Theorem reexpcl 14094

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14098. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11184	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11212	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11233	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14088	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  ℕ₀cn0 12499  ↑cexp 14077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-seq 14018  df-exp 14078

This theorem is referenced by:  expgt1  14116  resqcl  14140  reexpcld  14179  rpexpmord  14184  leexp2r  14190  leexp1a  14191  bernneq  14245  bernneq3  14247  expnbnd  14248  expnlbnd  14249  expmulnbnd  14251  digit2  14252  digit1  14253  expnngt1  14257  faclbnd  14306  faclbnd2  14307  faclbnd3  14308  faclbnd4lem1  14309  faclbnd5  14314  faclbnd6  14315  geomulcvg  15890  reeftcl  16088  ege2le3  16104  eftlub  16125  eflegeo  16137  resin4p  16154  recos4p  16155  ef01bndlem  16200  sin01bnd  16201  cos01bnd  16202  sin01gt0  16206  rpnnen2lem2  16231  rpnnen2lem4  16233  rpnnen2lem11  16240  powm2modprm  16821  prmreclem6  16939  mbfi1fseqlem6  25671  aaliou3lem8  26303  radcnvlem1  26372  abelthlem5  26395  abelthlem7  26398  tangtx  26464  advlogexp  26614  logtayllem  26618  leibpilem2  26901  leibpi  26902  leibpisum  26903  basellem3  27043  chtublem  27172  logexprlim  27186  dchrisum0flblem1  27469  pntlem3  27570  ostth2lem1  27579  ostth2lem3  27596  ostth3  27599  hgt750lem  34629  tgoldbachgnn  34637  subfacval2  35155  nn0prpw  36287  mblfinlem1  37627  mblfinlem2  37628  bfplem1  37792  lcmineqlem20  42007  3lexlogpow5ineq1  42013  tgoldbach  47779  dignn0fr  48529  digexp  48535  dig2bits  48542