Theorem rngringbdlem2 21196

Description: A non-unital ring is unital if and only if there is a (two-sided) ideal of the ring which is unital, and the quotient of the ring and the ideal is unital. (Proposed by GL, 12-Feb-2025.) (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngringbd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngringbd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngringbd.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngringbd.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngringbd.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rngringbdlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem rngringbdlem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . 3 ⊢ (𝑄 ×s 𝐽) = (𝑄 ×s 𝐽)
2		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
3		rngringbd.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
4	3	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝐽 ∈ Ring)
5	1, 2, 4	xpsringd 20267	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → (𝑄 ×s 𝐽) ∈ Ring)
6		rngringbd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
7	6	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Rng)
8		rngringbd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
9	8	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
10		rngringbd.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
11		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐽) = (1r‘𝐽)
14		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
15		rngringbd.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
16		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
17		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩)
18	7, 9, 10, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 1, 17	rngqiprngim 21193	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ (𝑅 RngIso (𝑄 ×s 𝐽)))
19		rngimcnv 20394	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ (𝑅 RngIso (𝑄 ×s 𝐽)) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ ((𝑄 ×s 𝐽) RngIso 𝑅))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ ((𝑄 ×s 𝐽) RngIso 𝑅))
21		rngisomring 20405	. 2 ⊢ (((𝑄 ×s 𝐽) ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Rng ∧ ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ ((𝑄 ×s 𝐽) RngIso 𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22	5, 7, 20, 21	syl3anc 1368	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⟨cop 4631   ↦ cmpt 5227  ^◡ccnv 5672  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  [cec 8716  Basecbs 17174   ↾_s cress 17203  ._rcmulr 17228   /_s cqus 17481   ×_s cxps 17482   ~_QG cqg 19076  Rngcrng 20091  1_rcur 20120  Ringcrg 20172   RngIso crngim 20373  2Idealc2idl 21142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-prds 17423  df-imas 17484  df-qus 17485  df-xps 17486  df-mgm 18594  df-mgmhm 18646  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-nsg 19078  df-eqg 19079  df-ghm 19167  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-rnghm 20374  df-rngim 20375  df-subrng 20482  df-lss 20815  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-lidl 21103  df-2idl 21143

This theorem is referenced by:  rngringbd  21197  ring2idlqusb  21199  ring2idlqus1  21208