Theorem reexpcl 14050

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14054. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11132	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11160	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11181	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14044	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  ℕ₀cn0 12449  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  expgt1  14072  resqcl  14096  reexpcld  14135  rpexpmord  14140  leexp2r  14146  leexp1a  14147  bernneq  14201  bernneq3  14203  expnbnd  14204  expnlbnd  14205  expmulnbnd  14207  digit2  14208  digit1  14209  expnngt1  14213  faclbnd  14262  faclbnd2  14263  faclbnd3  14264  faclbnd4lem1  14265  faclbnd5  14270  faclbnd6  14271  geomulcvg  15849  reeftcl  16047  ege2le3  16063  eftlub  16084  eflegeo  16096  resin4p  16113  recos4p  16114  ef01bndlem  16159  sin01bnd  16160  cos01bnd  16161  sin01gt0  16165  rpnnen2lem2  16190  rpnnen2lem4  16192  rpnnen2lem11  16199  powm2modprm  16781  prmreclem6  16899  mbfi1fseqlem6  25628  aaliou3lem8  26260  radcnvlem1  26329  abelthlem5  26352  abelthlem7  26355  tangtx  26421  advlogexp  26571  logtayllem  26575  leibpilem2  26858  leibpi  26859  leibpisum  26860  basellem3  27000  chtublem  27129  logexprlim  27143  dchrisum0flblem1  27426  pntlem3  27527  ostth2lem1  27536  ostth2lem3  27553  ostth3  27556  hgt750lem  34649  tgoldbachgnn  34657  subfacval2  35181  nn0prpw  36318  mblfinlem1  37658  mblfinlem2  37659  bfplem1  37823  lcmineqlem20  42043  3lexlogpow5ineq1  42049  tgoldbach  47822  dignn0fr  48594  digexp  48600  dig2bits  48607