Theorem reexpcl 14110

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14114. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11152	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11180	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11203	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14104	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  ℕ₀cn0 12499  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  expgt1  14132  resqcl  14156  reexpcld  14195  rpexpmord  14200  leexp2r  14206  leexp1a  14207  bernneq  14261  bernneq3  14263  expnbnd  14264  expnlbnd  14265  expmulnbnd  14267  digit2  14268  digit1  14269  expnngt1  14273  faclbnd  14322  faclbnd2  14323  faclbnd3  14324  faclbnd4lem1  14325  faclbnd5  14330  faclbnd6  14331  geomulcvg  15926  reeftcl  16123  ege2le3  16139  eftlub  16160  eflegeo  16172  resin4p  16189  recos4p  16190  ef01bndlem  16235  sin01bnd  16236  cos01bnd  16237  sin01gt0  16241  rpnnen2lem2  16266  rpnnen2lem4  16268  rpnnen2lem11  16275  powm2modprm  16858  prmreclem6  16976  mbfi1fseqlem6  25879  aaliou3lem8  26508  radcnvlem1  26576  abelthlem5  26598  abelthlem7  26601  tangtx  26670  advlogexp  26820  logtayllem  26824  leibpilem2  27106  leibpi  27107  leibpisum  27108  basellem3  27247  chtublem  27375  logexprlim  27389  dchrisum0flblem1  27672  pntlem3  27773  ostth2lem1  27782  ostth2lem3  27799  ostth3  27802  hgt750lem  35038  tgoldbachgnn  35046  subfacval2  35679  nn0prpw  36834  mblfinlem1  38308  mblfinlem2  38309  bfplem1  38473  lcmineqlem20  42815  3lexlogpow5ineq1  42821  tgoldbach  48582  dignn0fr  49381  digexp  49387  dig2bits  49394