Theorem reexpcl 13489

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 10625	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 10653	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 10672	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 13483	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7151  ℝcr 10567  ℕ₀cn0 11927  ↑cexp 13472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-seq 13412  df-exp 13473

This theorem is referenced by:  expgt1  13510  resqcl  13533  reexpcld  13570  rpexpmord  13575  leexp2r  13581  leexp1a  13582  bernneq  13633  bernneq3  13635  expnbnd  13636  expnlbnd  13637  expmulnbnd  13639  digit2  13640  digit1  13641  expnngt1  13645  faclbnd  13693  faclbnd2  13694  faclbnd3  13695  faclbnd4lem1  13696  faclbnd5  13701  faclbnd6  13702  geomulcvg  15273  reeftcl  15469  ege2le3  15484  eftlub  15503  eflegeo  15515  resin4p  15532  recos4p  15533  ef01bndlem  15578  sin01bnd  15579  cos01bnd  15580  sin01gt0  15584  rpnnen2lem2  15609  rpnnen2lem4  15611  rpnnen2lem11  15618  powm2modprm  16188  prmreclem6  16305  mbfi1fseqlem6  24413  aaliou3lem8  25033  radcnvlem1  25100  abelthlem5  25122  abelthlem7  25125  tangtx  25190  advlogexp  25338  logtayllem  25342  leibpilem2  25619  leibpi  25620  leibpisum  25621  basellem3  25760  chtublem  25887  logexprlim  25901  dchrisum0flblem1  26184  pntlem3  26285  ostth2lem1  26294  ostth2lem3  26311  ostth3  26314  hgt750lem  32143  tgoldbachgnn  32151  subfacval2  32658  nn0prpw  34054  mblfinlem1  35367  mblfinlem2  35368  bfplem1  35533  lcmineqlem20  39608  3lexlogpow5ineq1  39614  tgoldbach  44695  dignn0fr  45373  digexp  45379  dig2bits  45386