Theorem reexpcl 14026

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14030. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11149	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11177	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11196	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14020	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7393  ℝcr 11091  ℕ₀cn0 12454  ↑cexp 14009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-seq 13949  df-exp 14010

This theorem is referenced by:  expgt1  14048  resqcl  14071  reexpcld  14110  rpexpmord  14115  leexp2r  14121  leexp1a  14122  bernneq  14174  bernneq3  14176  expnbnd  14177  expnlbnd  14178  expmulnbnd  14180  digit2  14181  digit1  14182  expnngt1  14186  faclbnd  14232  faclbnd2  14233  faclbnd3  14234  faclbnd4lem1  14235  faclbnd5  14240  faclbnd6  14241  geomulcvg  15804  reeftcl  16000  ege2le3  16015  eftlub  16034  eflegeo  16046  resin4p  16063  recos4p  16064  ef01bndlem  16109  sin01bnd  16110  cos01bnd  16111  sin01gt0  16115  rpnnen2lem2  16140  rpnnen2lem4  16142  rpnnen2lem11  16149  powm2modprm  16718  prmreclem6  16836  mbfi1fseqlem6  25167  aaliou3lem8  25787  radcnvlem1  25854  abelthlem5  25876  abelthlem7  25879  tangtx  25944  advlogexp  26092  logtayllem  26096  leibpilem2  26373  leibpi  26374  leibpisum  26375  basellem3  26514  chtublem  26641  logexprlim  26655  dchrisum0flblem1  26938  pntlem3  27039  ostth2lem1  27048  ostth2lem3  27065  ostth3  27068  hgt750lem  33492  tgoldbachgnn  33500  subfacval2  34007  nn0prpw  35010  mblfinlem1  36327  mblfinlem2  36328  bfplem1  36493  lcmineqlem20  40716  3lexlogpow5ineq1  40722  tgoldbach  46255  dignn0fr  46933  digexp  46939  dig2bits  46946