Theorem reexpcl 14129

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14133. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11241	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11269	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11290	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14123	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  ℕ₀cn0 12553  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  expgt1  14151  resqcl  14174  reexpcld  14213  rpexpmord  14218  leexp2r  14224  leexp1a  14225  bernneq  14278  bernneq3  14280  expnbnd  14281  expnlbnd  14282  expmulnbnd  14284  digit2  14285  digit1  14286  expnngt1  14290  faclbnd  14339  faclbnd2  14340  faclbnd3  14341  faclbnd4lem1  14342  faclbnd5  14347  faclbnd6  14348  geomulcvg  15924  reeftcl  16122  ege2le3  16138  eftlub  16157  eflegeo  16169  resin4p  16186  recos4p  16187  ef01bndlem  16232  sin01bnd  16233  cos01bnd  16234  sin01gt0  16238  rpnnen2lem2  16263  rpnnen2lem4  16265  rpnnen2lem11  16272  powm2modprm  16850  prmreclem6  16968  mbfi1fseqlem6  25775  aaliou3lem8  26405  radcnvlem1  26474  abelthlem5  26497  abelthlem7  26500  tangtx  26565  advlogexp  26715  logtayllem  26719  leibpilem2  27002  leibpi  27003  leibpisum  27004  basellem3  27144  chtublem  27273  logexprlim  27287  dchrisum0flblem1  27570  pntlem3  27671  ostth2lem1  27680  ostth2lem3  27697  ostth3  27700  hgt750lem  34628  tgoldbachgnn  34636  subfacval2  35155  nn0prpw  36289  mblfinlem1  37617  mblfinlem2  37618  bfplem1  37782  lcmineqlem20  42005  3lexlogpow5ineq1  42011  tgoldbach  47691  dignn0fr  48335  digexp  48341  dig2bits  48348