Theorem evls1rhm 20083

Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by AV, 11-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1rhm.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1rhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1rhm.t	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s 𝐵)
evls1rhm.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1rhm.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
evls1rhm	⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem evls1rhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1rhm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2	1	subrgss 19173	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
3	2	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
4		elpwg 4387	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
5	4	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
6	3, 5	mpbird 249	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
7		evls1rhm.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
8		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
9	7, 8, 1	evls1fval 20080	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
10	6, 9	syldan 585	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
11		evls1rhm.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s 𝐵)
12		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
13	1, 11, 12	evls1rhmlem 20082	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o)) RingHom 𝑇))
14	13	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o)) RingHom 𝑇))
15		1on 7850	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
16		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
17		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
18		evls1rhm.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
19		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))
20	16, 17, 18, 19, 1	evlsrhm 19917	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))))
21	15, 20	mp3an1 1521	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))))
22		eqidd 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
23		eqidd 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))))
24		evls1rhm.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
25		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
26		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
27	24, 25, 26	ply1bas 19961	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
29		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
30	24, 17, 29	ply1plusg 19991	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘(1o mPoly 𝑈))
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (+g‘𝑊) = (+g‘(1o mPoly 𝑈)))
32	31	oveqdr 6950	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑈))𝑦))
33		eqidd 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))))) → (𝑥(+g‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o)))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o)))𝑦))
34		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
35	24, 17, 34	ply1mulr 19993	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘(1o mPoly 𝑈))
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (.r‘𝑊) = (.r‘(1o mPoly 𝑈)))
37	36	oveqdr 6950	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑈))𝑦))
38		eqidd 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))))) → (𝑥(.r‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o)))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o)))𝑦))
39	22, 23, 28, 23, 32, 33, 37, 38	rhmpropd 19207	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))) = ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))))
40	21, 39	eleqtrrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o))))
41		rhmco 19126	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o)) RingHom 𝑇) ∧ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1o)))) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)) ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))
42	14, 40, 41	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)) ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))
43	10, 42	eqeltrd 2859	1 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792  𝒫 cpw 4379  {csn 4398   ↦ cmpt 4965   × cxp 5353   ∘ ccom 5359  Oncon0 5976  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  1_oc1o 7836   ↑_𝑚 cmap 8140  Basecbs 16255   ↾_s cress 16256  +_gcplusg 16338  ._rcmulr 16339   ↑_s cpws 16493  CRingccrg 18935   RingHom crh 19101  SubRingcsubrg 19168   mPoly cmpl 19750   evalSub ces 19900  PwSer₁cps1 19941  Poly₁cpl1 19943   evalSub₁ ces1 20074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-ofr 7175  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-prds 16494  df-pws 16496  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-srg 18893  df-ring 18936  df-cring 18937  df-rnghom 19104  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-assa 19709  df-asp 19710  df-ascl 19711  df-psr 19753  df-mvr 19754  df-mpl 19755  df-opsr 19757  df-evls 19902  df-psr1 19946  df-ply1 19948  df-evls1 20076

This theorem is referenced by:  evls1gsumadd  20085  evls1gsummul  20086  evls1varpw  20087