Theorem reexpcl 14043

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14047. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11125	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11153	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11174	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14037	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  ℕ₀cn0 12442  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  expgt1  14065  resqcl  14089  reexpcld  14128  rpexpmord  14133  leexp2r  14139  leexp1a  14140  bernneq  14194  bernneq3  14196  expnbnd  14197  expnlbnd  14198  expmulnbnd  14200  digit2  14201  digit1  14202  expnngt1  14206  faclbnd  14255  faclbnd2  14256  faclbnd3  14257  faclbnd4lem1  14258  faclbnd5  14263  faclbnd6  14264  geomulcvg  15842  reeftcl  16040  ege2le3  16056  eftlub  16077  eflegeo  16089  resin4p  16106  recos4p  16107  ef01bndlem  16152  sin01bnd  16153  cos01bnd  16154  sin01gt0  16158  rpnnen2lem2  16183  rpnnen2lem4  16185  rpnnen2lem11  16192  powm2modprm  16774  prmreclem6  16892  mbfi1fseqlem6  25621  aaliou3lem8  26253  radcnvlem1  26322  abelthlem5  26345  abelthlem7  26348  tangtx  26414  advlogexp  26564  logtayllem  26568  leibpilem2  26851  leibpi  26852  leibpisum  26853  basellem3  26993  chtublem  27122  logexprlim  27136  dchrisum0flblem1  27419  pntlem3  27520  ostth2lem1  27529  ostth2lem3  27546  ostth3  27549  hgt750lem  34642  tgoldbachgnn  34650  subfacval2  35174  nn0prpw  36311  mblfinlem1  37651  mblfinlem2  37652  bfplem1  37816  lcmineqlem20  42036  3lexlogpow5ineq1  42042  tgoldbach  47818  dignn0fr  48590  digexp  48596  dig2bits  48603