Theorem evls1rhm 21398

Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by AV, 11-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1rhm.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1rhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1rhm.t	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s 𝐵)
evls1rhm.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1rhm.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
evls1rhm	⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem evls1rhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1rhm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2	1	subrgss 19940	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
4		elpwg 4533	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
6	3, 5	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
7		evls1rhm.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
9	7, 8, 1	evls1fval 21395	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
10	6, 9	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
11		evls1rhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s 𝐵)
12		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
13	1, 11, 12	evls1rhmlem 21397	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) RingHom 𝑇))
14		1on 8274	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
15		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
16		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
17		evls1rhm.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
18		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
19	15, 16, 17, 18, 1	evlsrhm 21208	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
20	14, 19	mp3an1 1446	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
21		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
22		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
23		evls1rhm.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
24		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
25		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
26	23, 24, 25	ply1bas 21276	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
28		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
29	23, 16, 28	ply1plusg 21306	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘(1o mPoly 𝑈))
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (+g‘𝑊) = (+g‘(1o mPoly 𝑈)))
31	30	oveqdr 7283	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑈))𝑦))
32		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))) → (𝑥(+g‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦))
33		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
34	23, 16, 33	ply1mulr 21308	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘(1o mPoly 𝑈))
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (.r‘𝑊) = (.r‘(1o mPoly 𝑈)))
36	35	oveqdr 7283	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑈))𝑦))
37		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))) → (𝑥(.r‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦))
38	21, 22, 27, 22, 31, 32, 36, 37	rhmpropd 19975	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
39	20, 38	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
40		rhmco 19896	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) RingHom 𝑇) ∧ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)) ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))
41	13, 39, 40	syl2an2r 681	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)) ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))
42	10, 41	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  {csn 4558   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578   ∘ ccom 5584  Oncon0 6251  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1_oc1o 8260   ↑_m cmap 8573  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889   ↑_s cpws 17074  CRingccrg 19699   RingHom crh 19871  SubRingcsubrg 19935   mPoly cmpl 21019   evalSub ces 21190  PwSer₁cps1 21256  Poly₁cpl1 21258   evalSub₁ ces1 21389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-srg 19657  df-ring 19700  df-cring 19701  df-rnghom 19874  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-assa 20970  df-asp 20971  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-evls 21192  df-psr1 21261  df-ply1 21263  df-evls1 21391

This theorem is referenced by:  evls1gsumadd  21400  evls1gsummul  21401  evls1pw  21402