Theorem reexpcl 14214

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14218. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11250	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11278	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11301	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14208	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  ℕ₀cn0 12599  ↑cexp 14197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-seq 14138  df-exp 14198

This theorem is used by:  expgt1  14236  resqcl  14260  reexpcld  14299  rpexpmord  14304  leexp2r  14310  leexp1a  14311  bernneq  14366  bernneq3  14368  expnbnd  14369  expnlbnd  14370  expmulnbnd  14372  digit2  14373  digit1  14374  expnngt1  14378  faclbnd  14427  faclbnd2  14428  faclbnd3  14429  faclbnd4lem1  14430  faclbnd5  14435  faclbnd6  14436  geomulcvg  16038  reeftcl  16233  ege2le3  16249  eftlub  16270  eflegeo  16282  resin4p  16299  recos4p  16300  ef01bndlem  16345  sin01bnd  16346  cos01bnd  16347  sin01gt0  16351  rpnnen2lem2  16376  rpnnen2lem4  16378  rpnnen2lem11  16385  powm2modprm  16974  prmreclem6  17092  mbfi1fseqlem6  26034  aaliou3lem8  26665  radcnvlem1  26733  abelthlem5  26755  abelthlem7  26758  tangtx  26827  advlogexp  26976  logtayllem  26980  leibpilem2  27262  leibpi  27263  leibpisum  27264  basellem3  27403  chtublem  27531  logexprlim  27545  dchrisum0flblem1  27828  pntlem3  27929  ostth2lem1  27938  ostth2lem3  27955  ostth3  27958  hgt750lem  35273  tgoldbachgnn  35281  subfacval2  35931  nn0prpw  37091  mblfinlem1  38555  mblfinlem2  38556  bfplem1  38736  lcmineqlem20  43078  3lexlogpow5ineq1  43084  tgoldbach  48884  dignn0fr  49682  digexp  49688  dig2bits  49695