Theorem evls1rhm 21559

Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by AV, 11-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1rhm.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1rhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1rhm.t	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s 𝐵)
evls1rhm.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1rhm.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
evls1rhm	⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem evls1rhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1rhm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2	1	subrgss 20096	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
3	2	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
4		elpwg 4546	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
5	4	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
6	3, 5	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
7		evls1rhm.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
9	7, 8, 1	evls1fval 21556	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
10	6, 9	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
11		evls1rhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s 𝐵)
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
13	1, 11, 12	evls1rhmlem 21558	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) RingHom 𝑇))
14		1on 8354	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
17		evls1rhm.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
18		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
19	15, 16, 17, 18, 1	evlsrhm 21369	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
20	14, 19	mp3an1 1447	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
21		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
22		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
23		evls1rhm.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
24		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
25		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
26	23, 24, 25	ply1bas 21437	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
28		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
29	23, 16, 28	ply1plusg 21467	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘(1o mPoly 𝑈))
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (+g‘𝑊) = (+g‘(1o mPoly 𝑈)))
31	30	oveqdr 7341	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑈))𝑦))
32		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))) → (𝑥(+g‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦))
33		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
34	23, 16, 33	ply1mulr 21469	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘(1o mPoly 𝑈))
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (.r‘𝑊) = (.r‘(1o mPoly 𝑈)))
36	35	oveqdr 7341	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑈))𝑦))
37		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))) → (𝑥(.r‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))𝑦))
38	21, 22, 27, 22, 31, 32, 36, 37	rhmpropd 20131	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
39	20, 38	eleqtrrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
40		rhmco 20048	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) RingHom 𝑇) ∧ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)) ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))
41	13, 39, 40	syl2an2r 682	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)) ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))
42	10, 41	eqeltrd 2838	1 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3896  𝒫 cpw 4543  {csn 4569   ↦ cmpt 5168   × cxp 5603   ∘ ccom 5609  Oncon0 6286  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313  1_oc1o 8335   ↑_m cmap 8661  Basecbs 16979   ↾_s cress 17008  +_gcplusg 17029  ._rcmulr 17030   ↑_s cpws 17224  CRingccrg 19851   RingHom crh 20023  SubRingcsubrg 20091   mPoly cmpl 21180   evalSub ces 21351  PwSer₁cps1 21417  Poly₁cpl1 21419   evalSub₁ ces1 21550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-iin 4938  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-se 5561  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-isom 6472  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-of 7571  df-ofr 7572  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-supp 8023  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-er 8544  df-map 8663  df-pm 8664  df-ixp 8732  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-fsupp 9197  df-sup 9269  df-oi 9337  df-card 9765  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-7 12111  df-8 12112  df-9 12113  df-n0 12304  df-z 12390  df-dec 12508  df-uz 12653  df-fz 13310  df-fzo 13453  df-seq 13792  df-hash 14115  df-struct 16915  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-sca 17045  df-vsca 17046  df-ip 17047  df-tset 17048  df-ple 17049  df-ds 17051  df-hom 17053  df-cco 17054  df-0g 17219  df-gsum 17220  df-prds 17225  df-pws 17227  df-mre 17362  df-mrc 17363  df-acs 17365  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-mhm 18497  df-submnd 18498  df-grp 18647  df-minusg 18648  df-sbg 18649  df-mulg 18768  df-subg 18819  df-ghm 18899  df-cntz 18990  df-cmn 19455  df-abl 19456  df-mgp 19788  df-ur 19805  df-srg 19809  df-ring 19852  df-cring 19853  df-rnghom 20026  df-subrg 20093  df-lmod 20196  df-lss 20265  df-lsp 20305  df-assa 21131  df-asp 21132  df-ascl 21133  df-psr 21183  df-mvr 21184  df-mpl 21185  df-opsr 21187  df-evls 21353  df-psr1 21422  df-ply1 21424  df-evls1 21552

This theorem is referenced by:  evls1gsumadd  21561  evls1gsummul  21562  evls1pw  21563