Theorem reexpcl 14001

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14005. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11083	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11111	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11132	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 13995	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  ℕ₀cn0 12401  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  expgt1  14023  resqcl  14047  reexpcld  14086  rpexpmord  14091  leexp2r  14097  leexp1a  14098  bernneq  14152  bernneq3  14154  expnbnd  14155  expnlbnd  14156  expmulnbnd  14158  digit2  14159  digit1  14160  expnngt1  14164  faclbnd  14213  faclbnd2  14214  faclbnd3  14215  faclbnd4lem1  14216  faclbnd5  14221  faclbnd6  14222  geomulcvg  15799  reeftcl  15997  ege2le3  16013  eftlub  16034  eflegeo  16046  resin4p  16063  recos4p  16064  ef01bndlem  16109  sin01bnd  16110  cos01bnd  16111  sin01gt0  16115  rpnnen2lem2  16140  rpnnen2lem4  16142  rpnnen2lem11  16149  powm2modprm  16731  prmreclem6  16849  mbfi1fseqlem6  25677  aaliou3lem8  26309  radcnvlem1  26378  abelthlem5  26401  abelthlem7  26404  tangtx  26470  advlogexp  26620  logtayllem  26624  leibpilem2  26907  leibpi  26908  leibpisum  26909  basellem3  27049  chtublem  27178  logexprlim  27192  dchrisum0flblem1  27475  pntlem3  27576  ostth2lem1  27585  ostth2lem3  27602  ostth3  27605  hgt750lem  34808  tgoldbachgnn  34816  subfacval2  35381  nn0prpw  36517  mblfinlem1  37858  mblfinlem2  37859  bfplem1  38023  lcmineqlem20  42302  3lexlogpow5ineq1  42308  tgoldbach  48063  dignn0fr  48847  digexp  48853  dig2bits  48860