Theorem reexpcl 14040

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14044. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11095	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11123	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11144	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14034	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  ℕ₀cn0 12437  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  expgt1  14062  resqcl  14086  reexpcld  14125  rpexpmord  14130  leexp2r  14136  leexp1a  14137  bernneq  14191  bernneq3  14193  expnbnd  14194  expnlbnd  14195  expmulnbnd  14197  digit2  14198  digit1  14199  expnngt1  14203  faclbnd  14252  faclbnd2  14253  faclbnd3  14254  faclbnd4lem1  14255  faclbnd5  14260  faclbnd6  14261  geomulcvg  15841  reeftcl  16039  ege2le3  16055  eftlub  16076  eflegeo  16088  resin4p  16105  recos4p  16106  ef01bndlem  16151  sin01bnd  16152  cos01bnd  16153  sin01gt0  16157  rpnnen2lem2  16182  rpnnen2lem4  16184  rpnnen2lem11  16191  powm2modprm  16774  prmreclem6  16892  mbfi1fseqlem6  25687  aaliou3lem8  26311  radcnvlem1  26378  abelthlem5  26400  abelthlem7  26403  tangtx  26469  advlogexp  26619  logtayllem  26623  leibpilem2  26905  leibpi  26906  leibpisum  26907  basellem3  27046  chtublem  27174  logexprlim  27188  dchrisum0flblem1  27471  pntlem3  27572  ostth2lem1  27581  ostth2lem3  27598  ostth3  27601  hgt750lem  34795  tgoldbachgnn  34803  subfacval2  35369  nn0prpw  36505  mblfinlem1  37978  mblfinlem2  37979  bfplem1  38143  lcmineqlem20  42487  3lexlogpow5ineq1  42493  tgoldbach  48293  dignn0fr  49077  digexp  49083  dig2bits  49090