Theorem reexpcl 14261

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14265. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11296	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11324	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11347	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14255	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  ℕ₀cn0 12646  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  expgt1  14283  resqcl  14307  reexpcld  14346  rpexpmord  14351  leexp2r  14357  leexp1a  14358  bernneq  14414  bernneq3  14416  expnbnd  14417  expnlbnd  14418  expmulnbnd  14420  digit2  14421  digit1  14422  expnngt1  14426  faclbnd  14475  faclbnd2  14476  faclbnd3  14477  faclbnd4lem1  14478  faclbnd5  14483  faclbnd6  14484  geomulcvg  16089  reeftcl  16284  ege2le3  16300  eftlub  16321  eflegeo  16333  resin4p  16350  recos4p  16351  ef01bndlem  16396  sin01bnd  16397  cos01bnd  16398  sin01gt0  16402  rpnnen2lem2  16427  rpnnen2lem4  16429  rpnnen2lem11  16436  powm2modprm  17025  prmreclem6  17143  mbfi1fseqlem6  26096  aaliou3lem8  26729  radcnvlem1  26797  abelthlem5  26819  abelthlem7  26822  tangtx  26891  advlogexp  27040  logtayllem  27044  leibpilem2  27326  leibpi  27327  leibpisum  27328  basellem3  27467  chtublem  27595  logexprlim  27609  dchrisum0flblem1  27892  pntlem3  27993  ostth2lem1  28002  ostth2lem3  28019  ostth3  28022  hgt750lem  35391  tgoldbachgnn  35399  subfacval2  36160  nn0prpw  37326  mblfinlem1  38843  mblfinlem2  38844  bfplem1  39022  lcmineqlem20  43364  3lexlogpow5ineq1  43370  tgoldbach  49188  dignn0fr  50044  digexp  50050  dig2bits  50057