Theorem reexpcl 13442

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 10583	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 10611	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 10630	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 13436	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  ℕ₀cn0 11885  ↑cexp 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-exp 13426

This theorem is referenced by:  expgt1  13463  resqcl  13486  reexpcld  13523  rpexpmord  13528  leexp2r  13534  leexp1a  13535  bernneq  13586  bernneq3  13588  expnbnd  13589  expnlbnd  13590  expmulnbnd  13592  digit2  13593  digit1  13594  expnngt1  13598  faclbnd  13646  faclbnd2  13647  faclbnd3  13648  faclbnd4lem1  13649  faclbnd5  13654  faclbnd6  13655  geomulcvg  15224  reeftcl  15420  ege2le3  15435  eftlub  15454  eflegeo  15466  resin4p  15483  recos4p  15484  ef01bndlem  15529  sin01bnd  15530  cos01bnd  15531  sin01gt0  15535  rpnnen2lem2  15560  rpnnen2lem4  15562  rpnnen2lem11  15569  powm2modprm  16130  prmreclem6  16247  mbfi1fseqlem6  24324  aaliou3lem8  24941  radcnvlem1  25008  abelthlem5  25030  abelthlem7  25033  tangtx  25098  advlogexp  25246  logtayllem  25250  leibpilem2  25527  leibpi  25528  leibpisum  25529  basellem3  25668  chtublem  25795  logexprlim  25809  dchrisum0flblem1  26092  pntlem3  26193  ostth2lem1  26202  ostth2lem3  26219  ostth3  26222  hgt750lem  32032  tgoldbachgnn  32040  subfacval2  32547  nn0prpw  33784  mblfinlem1  35094  mblfinlem2  35095  bfplem1  35260  lcmineqlem20  39336  3lexlogpow5ineq1  39341  tgoldbach  44335  dignn0fr  45015  digexp  45021  dig2bits  45028