Theorem reexpcl 14048

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14052. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11169	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11197	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11218	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14042	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  ℕ₀cn0 12476  ↑cexp 14031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-exp 14032

This theorem is referenced by:  expgt1  14070  resqcl  14093  reexpcld  14132  rpexpmord  14137  leexp2r  14143  leexp1a  14144  bernneq  14196  bernneq3  14198  expnbnd  14199  expnlbnd  14200  expmulnbnd  14202  digit2  14203  digit1  14204  expnngt1  14208  faclbnd  14254  faclbnd2  14255  faclbnd3  14256  faclbnd4lem1  14257  faclbnd5  14262  faclbnd6  14263  geomulcvg  15826  reeftcl  16022  ege2le3  16037  eftlub  16056  eflegeo  16068  resin4p  16085  recos4p  16086  ef01bndlem  16131  sin01bnd  16132  cos01bnd  16133  sin01gt0  16137  rpnnen2lem2  16162  rpnnen2lem4  16164  rpnnen2lem11  16171  powm2modprm  16740  prmreclem6  16858  mbfi1fseqlem6  25462  aaliou3lem8  26082  radcnvlem1  26149  abelthlem5  26171  abelthlem7  26174  tangtx  26239  advlogexp  26387  logtayllem  26391  leibpilem2  26670  leibpi  26671  leibpisum  26672  basellem3  26811  chtublem  26938  logexprlim  26952  dchrisum0flblem1  27235  pntlem3  27336  ostth2lem1  27345  ostth2lem3  27362  ostth3  27365  hgt750lem  33949  tgoldbachgnn  33957  subfacval2  34464  nn0prpw  35511  mblfinlem1  36828  mblfinlem2  36829  bfplem1  36993  lcmineqlem20  41219  3lexlogpow5ineq1  41225  tgoldbach  46784  dignn0fr  47375  digexp  47381  dig2bits  47388