Theorem reexpcl 14031

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14035. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11086	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11114	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11135	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14025	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  ℕ₀cn0 12428  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  expgt1  14053  resqcl  14077  reexpcld  14116  rpexpmord  14121  leexp2r  14127  leexp1a  14128  bernneq  14182  bernneq3  14184  expnbnd  14185  expnlbnd  14186  expmulnbnd  14188  digit2  14189  digit1  14190  expnngt1  14194  faclbnd  14243  faclbnd2  14244  faclbnd3  14245  faclbnd4lem1  14246  faclbnd5  14251  faclbnd6  14252  geomulcvg  15832  reeftcl  16030  ege2le3  16046  eftlub  16067  eflegeo  16079  resin4p  16096  recos4p  16097  ef01bndlem  16142  sin01bnd  16143  cos01bnd  16144  sin01gt0  16148  rpnnen2lem2  16173  rpnnen2lem4  16175  rpnnen2lem11  16182  powm2modprm  16765  prmreclem6  16883  mbfi1fseqlem6  25705  aaliou3lem8  26329  radcnvlem1  26396  abelthlem5  26418  abelthlem7  26421  tangtx  26487  advlogexp  26637  logtayllem  26641  leibpilem2  26923  leibpi  26924  leibpisum  26925  basellem3  27064  chtublem  27192  logexprlim  27206  dchrisum0flblem1  27489  pntlem3  27590  ostth2lem1  27599  ostth2lem3  27616  ostth3  27619  hgt750lem  34835  tgoldbachgnn  34843  subfacval2  35415  nn0prpw  36551  mblfinlem1  38024  mblfinlem2  38025  bfplem1  38189  lcmineqlem20  42533  3lexlogpow5ineq1  42539  tgoldbach  48308  dignn0fr  49092  digexp  49098  dig2bits  49105