Theorem rngringbdlem2 21245

Description: A non-unital ring is unital if and only if there is a (two-sided) ideal of the ring which is unital, and the quotient of the ring and the ideal is unital. (Proposed by GL, 12-Feb-2025.) (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngringbd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngringbd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngringbd.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngringbd.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngringbd.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rngringbdlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem rngringbdlem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑄 ×s 𝐽) = (𝑄 ×s 𝐽)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
3		rngringbd.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝐽 ∈ Ring)
5	1, 2, 4	xpsringd 20251	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → (𝑄 ×s 𝐽) ∈ Ring)
6		rngringbd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Rng)
8		rngringbd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
10		rngringbd.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
11		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐽) = (1r‘𝐽)
14		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
15		rngringbd.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
16		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
17		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩)
18	7, 9, 10, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 1, 17	rngqiprngim 21242	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ (𝑅 RngIso (𝑄 ×s 𝐽)))
19		rngimcnv 20375	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ (𝑅 RngIso (𝑄 ×s 𝐽)) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ ((𝑄 ×s 𝐽) RngIso 𝑅))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ ((𝑄 ×s 𝐽) RngIso 𝑅))
21		rngisomring 20386	. 2 ⊢ (((𝑄 ×s 𝐽) ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Rng ∧ ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ⟨[𝑥](𝑅 ~QG 𝐼), ((1r‘𝐽)(.r‘𝑅)𝑥)⟩) ∈ ((𝑄 ×s 𝐽) RngIso 𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22	5, 7, 20, 21	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4582   ↦ cmpt 5172  ^◡ccnv 5615  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  [cec 8620  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  ._rcmulr 17162   /_s cqus 17409   ×_s cxps 17410   ~_QG cqg 19035  Rngcrng 20071  1_rcur 20100  Ringcrg 20152   RngIso crngim 20354  2Idealc2idl 21187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-imas 17412  df-qus 17413  df-xps 17414  df-mgm 18548  df-mgmhm 18600  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-nsg 19037  df-eqg 19038  df-ghm 19126  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154  df-oppr 20256  df-dvdsr 20276  df-unit 20277  df-invr 20307  df-rnghm 20355  df-rngim 20356  df-subrng 20462  df-lss 20866  df-sra 21108  df-rgmod 21109  df-lidl 21146  df-2idl 21188

This theorem is referenced by:  rngringbd  21246  ring2idlqusb  21248  ring2idlqus1  21257