Theorem rngringbdlem2 21654

Description: A non-unital ring is unital if and only if there is a (two-sided) ideal of the ring which is unital, and the quotient of the ring and the ideal is unital. (Proposed by GL, 12-Feb-2025.) (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngringbd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngringbd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngringbd.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngringbd.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngringbd.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rngringbdlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem rngringbdlem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑄 ×s 𝐽) = (𝑄 ×s 𝐽)
2		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
3		rngringbd.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝐽 ∈ Ring)
5	1, 2, 4	xpsringd 20613	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → (𝑄 ×s 𝐽) ∈ Ring)
6		rngringbd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
7	6	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Rng)
8		rngringbd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
10		rngringbd.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐽) = (1r‘𝐽)
14		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
15		rngringbd.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
17		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩)
18	7, 9, 10, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 1, 17	rngqiprngim 21651	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ (𝑅 RngIso (𝑄 ×s 𝐽)))
19		rngimcnv 20737	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ (𝑅 RngIso (𝑄 ×s 𝐽)) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ ((𝑄 ×s 𝐽) RngIso 𝑅))
20	18, 19	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ ((𝑄 ×s 𝐽) RngIso 𝑅))
21		rngisomring 20748	. 2 ⊢ (((𝑄 ×s 𝐽) ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Rng ∧ ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ ((𝑄 ×s 𝐽) RngIso 𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22	5, 7, 20, 21	syl3anc 1399	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4840   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5657  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  [cec 8753  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  ._rcmulr 17473   /_s cqus 17727   ×_s cxps 17728   ~_QG cqg 19382  Rngcrng 20425  1_rcur 20458  Ringcrg 20510   RngIso crngim 20716  2Idealc2idl 21593

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-prds 17668  df-imas 17730  df-qus 17731  df-xps 17732  df-mgm 18866  df-mgmhm 18931  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-nsg 19384  df-eqg 19385  df-ghm 19478  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-rnghm 20717  df-rngim 20718  df-subrng 20849  df-lss 21258  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-lidl 21537  df-2idl 21594

This theorem is used by:  rngringbd  21655  ring2idlqusb  21657  ring2idlqus1  21666