Theorem reexpcl 14142

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14146. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11181	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11209	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11232	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14136	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  ℕ₀cn0 12528  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by:  expgt1  14164  resqcl  14188  reexpcld  14227  rpexpmord  14232  leexp2r  14238  leexp1a  14239  bernneq  14293  bernneq3  14295  expnbnd  14296  expnlbnd  14297  expmulnbnd  14299  digit2  14300  digit1  14301  expnngt1  14305  faclbnd  14354  faclbnd2  14355  faclbnd3  14356  faclbnd4lem1  14357  faclbnd5  14362  faclbnd6  14363  geomulcvg  15965  reeftcl  16160  ege2le3  16176  eftlub  16197  eflegeo  16209  resin4p  16226  recos4p  16227  ef01bndlem  16272  sin01bnd  16273  cos01bnd  16274  sin01gt0  16278  rpnnen2lem2  16303  rpnnen2lem4  16305  rpnnen2lem11  16312  powm2modprm  16895  prmreclem6  17013  mbfi1fseqlem6  25948  aaliou3lem8  26581  radcnvlem1  26649  abelthlem5  26671  abelthlem7  26674  tangtx  26743  advlogexp  26892  logtayllem  26896  leibpilem2  27178  leibpi  27179  leibpisum  27180  basellem3  27319  chtublem  27447  logexprlim  27461  dchrisum0flblem1  27744  pntlem3  27845  ostth2lem1  27854  ostth2lem3  27871  ostth3  27874  hgt750lem  35159  tgoldbachgnn  35167  subfacval2  35766  nn0prpw  36942  mblfinlem1  38406  mblfinlem2  38407  bfplem1  38572  lcmineqlem20  42914  3lexlogpow5ineq1  42920  tgoldbach  48733  dignn0fr  49531  digexp  49537  dig2bits  49544