Theorem reexpcl 14013

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14017. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11095	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11123	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11144	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14007	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  ℕ₀cn0 12413  ↑cexp 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997

This theorem is referenced by:  expgt1  14035  resqcl  14059  reexpcld  14098  rpexpmord  14103  leexp2r  14109  leexp1a  14110  bernneq  14164  bernneq3  14166  expnbnd  14167  expnlbnd  14168  expmulnbnd  14170  digit2  14171  digit1  14172  expnngt1  14176  faclbnd  14225  faclbnd2  14226  faclbnd3  14227  faclbnd4lem1  14228  faclbnd5  14233  faclbnd6  14234  geomulcvg  15811  reeftcl  16009  ege2le3  16025  eftlub  16046  eflegeo  16058  resin4p  16075  recos4p  16076  ef01bndlem  16121  sin01bnd  16122  cos01bnd  16123  sin01gt0  16127  rpnnen2lem2  16152  rpnnen2lem4  16154  rpnnen2lem11  16161  powm2modprm  16743  prmreclem6  16861  mbfi1fseqlem6  25689  aaliou3lem8  26321  radcnvlem1  26390  abelthlem5  26413  abelthlem7  26416  tangtx  26482  advlogexp  26632  logtayllem  26636  leibpilem2  26919  leibpi  26920  leibpisum  26921  basellem3  27061  chtublem  27190  logexprlim  27204  dchrisum0flblem1  27487  pntlem3  27588  ostth2lem1  27597  ostth2lem3  27614  ostth3  27617  hgt750lem  34829  tgoldbachgnn  34837  subfacval2  35403  nn0prpw  36539  mblfinlem1  37908  mblfinlem2  37909  bfplem1  38073  lcmineqlem20  42418  3lexlogpow5ineq1  42424  tgoldbach  48177  dignn0fr  48961  digexp  48967  dig2bits  48974