Theorem reexpcl 14031

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14035. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11086	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11114	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11135	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14025	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  ℕ₀cn0 12428  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  expgt1  14053  resqcl  14077  reexpcld  14116  rpexpmord  14121  leexp2r  14127  leexp1a  14128  bernneq  14182  bernneq3  14184  expnbnd  14185  expnlbnd  14186  expmulnbnd  14188  digit2  14189  digit1  14190  expnngt1  14194  faclbnd  14243  faclbnd2  14244  faclbnd3  14245  faclbnd4lem1  14246  faclbnd5  14251  faclbnd6  14252  geomulcvg  15832  reeftcl  16030  ege2le3  16046  eftlub  16067  eflegeo  16079  resin4p  16096  recos4p  16097  ef01bndlem  16142  sin01bnd  16143  cos01bnd  16144  sin01gt0  16148  rpnnen2lem2  16173  rpnnen2lem4  16175  rpnnen2lem11  16182  powm2modprm  16765  prmreclem6  16883  mbfi1fseqlem6  25697  aaliou3lem8  26322  radcnvlem1  26391  abelthlem5  26413  abelthlem7  26416  tangtx  26482  advlogexp  26632  logtayllem  26636  leibpilem2  26918  leibpi  26919  leibpisum  26920  basellem3  27060  chtublem  27188  logexprlim  27202  dchrisum0flblem1  27485  pntlem3  27586  ostth2lem1  27595  ostth2lem3  27612  ostth3  27615  hgt750lem  34811  tgoldbachgnn  34819  subfacval2  35385  nn0prpw  36521  mblfinlem1  37992  mblfinlem2  37993  bfplem1  38157  lcmineqlem20  42501  3lexlogpow5ineq1  42507  tgoldbach  48305  dignn0fr  49089  digexp  49095  dig2bits  49102