Theorem reexpcl 14004

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14008. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11085	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11113	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11134	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 13998	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  ℕ₀cn0 12403  ↑cexp 13987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-seq 13928  df-exp 13988

This theorem is referenced by:  expgt1  14026  resqcl  14050  reexpcld  14089  rpexpmord  14094  leexp2r  14100  leexp1a  14101  bernneq  14155  bernneq3  14157  expnbnd  14158  expnlbnd  14159  expmulnbnd  14161  digit2  14162  digit1  14163  expnngt1  14167  faclbnd  14216  faclbnd2  14217  faclbnd3  14218  faclbnd4lem1  14219  faclbnd5  14224  faclbnd6  14225  geomulcvg  15802  reeftcl  16000  ege2le3  16016  eftlub  16037  eflegeo  16049  resin4p  16066  recos4p  16067  ef01bndlem  16112  sin01bnd  16113  cos01bnd  16114  sin01gt0  16118  rpnnen2lem2  16143  rpnnen2lem4  16145  rpnnen2lem11  16152  powm2modprm  16734  prmreclem6  16852  mbfi1fseqlem6  25638  aaliou3lem8  26270  radcnvlem1  26339  abelthlem5  26362  abelthlem7  26365  tangtx  26431  advlogexp  26581  logtayllem  26585  leibpilem2  26868  leibpi  26869  leibpisum  26870  basellem3  27010  chtublem  27139  logexprlim  27153  dchrisum0flblem1  27436  pntlem3  27537  ostth2lem1  27546  ostth2lem3  27563  ostth3  27566  hgt750lem  34638  tgoldbachgnn  34646  subfacval2  35179  nn0prpw  36316  mblfinlem1  37656  mblfinlem2  37657  bfplem1  37821  lcmineqlem20  42041  3lexlogpow5ineq1  42047  tgoldbach  47821  dignn0fr  48606  digexp  48612  dig2bits  48619