Theorem reexpcl 13980

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 13984. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11058	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11086	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11107	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 13974	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  ℕ₀cn0 12376  ↑cexp 13963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-seq 13904  df-exp 13964

This theorem is referenced by:  expgt1  14002  resqcl  14026  reexpcld  14065  rpexpmord  14070  leexp2r  14076  leexp1a  14077  bernneq  14131  bernneq3  14133  expnbnd  14134  expnlbnd  14135  expmulnbnd  14137  digit2  14138  digit1  14139  expnngt1  14143  faclbnd  14192  faclbnd2  14193  faclbnd3  14194  faclbnd4lem1  14195  faclbnd5  14200  faclbnd6  14201  geomulcvg  15778  reeftcl  15976  ege2le3  15992  eftlub  16013  eflegeo  16025  resin4p  16042  recos4p  16043  ef01bndlem  16088  sin01bnd  16089  cos01bnd  16090  sin01gt0  16094  rpnnen2lem2  16119  rpnnen2lem4  16121  rpnnen2lem11  16128  powm2modprm  16710  prmreclem6  16828  mbfi1fseqlem6  25643  aaliou3lem8  26275  radcnvlem1  26344  abelthlem5  26367  abelthlem7  26370  tangtx  26436  advlogexp  26586  logtayllem  26590  leibpilem2  26873  leibpi  26874  leibpisum  26875  basellem3  27015  chtublem  27144  logexprlim  27158  dchrisum0flblem1  27441  pntlem3  27542  ostth2lem1  27551  ostth2lem3  27568  ostth3  27571  hgt750lem  34656  tgoldbachgnn  34664  subfacval2  35223  nn0prpw  36357  mblfinlem1  37697  mblfinlem2  37698  bfplem1  37862  lcmineqlem20  42081  3lexlogpow5ineq1  42087  tgoldbach  47848  dignn0fr  48633  digexp  48639  dig2bits  48646