Theorem reexpcl 14128

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14132. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11168	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11196	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11219	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14122	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  ℕ₀cn0 12515  ↑cexp 14111

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-seq 14052  df-exp 14112

This theorem is used by:  expgt1  14150  resqcl  14174  reexpcld  14213  rpexpmord  14218  leexp2r  14224  leexp1a  14225  bernneq  14279  bernneq3  14281  expnbnd  14282  expnlbnd  14283  expmulnbnd  14285  digit2  14286  digit1  14287  expnngt1  14291  faclbnd  14340  faclbnd2  14341  faclbnd3  14342  faclbnd4lem1  14343  faclbnd5  14348  faclbnd6  14349  geomulcvg  15949  reeftcl  16146  ege2le3  16162  eftlub  16183  eflegeo  16195  resin4p  16212  recos4p  16213  ef01bndlem  16258  sin01bnd  16259  cos01bnd  16260  sin01gt0  16264  rpnnen2lem2  16289  rpnnen2lem4  16291  rpnnen2lem11  16298  powm2modprm  16881  prmreclem6  16999  mbfi1fseqlem6  25910  aaliou3lem8  26539  radcnvlem1  26607  abelthlem5  26629  abelthlem7  26632  tangtx  26701  advlogexp  26851  logtayllem  26855  leibpilem2  27137  leibpi  27138  leibpisum  27139  basellem3  27278  chtublem  27406  logexprlim  27420  dchrisum0flblem1  27703  pntlem3  27804  ostth2lem1  27813  ostth2lem3  27830  ostth3  27833  hgt750lem  35079  tgoldbachgnn  35087  subfacval2  35692  nn0prpw  36867  mblfinlem1  38341  mblfinlem2  38342  bfplem1  38506  lcmineqlem20  42848  3lexlogpow5ineq1  42854  tgoldbach  48615  dignn0fr  49414  digexp  49420  dig2bits  49427