MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1rhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evls1rhm 21841
Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by AV, 11-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1rhm.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1rhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
evls1rhm.t 𝑇 = (𝑆 ↑s 𝐡)
evls1rhm.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evls1rhm.w π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
evls1rhm ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 ∈ (π‘Š RingHom 𝑇))
Proof of Theorem evls1rhm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1rhm.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
21subrgss 20320 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
32adantl 483 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
4 elpwg 4606 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (𝑅 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑅 βŠ† 𝐡))
54adantl 483 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (𝑅 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑅 βŠ† 𝐡))
63, 5mpbird 257 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡)
7 evls1rhm.q . . . 4 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
8 eqid 2733 . . . 4 (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
97, 8, 1evls1fval 21838 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑄 = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)))
106, 9syldan 592 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)))
11 evls1rhm.t . . . 4 𝑇 = (𝑆 ↑s 𝐡)
12 eqid 2733 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) = (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
131, 11, 12evls1rhmlem 21840 . . 3 (𝑆 ∈ CRing β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∈ ((𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)) RingHom 𝑇))
14 1on 8478 . . . . 5 1o ∈ On
15 eqid 2733 . . . . . 6 ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) = ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
16 eqid 2733 . . . . . 6 (1o mPoly π‘ˆ) = (1o mPoly π‘ˆ)
17 evls1rhm.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
18 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))
1915, 16, 17, 18, 1evlsrhm 21651 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((1o mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
2014, 19mp3an1 1449 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((1o mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
21 eqidd 2734 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š))
22 eqidd 2734 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
23 evls1rhm.w . . . . . . 7 π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
24 eqid 2733 . . . . . . 7 (PwSer1β€˜π‘ˆ) = (PwSer1β€˜π‘ˆ)
25 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2623, 24, 25ply1bas 21719 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
2726a1i 11 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
28 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
2923, 16, 28ply1plusg 21747 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
3029a1i 11 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
3130oveqdr 7437 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))𝑦))
32 eqidd 2734 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)))𝑦))
33 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘Š) = (.rβ€˜π‘Š)
3423, 16, 33ply1mulr 21749 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘Š) = (.rβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))
3534a1i 11 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (.rβ€˜π‘Š) = (.rβ€˜(1o mPoly π‘ˆ)))
3635oveqdr 7437 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜(1o mPoly π‘ˆ))𝑦))
37 eqidd 2734 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)))𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)))𝑦))
3821, 22, 27, 22, 31, 32, 36, 37rhmpropd 20356 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) = ((1o mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
3920, 38eleqtrrd 2837 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
40 rhmco 20276 . . 3 (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∈ ((𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)) RingHom 𝑇) ∧ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)))) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)) ∈ (π‘Š RingHom 𝑇))
4113, 39, 40syl2an2r 684 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)) ∈ (π‘Š RingHom 𝑇))
4210, 41eqeltrd 2834 1 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 ∈ (π‘Š RingHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {csn 4629   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   ∘ ccom 5681  Oncon0 6365  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1oc1o 8459   ↑m cmap 8820  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198   ↑s cpws 17392  CRingccrg 20057   RingHom crh 20248  SubRingcsubrg 20315   mPoly cmpl 21459   evalSub ces 21633  PwSer1cps1 21699  Poly1cpl1 21701   evalSub1 ces1 21832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-srg 20010  df-ring 20058  df-cring 20059  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-assa 21408  df-asp 21409  df-ascl 21410  df-psr 21462  df-mvr 21463  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-evls 21635  df-psr1 21704  df-ply1 21706  df-evls1 21834
This theorem is referenced by:  evls1gsumadd  21843  evls1gsummul  21844  evls1pw  21845  evls1fn  32640  evls1dm  32641  evls1fvf  32642  evls1expd  32644  evls1fpws  32646  ressply1evl  32647  elirng  32750  irngnzply1lem  32754  irngnzply1  32755
  Copyright terms: Public domain W3C validator