Theorem reexpcl 14085

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14089. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11124	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11152	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11175	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14079	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  ℕ₀cn0 12475  ↑cexp 14068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-seq 14009  df-exp 14069

This theorem is referenced by:  expgt1  14107  resqcl  14131  reexpcld  14170  rpexpmord  14175  leexp2r  14181  leexp1a  14182  bernneq  14236  bernneq3  14238  expnbnd  14239  expnlbnd  14240  expmulnbnd  14242  digit2  14243  digit1  14244  expnngt1  14248  faclbnd  14297  faclbnd2  14298  faclbnd3  14299  faclbnd4lem1  14300  faclbnd5  14305  faclbnd6  14306  geomulcvg  15897  reeftcl  16095  ege2le3  16111  eftlub  16132  eflegeo  16144  resin4p  16161  recos4p  16162  ef01bndlem  16207  sin01bnd  16208  cos01bnd  16209  sin01gt0  16213  rpnnen2lem2  16238  rpnnen2lem4  16240  rpnnen2lem11  16247  powm2modprm  16830  prmreclem6  16948  mbfi1fseqlem6  25770  aaliou3lem8  26397  radcnvlem1  26464  abelthlem5  26486  abelthlem7  26489  tangtx  26558  advlogexp  26708  logtayllem  26712  leibpilem2  26994  leibpi  26995  leibpisum  26996  basellem3  27135  chtublem  27263  logexprlim  27277  dchrisum0flblem1  27560  pntlem3  27661  ostth2lem1  27670  ostth2lem3  27687  ostth3  27690  hgt750lem  34906  tgoldbachgnn  34914  subfacval2  35498  nn0prpw  36644  mblfinlem1  38117  mblfinlem2  38118  bfplem1  38282  lcmineqlem20  42626  3lexlogpow5ineq1  42632  tgoldbach  48400  dignn0fr  49184  digexp  49190  dig2bits  49197