MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimsqz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimsqz 15636
Description: Convergence of a sequence sandwiched between another converging sequence and its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimsqz.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
rlimsqz.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
rlimsqz.l (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimsqz.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
rlimsqz.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
rlimsqz.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐵𝐶)
rlimsqz.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐶𝐷)
Assertion
Ref Expression
rlimsqz (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rlimsqz
StepHypRef Expression
1 rlimsqz.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2 rlimsqz.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
32recnd 11280 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
4 rlimsqz.l . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
5 rlimsqz.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
65recnd 11280 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
7 rlimsqz.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
87recnd 11280 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
95adantrr 715 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
107adantrr 715 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐶 ∈ ℝ)
112adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐷 ∈ ℝ)
12 rlimsqz.1 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐵𝐶)
139, 10, 11, 12lesub2dd 11869 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → (𝐷𝐶) ≤ (𝐷𝐵))
14 rlimsqz.2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐶𝐷)
1510, 11, 14abssuble0d 15419 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → (abs‘(𝐶𝐷)) = (𝐷𝐶))
169, 10, 11, 12, 14letrd 11409 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐵𝐷)
179, 11, 16abssuble0d 15419 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → (abs‘(𝐵𝐷)) = (𝐷𝐵))
1813, 15, 173brtr4d 5184 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → (abs‘(𝐶𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)))
191, 3, 4, 6, 8, 18rlimsqzlem 15635 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098   class class class wbr 5152  cmpt 5235  cfv 6553  (class class class)co 7426  cr 11145  cle 11287  cmin 11482  abscabs 15221  𝑟 crli 15469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ico 13370  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-rlim 15473
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator