Theorem rngringbdlem2 21296

Description: A non-unital ring is unital if and only if there is a (two-sided) ideal of the ring which is unital, and the quotient of the ring and the ideal is unital. (Proposed by GL, 12-Feb-2025.) (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngringbd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngringbd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngringbd.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngringbd.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngringbd.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rngringbdlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem rngringbdlem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . 3 ⊢ (𝑄 ×s 𝐽) = (𝑄 ×s 𝐽)
2		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
3		rngringbd.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
4	3	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝐽 ∈ Ring)
5	1, 2, 4	xpsringd 20311	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → (𝑄 ×s 𝐽) ∈ Ring)
6		rngringbd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
7	6	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Rng)
8		rngringbd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
9	8	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
10		rngringbd.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
11		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐽) = (1r‘𝐽)
14		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
15		rngringbd.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
16		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
17		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩)
18	7, 9, 10, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 1, 17	rngqiprngim 21293	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ (𝑅 RngIso (𝑄 ×s 𝐽)))
19		rngimcnv 20438	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ (𝑅 RngIso (𝑄 ×s 𝐽)) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ ((𝑄 ×s 𝐽) RngIso 𝑅))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ ((𝑄 ×s 𝐽) RngIso 𝑅))
21		rngisomring 20449	. 2 ⊢ (((𝑄 ×s 𝐽) ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Rng ∧ ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ ((𝑄 ×s 𝐽) RngIso 𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22	5, 7, 20, 21	syl3anc 1368	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ⟨cop 4639   ↦ cmpt 5236  ^◡ccnv 5681  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  [cec 8732  Basecbs 17213   ↾_s cress 17242  ._rcmulr 17267   /_s cqus 17520   ×_s cxps 17521   ~_QG cqg 19116  Rngcrng 20135  1_rcur 20164  Ringcrg 20216   RngIso crngim 20417  2Idealc2idl 21238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-ec 8736  df-qs 8740  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-prds 17462  df-imas 17523  df-qus 17524  df-xps 17525  df-mgm 18633  df-mgmhm 18685  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-nsg 19118  df-eqg 19119  df-ghm 19207  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-rnghm 20418  df-rngim 20419  df-subrng 20528  df-lss 20909  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-lidl 21197  df-2idl 21239

This theorem is referenced by:  rngringbd  21297  ring2idlqusb  21299  ring2idlqus1  21308