Theorem reexpcl 13447

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 10594	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 10622	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 10641	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 13441	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  ℕ₀cn0 11898  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  expgt1  13468  resqcl  13491  reexpcld  13528  rpexpmord  13533  leexp2r  13539  leexp1a  13540  bernneq  13591  bernneq3  13593  expnbnd  13594  expnlbnd  13595  expmulnbnd  13597  digit2  13598  digit1  13599  expnngt1  13603  faclbnd  13651  faclbnd2  13652  faclbnd3  13653  faclbnd4lem1  13654  faclbnd5  13659  faclbnd6  13660  geomulcvg  15232  reeftcl  15428  ege2le3  15443  eftlub  15462  eflegeo  15474  resin4p  15491  recos4p  15492  ef01bndlem  15537  sin01bnd  15538  cos01bnd  15539  sin01gt0  15543  rpnnen2lem2  15568  rpnnen2lem4  15570  rpnnen2lem11  15577  powm2modprm  16140  prmreclem6  16257  mbfi1fseqlem6  24321  aaliou3lem8  24934  radcnvlem1  25001  abelthlem5  25023  abelthlem7  25026  tangtx  25091  advlogexp  25238  logtayllem  25242  leibpilem2  25519  leibpi  25520  leibpisum  25521  basellem3  25660  chtublem  25787  logexprlim  25801  dchrisum0flblem1  26084  pntlem3  26185  ostth2lem1  26194  ostth2lem3  26211  ostth3  26214  hgt750lem  31922  tgoldbachgnn  31930  subfacval2  32434  nn0prpw  33671  mblfinlem1  34944  mblfinlem2  34945  bfplem1  35115  tgoldbach  44002  dignn0fr  44681  digexp  44687  dig2bits  44694