Theorem reexpcl 14121

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14125. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11163	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11191	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11214	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  ℕ₀cn0 12510  ↑cexp 14104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-seq 14045  df-exp 14105

This theorem is used by:  expgt1  14143  resqcl  14167  reexpcld  14206  rpexpmord  14211  leexp2r  14217  leexp1a  14218  bernneq  14272  bernneq3  14274  expnbnd  14275  expnlbnd  14276  expmulnbnd  14278  digit2  14279  digit1  14280  expnngt1  14284  faclbnd  14333  faclbnd2  14334  faclbnd3  14335  faclbnd4lem1  14336  faclbnd5  14341  faclbnd6  14342  geomulcvg  15937  reeftcl  16134  ege2le3  16150  eftlub  16171  eflegeo  16183  resin4p  16200  recos4p  16201  ef01bndlem  16246  sin01bnd  16247  cos01bnd  16248  sin01gt0  16252  rpnnen2lem2  16277  rpnnen2lem4  16279  rpnnen2lem11  16286  powm2modprm  16869  prmreclem6  16987  mbfi1fseqlem6  25890  aaliou3lem8  26519  radcnvlem1  26587  abelthlem5  26609  abelthlem7  26612  tangtx  26681  advlogexp  26831  logtayllem  26835  leibpilem2  27117  leibpi  27118  leibpisum  27119  basellem3  27258  chtublem  27386  logexprlim  27400  dchrisum0flblem1  27683  pntlem3  27784  ostth2lem1  27793  ostth2lem3  27810  ostth3  27813  hgt750lem  35047  tgoldbachgnn  35055  subfacval2  35687  nn0prpw  36862  mblfinlem1  38336  mblfinlem2  38337  bfplem1  38501  lcmineqlem20  42843  3lexlogpow5ineq1  42849  tgoldbach  48610  dignn0fr  49409  digexp  49415  dig2bits  49422