 22161	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPoly 𝑅)))
27	26	oveqdr 7433	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑅))𝑦))
28		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))) → (𝑥(.r‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦))
29	13, 14, 18, 14, 22, 23, 27, 28	rhmpropd 20569	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
30	12, 29	eleqtrrd 2837	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1o eval 𝑅) ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
31		rhmco 20461	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) RingHom 𝑇) ∧ (1o eval 𝑅) ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (1o eval 𝑅)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
32	7, 30, 31	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (1o eval 𝑅)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
33	4, 32	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4601   ↦ cmpt 5201   × cxp 5652   ∘ ccom 5658  Oncon0 6352  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1_oc1o 8473   ↑_m cmap 8840  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  ._rcmulr 17272   ↑_s cpws 17460  CRingccrg 20194   RingHom crh 20429   mPoly cmpl 21866   eval cevl 22031  Poly₁cpl1 22112  eval₁ce1 22252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-srg 20147  df-ring 20195  df-cring 20196  df-rhm 20432  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-assa 21813  df-asp 21814  df-ascl 21815  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-evls 22032  df-evl 22033  df-psr1 22115  df-ply1 22117  df-evl1 22254

This theorem is referenced by:  fveval1fvcl  22271  evl1addd  22279  evl1subd  22280  evl1muld  22281  evl1expd  22283  pf1const  22284  pf1id  22285  pf1subrg  22286  mpfpf1  22289  pf1mpf  22290  evl1gsummul  22298  evl1scvarpw  22301  ressply1evl  22308  ply1remlem  26122  ply1rem  26123  fta1glem1  26125  fta1glem2  26126  fta1g  26127  fta1blem  26128  idomrootle  26130  plypf1  26169  lgsqrlem2  27310  lgsqrlem3  27311  evl1fvf  33576  irngss  33728  pl1cn  33986  aks6d1c2lem4  42140  aks6d1c6lem2  42184