Theorem rngringbdlem2 21317

Description: A non-unital ring is unital if and only if there is a (two-sided) ideal of the ring which is unital, and the quotient of the ring and the ideal is unital. (Proposed by GL, 12-Feb-2025.) (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngringbd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngringbd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngringbd.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngringbd.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngringbd.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rngringbdlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem rngringbdlem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑄 ×s 𝐽) = (𝑄 ×s 𝐽)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
3		rngringbd.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝐽 ∈ Ring)
5	1, 2, 4	xpsringd 20329	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → (𝑄 ×s 𝐽) ∈ Ring)
6		rngringbd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Rng)
8		rngringbd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
10		rngringbd.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐽) = (1r‘𝐽)
14		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
15		rngringbd.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
16		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
17		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩)
18	7, 9, 10, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 1, 17	rngqiprngim 21314	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ (𝑅 RngIso (𝑄 ×s 𝐽)))
19		rngimcnv 20456	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ (𝑅 RngIso (𝑄 ×s 𝐽)) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ ((𝑄 ×s 𝐽) RngIso 𝑅))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ ((𝑄 ×s 𝐽) RngIso 𝑅))
21		rngisomring 20467	. 2 ⊢ (((𝑄 ×s 𝐽) ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Rng ∧ ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ ((𝑄 ×s 𝐽) RngIso 𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22	5, 7, 20, 21	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4632   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5684  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  [cec 8743  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  ._rcmulr 17298   /_s cqus 17550   ×_s cxps 17551   ~_QG cqg 19140  Rngcrng 20149  1_rcur 20178  Ringcrg 20230   RngIso crngim 20435  2Idealc2idl 21259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-imas 17553  df-qus 17554  df-xps 17555  df-mgm 18653  df-mgmhm 18705  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-rnghm 20436  df-rngim 20437  df-subrng 20546  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-2idl 21260

This theorem is referenced by:  rngringbd  21318  ring2idlqusb  21320  ring2idlqus1  21329