Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1rhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1rhm 20083
 Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by AV, 11-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1rhm.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1rhm.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1rhm.t 𝑇 = (𝑆s 𝐵)
evls1rhm.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evls1rhm.w 𝑊 = (Poly1𝑈)
Assertion
Ref Expression
evls1rhm ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem evls1rhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1rhm.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
21subrgss 19173 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
32adantl 475 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅𝐵)
4 elpwg 4387 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵𝑅𝐵))
54adantl 475 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵𝑅𝐵))
63, 5mpbird 249 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
7 evls1rhm.q . . . 4 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
8 eqid 2778 . . . 4 (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
97, 8, 1evls1fval 20080 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
106, 9syldan 585 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)))
11 evls1rhm.t . . . . 5 𝑇 = (𝑆s 𝐵)
12 eqid 2778 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
131, 11, 12evls1rhmlem 20082 . . . 4 (𝑆 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑆s (𝐵𝑚 1o)) RingHom 𝑇))
1413adantr 474 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑆s (𝐵𝑚 1o)) RingHom 𝑇))
15 1on 7850 . . . . 5 1o ∈ On
16 eqid 2778 . . . . . 6 ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
17 eqid 2778 . . . . . 6 (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
18 evls1rhm.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
19 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑆s (𝐵𝑚 1o)) = (𝑆s (𝐵𝑚 1o))
2016, 17, 18, 19, 1evlsrhm 19917 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 1o))))
2115, 20mp3an1 1521 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 1o))))
22 eqidd 2779 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
23 eqidd 2779 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o))) = (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o))))
24 evls1rhm.w . . . . . . 7 𝑊 = (Poly1𝑈)
25 eqid 2778 . . . . . . 7 (PwSer1𝑈) = (PwSer1𝑈)
26 eqid 2778 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2724, 25, 26ply1bas 19961 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
2827a1i 11 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (Base‘𝑊) = (Base‘(1o mPoly 𝑈)))
29 eqid 2778 . . . . . . . 8 (+g𝑊) = (+g𝑊)
3024, 17, 29ply1plusg 19991 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g‘(1o mPoly 𝑈))
3130a1i 11 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (+g𝑊) = (+g‘(1o mPoly 𝑈)))
3231oveqdr 6950 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) = (𝑥(+g‘(1o mPoly 𝑈))𝑦))
33 eqidd 2779 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o))))) → (𝑥(+g‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o)))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o)))𝑦))
34 eqid 2778 . . . . . . . 8 (.r𝑊) = (.r𝑊)
3524, 17, 34ply1mulr 19993 . . . . . . 7 (.r𝑊) = (.r‘(1o mPoly 𝑈))
3635a1i 11 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (.r𝑊) = (.r‘(1o mPoly 𝑈)))
3736oveqdr 6950 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r𝑊)𝑦) = (𝑥(.r‘(1o mPoly 𝑈))𝑦))
38 eqidd 2779 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o))))) → (𝑥(.r‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o)))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑆s (𝐵𝑚 1o)))𝑦))
3922, 23, 28, 23, 32, 33, 37, 38rhmpropd 19207 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑊 RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 1o))) = ((1o mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 1o))))
4021, 39eleqtrrd 2862 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ (𝑊 RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 1o))))
41 rhmco 19126 . . 3 (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∈ ((𝑆s (𝐵𝑚 1o)) RingHom 𝑇) ∧ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ (𝑊 RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 1o)))) → ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)) ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))
4214, 40, 41syl2anc 579 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)) ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))
4310, 42eqeltrd 2859 1 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792  𝒫 cpw 4379  {csn 4398   ↦ cmpt 4965   × cxp 5353   ∘ ccom 5359  Oncon0 5976  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  1oc1o 7836   ↑𝑚 cmap 8140  Basecbs 16255   ↾s cress 16256  +gcplusg 16338  .rcmulr 16339   ↑s cpws 16493  CRingccrg 18935   RingHom crh 19101  SubRingcsubrg 19168   mPoly cmpl 19750   evalSub ces 19900  PwSer1cps1 19941  Poly1cpl1 19943   evalSub1 ces1 20074 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-ofr 7175  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-prds 16494  df-pws 16496  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-srg 18893  df-ring 18936  df-cring 18937  df-rnghom 19104  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-assa 19709  df-asp 19710  df-ascl 19711  df-psr 19753  df-mvr 19754  df-mpl 19755  df-opsr 19757  df-evls 19902  df-psr1 19946  df-ply1 19948  df-evls1 20076 This theorem is referenced by:  evls1gsumadd  20085  evls1gsummul  20086  evls1varpw  20087
 Copyright terms: Public domain W3C validator