Theorem reexpcl 14110

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14114. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11153	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11181	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11204	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14104	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  ℕ₀cn0 12500  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  expgt1  14132  resqcl  14156  reexpcld  14195  rpexpmord  14200  leexp2r  14206  leexp1a  14207  bernneq  14261  bernneq3  14263  expnbnd  14264  expnlbnd  14265  expmulnbnd  14267  digit2  14268  digit1  14269  expnngt1  14273  faclbnd  14322  faclbnd2  14323  faclbnd3  14324  faclbnd4lem1  14325  faclbnd5  14330  faclbnd6  14331  geomulcvg  15926  reeftcl  16124  ege2le3  16140  eftlub  16161  eflegeo  16173  resin4p  16190  recos4p  16191  ef01bndlem  16236  sin01bnd  16237  cos01bnd  16238  sin01gt0  16242  rpnnen2lem2  16267  rpnnen2lem4  16269  rpnnen2lem11  16276  powm2modprm  16859  prmreclem6  16977  mbfi1fseqlem6  25844  aaliou3lem8  26471  radcnvlem1  26538  abelthlem5  26560  abelthlem7  26563  tangtx  26632  advlogexp  26782  logtayllem  26786  leibpilem2  27068  leibpi  27069  leibpisum  27070  basellem3  27209  chtublem  27337  logexprlim  27351  dchrisum0flblem1  27634  pntlem3  27735  ostth2lem1  27744  ostth2lem3  27761  ostth3  27764  hgt750lem  34979  tgoldbachgnn  34987  subfacval2  35574  nn0prpw  36719  mblfinlem1  38191  mblfinlem2  38192  bfplem1  38356  lcmineqlem20  42700  3lexlogpow5ineq1  42706  tgoldbach  48466  dignn0fr  49261  digexp  49267  dig2bits  49274