MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reexpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reexpcl 13436
Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
reexpcl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 10583 . 2 ℝ ⊆ ℂ
2 remulcl 10611 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3 1re 10630 . 2 1 ∈ ℝ
41, 2, 3expcllem 13430 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2107  (class class class)co 7148  cr 10525  0cn0 11886  cexp 13419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-seq 13360  df-exp 13420
This theorem is referenced by:  expgt1  13457  resqcl  13480  reexpcld  13517  rpexpmord  13522  leexp2r  13528  leexp1a  13529  bernneq  13580  bernneq3  13582  expnbnd  13583  expnlbnd  13584  expmulnbnd  13586  digit2  13587  digit1  13588  expnngt1  13592  faclbnd  13640  faclbnd2  13641  faclbnd3  13642  faclbnd4lem1  13643  faclbnd5  13648  faclbnd6  13649  geomulcvg  15222  reeftcl  15418  ege2le3  15433  eftlub  15452  eflegeo  15464  resin4p  15481  recos4p  15482  ef01bndlem  15527  sin01bnd  15528  cos01bnd  15529  sin01gt0  15533  rpnnen2lem2  15558  rpnnen2lem4  15560  rpnnen2lem11  15567  powm2modprm  16130  prmreclem6  16247  mbfi1fseqlem6  24236  aaliou3lem8  24849  radcnvlem1  24916  abelthlem5  24938  abelthlem7  24941  tangtx  25006  advlogexp  25151  logtayllem  25155  leibpilem2  25433  leibpi  25434  leibpisum  25435  basellem3  25574  chtublem  25701  logexprlim  25715  dchrisum0flblem1  25998  pntlem3  26099  ostth2lem1  26108  ostth2lem3  26125  ostth3  26128  hgt750lem  31808  tgoldbachgnn  31816  subfacval2  32318  nn0prpw  33555  mblfinlem1  34796  mblfinlem2  34797  bfplem1  34968  tgoldbach  43814  dignn0fr  44493  digexp  44499  dig2bits  44506
  Copyright terms: Public domain W3C validator