Theorem reexpcl 14119

Description: Closure of exponentiation of reals. For integer exponents, see reexpclz 14123. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11212	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 11240	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 11261	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 14113	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  ℕ₀cn0 12526  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  expgt1  14141  resqcl  14164  reexpcld  14203  rpexpmord  14208  leexp2r  14214  leexp1a  14215  bernneq  14268  bernneq3  14270  expnbnd  14271  expnlbnd  14272  expmulnbnd  14274  digit2  14275  digit1  14276  expnngt1  14280  faclbnd  14329  faclbnd2  14330  faclbnd3  14331  faclbnd4lem1  14332  faclbnd5  14337  faclbnd6  14338  geomulcvg  15912  reeftcl  16110  ege2le3  16126  eftlub  16145  eflegeo  16157  resin4p  16174  recos4p  16175  ef01bndlem  16220  sin01bnd  16221  cos01bnd  16222  sin01gt0  16226  rpnnen2lem2  16251  rpnnen2lem4  16253  rpnnen2lem11  16260  powm2modprm  16841  prmreclem6  16959  mbfi1fseqlem6  25755  aaliou3lem8  26387  radcnvlem1  26456  abelthlem5  26479  abelthlem7  26482  tangtx  26547  advlogexp  26697  logtayllem  26701  leibpilem2  26984  leibpi  26985  leibpisum  26986  basellem3  27126  chtublem  27255  logexprlim  27269  dchrisum0flblem1  27552  pntlem3  27653  ostth2lem1  27662  ostth2lem3  27679  ostth3  27682  hgt750lem  34666  tgoldbachgnn  34674  subfacval2  35192  nn0prpw  36324  mblfinlem1  37664  mblfinlem2  37665  bfplem1  37829  lcmineqlem20  42049  3lexlogpow5ineq1  42055  tgoldbach  47804  dignn0fr  48522  digexp  48528  dig2bits  48535