Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngurd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngurd 30888
 Description: Deduce the unit of a ring from its properties. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rngurd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
rngurd.p (𝜑· = (.r𝑅))
rngurd.z (𝜑1𝐵)
rngurd.i ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
rngurd.j ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
Assertion
Ref Expression
rngurd (𝜑1 = (1r𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ·   𝜑,𝑥

Proof of Theorem rngurd
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2822 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2822 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 eqid 2822 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
41, 2, 3dfur2 19245 . 2 (1r𝑅) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
5 rngurd.z . . . 4 (𝜑1𝐵)
6 rngurd.b . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
75, 6eleqtrd 2916 . . 3 (𝜑1 ∈ (Base‘𝑅))
8 rngurd.i . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
9 rngurd.j . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
108, 9jca 515 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥))
1110ralrimiva 3174 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥))
12 rngurd.p . . . . . . . . 9 (𝜑· = (.r𝑅))
1312adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → · = (.r𝑅))
1413oveqd 7157 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = ( 1 (.r𝑅)𝑥))
1514eqeq1d 2824 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
1613oveqd 7157 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = (𝑥(.r𝑅) 1 ))
1716eqeq1d 2824 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑥 · 1 ) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥))
1815, 17anbi12d 633 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → ((( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥) ↔ (( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)))
196, 18raleqbidva 3398 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)))
2011, 19mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥))
216eleq2d 2899 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑒𝐵𝑒 ∈ (Base‘𝑅)))
2213oveqd 7157 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒(.r𝑅)𝑥))
2322eqeq1d 2824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
2413oveqd 7157 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 𝑒) = (𝑥(.r𝑅)𝑒))
2524eqeq1d 2824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))
2623, 25anbi12d 633 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
276, 26raleqbidva 3398 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
2821, 27anbi12d 633 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))))
298ralrimiva 3174 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
3029adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐵) → ∀𝑥𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
31 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒𝐵) → 𝑒𝐵)
32 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → 𝑥 = 𝑒)
3332oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → ( 1 · 𝑥) = ( 1 · 𝑒))
3433, 32eqeq12d 2838 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 · 𝑒) = 𝑒))
3531, 34rspcdv 3590 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐵) → (∀𝑥𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥 → ( 1 · 𝑒) = 𝑒))
3630, 35mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒𝐵) → ( 1 · 𝑒) = 𝑒)
3736adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ( 1 · 𝑒) = 𝑒)
385adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → 1𝐵)
39 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))
40 oveq2 7148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒 · 1 ))
41 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1𝑥 = 1 )
4240, 41eqeq12d 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒 · 1 ) = 1 ))
43 oveq1 7147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑒) = ( 1 · 𝑒))
4443, 41eqeq12d 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ ( 1 · 𝑒) = 1 ))
4542, 44anbi12d 633 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒 · 1 ) = 1 ∧ ( 1 · 𝑒) = 1 )))
4645rspcva 3596 . . . . . . . . . . 11 (( 1𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → ((𝑒 · 1 ) = 1 ∧ ( 1 · 𝑒) = 1 ))
4746simprd 499 . . . . . . . . . 10 (( 1𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → ( 1 · 𝑒) = 1 )
4838, 39, 47syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ( 1 · 𝑒) = 1 )
4937, 48eqtr3d 2859 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → 𝑒 = 1 )
5049ex 416 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
5128, 50sylbird 263 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
5251alrimiv 1928 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑒((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
53 eleq1 2901 . . . . . . 7 (𝑒 = 1 → (𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
54 oveq1 7147 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 1 → (𝑒(.r𝑅)𝑥) = ( 1 (.r𝑅)𝑥))
5554eqeq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑒 = 1 → ((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
5655ovanraleqv 7164 . . . . . . 7 (𝑒 = 1 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)))
5753, 56anbi12d 633 . . . . . 6 (𝑒 = 1 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥))))
5857eqeu 3672 . . . . 5 (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)) ∧ ∀𝑒((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 )) → ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
597, 7, 20, 52, 58syl121anc 1372 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
6057iota2 6323 . . . 4 (( 1𝐵 ∧ ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))) → (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)) ↔ (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 ))
615, 59, 60syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)) ↔ (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 ))
627, 20, 61mpbi2and 711 . 2 (𝜑 → (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 )
634, 62syl5req 2870 1 (𝜑1 = (1r𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∃!weu 2652  ∀wral 3130  ℩cio 6291  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  .rcmulr 16557  1rcur 19242 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-plusg 16569  df-0g 16706  df-mgp 19231  df-ur 19243 This theorem is referenced by:  ress1r  30892
 Copyright terms: Public domain W3C validator